قانون ضعف الزاوية

قانون ضعف الزاوية

صيغ قانون ضعف الزاوية

يرتبط مفهوم قانون ضعف الزاوية (بالإنجليزية: Double Angle) بالاقترانات المثلثية الثلاث، وهي الجيب، وجيب التمام، والظل، والتي هي عبارة عن علاقات تربط بين أضلاع المثلث قائم الزاوية بالنسبة لزواياه، ويجدر بالذكر أنّ ضعف الزاوية يعني ضرب قياس الزاوية بالعدد 2، أو مضاعفته، ولقانون ضعف الزاوية أشكال عدة هي:

  • جا (2س)=2 جا(س) جتا(س)=2 ظا(س)/ (1 ظا²(س)).
  • جتا (2س)=جتا²(س)-جا²(س)=2 جتا²(س)-1=1-2 جا²(س)=(1-ظا²(س))/(1 ظا²(س)).
  • ظا (2س)=2 ظا(س)/ (1-ظا²(س)).

أمثلة تطبيقية على قانون ضعف الزاوية

  • المثال الأول: إذا كانت س زاوية في الربع الثالث، وكانت قيمة جا(س)=-3/5، جد قيمة جا(2س)،جتا(2س)، ظا(2س).

الحل:

  • من خلال تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ، ومعرفة حقيقة أن جيب التمام سالب القيمة في الربع الثالث، وأن الظل موجب القيمة ينتج أن:
  • جتا(س)=-4/5، ظا(س)=3/4.
  • بتطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)=2×-3/5×-4/5=24/25.
  • بتطبيق قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)=1-(2ײ(3/5))=0.28.
  • بتطبيق قانون ظا(2س)=2ظا(س)/(1-ظا²(س))=2×(3/4)/(1-²(3/4))=24/7.
  • المثال الثاني: جد قيمة جا(2س) إذا كانت قيمة جتا(س)=4/5، والزاوية س في الربع الأول.

الحل:

  • بتمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ينتج أن جا(س)=3/5.
  • بتطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س) ينتج أن:
  • جا(2س)=2×(3/5)×(4/5)=24/25.
  • المثال الثالث: إذا كانت س زاوية حادة، وكان جا(س)=0.6، جد قيمة جا(2س).

الحل:

  • تحويل قيمة جا(س) إلى كسر مكوّن من بسط ومقام، ليصبح جا(س)=6/10.
  • تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس لينتج أن: جتا(س)=8/10.
  • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س) لينتج أن:
  • جا(2س)=2×6/10×8/10=48/50=0.96.
  • المثال الرابع: جد قيمة جا(2×ظا (3/4)).

الحل:

  • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)، لينتج أن:
  • جا(2×ظا (3/4))=2جا(ظا (3/4)جتا(ظا (3/4)).
  • تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس لينتج أن:
  • جتا(ظا (3/4))= 4/5، جا(ظا(3/4))=3/5.
  • تعويض الأرقام في القانون أعلاه لينتج أن:
  • جا(2×ظا (3/4))=2×3/5×4/5=24/25.
  • المثال الخامس: إذا كانت قيمة جا(س)=أ، جد قيمة جتا(2س).

الحل:

  • بتطبيق قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)=1-2أ².
  • المثال السادس: إذا كانت س زاوية في الربع الثالث، وكانت قيمة ظا(س)=0.83، جد قيمة جتا(2س).

الحل:

  • بتطبيق قانون جتا(2س)=(1-ظا²(س))/(1 ظا²(س))=(1-0.83²)/(1 0.83²)=0.1842
  • المثال السابع: جد قيمة جتا(2س) إذا كانت قيمة جا(س)=5/5√.

الحل:

  • باستخدام قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)، ينتج أن: جتا (2س)=±(1-2(5/5√)²)=3/5±.
  • المثال الثامن: إذا كانت قيمة قتا(س)=3/3√2، وكانت الزاوية س في الربع الأول، جد قيمة جا(2س) جتا(2س).

