قانون ضعف الزاوية

قانون ضعف الزاوية

صيغ قانون ضعف الزاوية

يرتبط مفهوم قانون ضعف الزاوية (بالإنجليزية: Double Angle) بالاقترانات المثلثية الثلاث، وهي الجيب، وجيب التمام، والظل، والتي هي عبارة عن علاقات تربط بين أضلاع المثلث قائم الزاوية بالنسبة لزواياه، ويجدر بالذكر أنّ ضعف الزاوية يعني ضرب قياس الزاوية بالعدد 2، أو مضاعفته، ولقانون ضعف الزاوية أشكال عدة هي:

  • جا (2س)=2 جا(س) جتا(س)=2 ظا(س)/ (1 ظا²(س)).
  • جتا (2س)=جتا²(س)-جا²(س)=2 جتا²(س)-1=1-2 جا²(س)=(1-ظا²(س))/(1 ظا²(س)).
  • ظا (2س)=2 ظا(س)/ (1-ظا²(س)).

أمثلة تطبيقية على قانون ضعف الزاوية

  • المثال الأول: إذا كانت س زاوية في الربع الثالث، وكانت قيمة جا(س)=-3/5، جد قيمة جا(2س)،جتا(2س)، ظا(2س).

الحل:

  • من خلال تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ، ومعرفة حقيقة أن جيب التمام سالب القيمة في الربع الثالث، وأن الظل موجب القيمة ينتج أن:
  • جتا(س)=-4/5، ظا(س)=3/4.
  • بتطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)=2×-3/5×-4/5=24/25.
  • بتطبيق قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)=1-(2ײ(3/5))=0.28.
  • بتطبيق قانون ظا(2س)=2ظا(س)/(1-ظا²(س))=2×(3/4)/(1-²(3/4))=24/7.
  • المثال الثاني: جد قيمة جا(2س) إذا كانت قيمة جتا(س)=4/5، والزاوية س في الربع الأول.

الحل:

  • بتمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ينتج أن جا(س)=3/5.
  • بتطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س) ينتج أن:
  • جا(2س)=2×(3/5)×(4/5)=24/25.
  • المثال الثالث: إذا كانت س زاوية حادة، وكان جا(س)=0.6، جد قيمة جا(2س).

الحل:

  • تحويل قيمة جا(س) إلى كسر مكوّن من بسط ومقام، ليصبح جا(س)=6/10.
  • تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس لينتج أن: جتا(س)=8/10.
  • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س) لينتج أن:
  • جا(2س)=2×6/10×8/10=48/50=0.96.
  • المثال الرابع: جد قيمة جا(2×ظا (3/4)).

الحل:

  • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)، لينتج أن:
  • جا(2×ظا (3/4))=2جا(ظا (3/4)جتا(ظا (3/4)).
  • تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس لينتج أن:
  • جتا(ظا (3/4))= 4/5، جا(ظا(3/4))=3/5.
  • تعويض الأرقام في القانون أعلاه لينتج أن:
  • جا(2×ظا (3/4))=2×3/5×4/5=24/25.
  • المثال الخامس: إذا كانت قيمة جا(س)=أ، جد قيمة جتا(2س).

الحل:

  • بتطبيق قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)=1-2أ².
  • المثال السادس: إذا كانت س زاوية في الربع الثالث، وكانت قيمة ظا(س)=0.83، جد قيمة جتا(2س).

الحل:

  • بتطبيق قانون جتا(2س)=(1-ظا²(س))/(1 ظا²(س))=(1-0.83²)/(1 0.83²)=0.1842
  • المثال السابع: جد قيمة جتا(2س) إذا كانت قيمة جا(س)=5/5√.

الحل:

  • باستخدام قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)، ينتج أن: جتا (2س)=±(1-2(5/5√)²)=3/5±.
  • المثال الثامن: إذا كانت قيمة قتا(س)=3/3√2، وكانت الزاوية س في الربع الأول، جد قيمة جا(2س) جتا(2س).

الحل:

  • قتا(س)=3/3√2=1/جا(س)، ومنه جا(س)=3√3/2، وبتمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ينتج أن: جتا(س)=1/2.
  • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)=2×(3√3/2)×(1/2)=3√3/2.
  • تطبيق قانون جتا(2س)=2جتا²(س)-1=2ײ(1/2)-1=1/2؛ وعليه جتا(2س)=-1/2؛ لأن ضعف الزاوية يقع في الربع الثاني، وعليه فهو سالب القيمة.
  • حساب قيمة جا(2س) جتا(2س)=3√3/2 1/2-=3√2/(3√-3)

أمثلة إثبات على قانون ضعف الزاوية

  • المثال الأول: أثبت أن (1-ظا²(ٍس))/قا²(س)=جتا(2س).

الحل:

  • بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
  • (1-ظا²(ٍس))/قا²(س)=(1-(جا²(س)/جتا²(س))×(1/قا²(س)).
  • (1-(جا²(س)/جتا²(س))×جتا²(س)=جتا²(س)-جا²(س)=جتا(2س).
  • المثال الثاني: أثبت أن 2قتا(2س)ظا(س)=قا²(س).

الحل:

  • بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
  • 2قتا(2س)ظا(س)=2×(1/ (2جا(س)جتا(س)))×(جا(س)/جتا(س))=1/جتا²(س)=قا²(س).
  • المثال الثالث: أثبت أن: قتا(2س)-ظتا(2س)=ظا(س).

الحل:

  • بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
  • قتا(2س)-ظتا(2س)=1/جا(2س)-جتا(2س)/جا(2س)=(1-جتا(2س))/جا(2س).
  • تعويض جتا(2س)=(1-2جا²(س))، جا(2س)=2جا(س)جتا(س) في القيمة السابقة لينتج أن:
  • قتا(2س)-ظتا(2س)=(1-(1-2جا²(س)))/2جا(س)جتا(س)=جا(س)/جتا(س)=ظا(س).
27تعليم
مزيد من المشاركات
كلمات في حب الله تعالى

كلمات في حب الله تعالى

كلمات في حب الله تعالى لا تحلف الا بالله.. عين يحبها الله وعيون يبغضها الله. الحب في الله يبدأ في نور.. ويعيش في نور.. وينتهي في نور.. أسأل الله أن يجمعنا على منابر من نور يوم القيامة. الحب.. ما كان لله دام وأتصل.. وما كان لغيره أنقطع وأنفصل.. الحب في الله.. لا يزيد بوفاء ولا ينقص بجفاء.. بل يبقى نبض القلب لا ينساه. ذنوب تدخل العبد تحت لعنة الرسول صلى الله عليه وسلم من فتاوى رسول الله صلى الله عليه وسلم للنساء خشية الله تعالى تذكر قبل أن تعصي الله. المحبة نعمة من الله.. وفقد الأحبة غربة..
علاج آلام الحلق

علاج آلام الحلق

آلام الحلق يُعرف ألم الحلق أو التهاب الحلق (بالإنجليزية: Sore throat) بأنّه الشعور بألم وخشونة بالحلق وخاصة عند البلع، يعود سبب الإلتهاب إما لعدوى فيروسية مثل: الإصابة بنزلات البرد أو الإنفلونزا ، وإما أن يكون الالتهاب ناتجاً عن عدوى بكتيرية بسبب بكتيريا عقدية والتي تحتاج إلى علاج بالمضادات الحيوية، وقد يرافق التهاب الحلق عدداً من الأعراض ومنها ما يلي؛ احتقان الغدد الموجودة في الرقبة والفك، واحتقان واحمرار اللَّوزتين، واحتمالية وجود نقط بيضاء أو قيح عليهما، والإصابة بالحمى، والسعال، والعطس،
أقدم مدينة في العالم