الحل:

  • قتا(س)=3/3√2=1/جا(س)، ومنه جا(س)=3√3/2، وبتمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ينتج أن: جتا(س)=1/2.
  • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)=2×(3√3/2)×(1/2)=3√3/2.
  • تطبيق قانون جتا(2س)=2جتا²(س)-1=2ײ(1/2)-1=1/2؛ وعليه جتا(2س)=-1/2؛ لأن ضعف الزاوية يقع في الربع الثاني، وعليه فهو سالب القيمة.
  • حساب قيمة جا(2س) جتا(2س)=3√3/2 1/2-=3√2/(3√-3)

أمثلة إثبات على قانون ضعف الزاوية

  • المثال الأول: أثبت أن (1-ظا²(ٍس))/قا²(س)=جتا(2س).

الحل:

  • بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
  • (1-ظا²(ٍس))/قا²(س)=(1-(جا²(س)/جتا²(س))×(1/قا²(س)).
  • (1-(جا²(س)/جتا²(س))×جتا²(س)=جتا²(س)-جا²(س)=جتا(2س).
  • المثال الثاني: أثبت أن 2قتا(2س)ظا(س)=قا²(س).

الحل:

  • بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
  • 2قتا(2س)ظا(س)=2×(1/ (2جا(س)جتا(س)))×(جا(س)/جتا(س))=1/جتا²(س)=قا²(س).
  • المثال الثالث: أثبت أن: قتا(2س)-ظتا(2س)=ظا(س).

الحل:

  • بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
  • قتا(2س)-ظتا(2س)=1/جا(2س)-جتا(2س)/جا(2س)=(1-جتا(2س))/جا(2س).
  • تعويض جتا(2س)=(1-2جا²(س))، جا(2س)=2جا(س)جتا(س) في القيمة السابقة لينتج أن:
  • قتا(2س)-ظتا(2س)=(1-(1-2جا²(س)))/2جا(س)جتا(س)=جا(س)/جتا(س)=ظا(س).
36تعليم
مزيد من المشاركات
وقفات من حديث الدين النصيحة

وقفات من حديث الدين النصيحة

وقفات من حديث الدين النصيحة هذا الحديث مهم للغاية، ويؤسّس لقاعدة كلية تتفرّع منها فروع كثيرة، لذلك اختارها الإمام النووي ليودعها كتابه الأربعين في مباني الإسلام وقواعد الأحكام، وقد عرفت اختصاراً بالأربعين النووية نسبة إلى جامعها،وهذه وقفات تبرز أهم الفوائد التي يدل عليها الحديث. نص الحديث وتخريجه عن أبي رقية تميم بن أوس الداري - رضي الله عنه - أن النبي - صلى الله عليه وسلم - قال: (الدين النصيحة. قلنا: لمن؟ قال: لله ولكتابه ولرسوله ولأئمة المسلمين وعامتهم)،وهو حديث صحيح أخرجه الإمام مسلم في
اختبار الذكاء العاطفي

اختبار الذكاء العاطفي

الذكاء العاطفي أًجريت حديثاً العديد من الدراسات المتقدمة لفهم طبيعة الذكاء الإنساني ، وكيفية قياسه، وتنميته وتطويره، ووُضعت النظريات والتصورات واختبارات الذكاء المتعددة، حيث تعاملت هذه الدراسات مع الذكاء كوحدةٍ واحدة تتكون من عدة أقسام، يصل عددها إلى سبعين قسماً، وأطلق العالم هوارد غاردنر عام 1983م نظرية الذكاء المتعدد ، التي تنص على أن "كل منا يستطيع أن يعرف العالم من خلال اللغة والتحليل الحسابي المنطقي، والتمثيل الحيزي، والتفكير الموسيقي، واستعمال الجسم لحل المسائل، أو لإنجاز المهام، ولفهم
ايجابيات وسلبيات النظرية المعرفية

ايجابيات وسلبيات النظرية المعرفية

مؤسس النظرية المعرفية جان بياجيه هو عالم نفس معرفي ولد في سويسرا في عام 1896 وتوفي في عام 1980، وكان أول عالم نفس يقوم بدراسة منهجية حول التطور المعرفي، وقد اقترح جان بياجيه (1952) أن الفرد يمر بمراحل مختلفة في تعلّم كيفية التفكير أثناء نموه من الطفولة إلى مرحلة البلوغ، وتتكون نظرية بياجيه للتطور المعرفي من مراحل مختلفة يجب على الناس تطويرها من أجل تطوير قدراتهم المعرفية والتفكيرية، ويقترح أن يتعلم جميع الأفراد كيفية التفكير بنفس الطريقة من خلال المرور بالمراحل المختلفة. وقد لاقت النظرية
إنجازات الحضارة الرومانية

إنجازات الحضارة الرومانية

أهم إنجازات الحضارة الرومانية قدّمت الحضارة الرومانيّة العديد من الإنجازات والاخترعات التي جعلت منها إمبراطورية مُهيمنة على مرّ التاريخ، وفيما يأتي أبرز هذه الإنجازات: فن العمارة استوحى الرومان فنّ العمارة من العمارة اليونانية وأُطلق عليه اسم (العمارة الكلاسيكية)، فأبدعوا في التصميم وأضافوا بصمتهم الخاصّة على مبانيهم ليظهروا للعالم تميّزهم في هذا المجال، ممّا جعل بعض المُهندسين والمعماريين في وقتنا الحالي يستخدمون أُسس العمارة الرومانية ، وفيما يأتي أبرز الفنون المعمارية الرومانيّة: القِباب
الآثار الرومانية في إيطاليا

الآثار الرومانية في إيطاليا

إيطاليا أحد أكثر دول العالم نشاطًا من حيث حركة السياحة وعدد الزوار خلال السنة الواحدة، نظرًا لما تحتويه من آثار متنوّعة ذات طابع مبهر تجذب السيّاح من كافة أنحاء العالم، ومن هذه الآثار ما يعود إلى الحضارة الرومانية التي تركت بصمة أثرية واضحة في إيطاليا بمعالمها الجميلة والمختلفة. أهم الآثار الرومانية في إيطاليا تضم إيطاليا الحصة الأكبر من الآثار الرومانيّة الموجودة حول العالم، ومن هذه الآثار ما يأتي ذكره: الكولوسيوم The Colosseum بُني مدرج الكولوسيوم قبل حوالي 2000 عام وهو يعد واحدًا من أهم
تعريف الحوار الصحفي

تعريف الحوار الصحفي

تعريف الحوار الصحفي الحوار الصحفي هو مقابلة يقوم بها الصحفي أو شخص من وسائل الإعلام هدفها توفير المعلومات والتفاصيل للفت النظر على قضية محددة أو شخص معين، ثم يقوم بنشرها ونقلها للجمهور من خلال نوع من الطرق الإخبارية مثل محطات الأخبار على التلفاز أو الراديو أو المطبوعات أو في المواقع الإلكترونية . الهدف من الحوار الصحفي يكمن في الحصول على معلومات حول العميل وبناء الاهتمام بعمله أو أهدافه أو نشر علامة تجارية خاصة به، فإن الحصول على تغطية إعلامية عن طريق حوار صحفي يؤثر بشكل مباشر على عدد الأشخاص
مدينة الفيوم الجديدة

مدينة الفيوم الجديدة

محافظة الفيوم تعد إحدى محافظات جمهورية مصر العربية، وتقع في شمال الصعيد، في الصحراء الغربية، يحدها من جميع الجهات الصحراء ماعدا الجهة الجنوبية الشرقية تحدها محافظة بني سويف، يطلق عليها إسم مصر الصغرى وذلك لانها قطعة مصغرة مشابهة لجمهورية مصر، تبلغ مساحة المحافظة مايقارب 6,068.70 كيلومتراً مربعاً، وعدد سكانها حوالي 2.5 مليون نسمة. تعد مدينة الفيوم عاصمة المحافظة، نظراً للزيادة السكانية الكبيرة في المدينة تم تأسيس مدينة الفيوم الجديد؛ التي تقع في صحراء النقلون الوقعة جنوب شرق مدينة الفيوم
معنى اسم مشعل

معنى اسم مشعل

معنى اسم مشعل اسم مشعل هو اسم مفرد وجمعه مشاعل أي القناديل، وسنذكر بالتفصيل معنى هذا الاسم وما اشتق منه: مشعل: اسم علم مذكر عربي أتى من أصل شعل أي أوقد النار، وكلمة مشعل هي اسم آلة ، وتعني الفانوس، وهو اسم خليجي. مشعل: أي حطب وأشعل ليضيء المكان بمواد قابلة للاشتعال من أجل الدفء والحرارة . مشعل النار: ويكون موقد النار من الحطب، وكانت قد سميت به شعلة الألعاب الأولمبية، وقد وضعت قطعة من النار في وعاء مصنوع من المعدن، وكان بمعنى القوي. ومشعل هو اسم الفاعل من أشعل أي الذي يعمل النار. ومن الأسماء