أقدم مدينة في العالم

مدينة أريحا أقدم مدينة في العالم إنّ أريحا هي مدينة عربية فلسطينية تعتبر أقدم المدن في العالم، إذ نشأت قبل عشرة آلاف عام قبل الميلاد، وتقع جغرافياً في وادي القلط، وتبعد عن مدينة القدس مسافة 36 كيلومتراً من الجهة الشرقية، وتبلغ مساحة أراضيها 45 كم²، وتنخفض عن مستوى سطح البحر 275 متراً، وتلقب باسم مدينة القمر، كما أنّ لها توأمة مع عدة مدن كمدينة كاليباتريا، وياش، وألساندريا، وإمبيريال، وإيليو، وكامبينيس، وليون، ونانت، وبيزا. سكان مدينة أريحا بلغ عدد سكان أريحا حسب إحصائيات عام 2016م 20,000 ألف
نبذة عن مفوضية الأمم المتحدة السامية لحقوق الإنسان

نبذة عن مفوضية الأمم المتحدة السامية لحقوق الإنسان

ما هي مفوضية الأمم المُتحدة السامية لحقوق الإنسان؟ مفوضية الأمم المُتحدة السامية لحقوق الإنسان هي الهيئة الأساسية التابعة للأمم المُتّحدة المعنيّة بحقوق الإنسان، أُنشئت في عام 1993م، تعمل الهيئة مع جميع الحكومات في مختلف دول العالم لتحقيق أهدافها المتمثلة في حماية حقوق الإنسان وحرياته الأساسية. بدأت فكرة مفوضية الأمم المُتحدة السامية لحقوق الإنسان، في أربعينات القرن العشرين ضمن إطار شعبة صغيرة مقرها الأمم المُتحدة، بعد اعتماد الإعلان العالمي لحقوق الإنسان في عام 1948م. انتقلت في ثمانينات القرن
أهمية العلم في الإسلام

أهمية العلم في الإسلام

العلم يعرّف العلم على أنّه معرفة الأمر على حقيقته بعد بذل جهد كبير يوصلك إلى المعرفة، وهناك الكثير من أنواع العلم نذكر منها: علم العقائد، وعلم التراجم، وعلم اللغات، وعلم الأنساب، وعلم الرياضيات، وعلم الفيزياء، وعلم الكيمياء، ولقد أولى ديننا الحنيف عناية فائقة بالعلوم على اختلافها، فبالعلم تسمو الأمم وترتقي الحضارات، لذا سنعرفكم في هذا المقال على أهمية العلم في الإسلام، والعلم في الحضارة الإسلامية، إضافة إلى المنهج العلمي عند المسلمين. أهمية العلم في الإسلام حظي العلم على اهتمام كبير من قبل
أفضل منطقة للسكن في لندن

أفضل منطقة للسكن في لندن

لندن تعرف لندن بكونها واحدة من المدن العالمية والتي تمكنت من المحافظة على عراقتها، وأصالتها، وطابعها التاريخي على الرغم من التطور المعماري والحياتي الذي شهدته خلال العقود الأخيرة، مما ساعد على احتوائها على عدد متنوع من أماكن السكن والتي تجذب إليها المقيمين والسياح بحسب اهتماماتهم ورغباتهم من حيث الأجواء السكنية التي يبحثون عنها، وفيما يلي توضيح لبعض أفضل الأماكن السكنيّة في لندن والتي تخدم جميع الأذواق. شارع أكسفورد يعتبر شارع أكسفورد من أهمّ شوارع مدينة لندن وأكثرها اكتظاظاً بالناس، ويعتبر
أقوال مأثورة عن الأم

أقوال مأثورة عن الأم

الأم هي أعظم كلمة وأول كلمة ننطقها وذلك لأن الأم رمز للحنان والحب والتضحية ولكل رموز الإنسانية، وهنا لكم في هذا المقال أقوال مأثورة و كلمات عن الأم . أقوال مأثورة عن الأم الأم هي قلب الحياة الأبيض الذي لا تغيّر لونه الأيام. الرجال من صُنع أمهاتهم. من فقد أمه فقد أبويه. من روائع خلق الله قلب الأم. الأم تظلم نفسها لتنصف أولادها. قلب الأم كعود المسك كلّما احترق فاح شذاه. لم أطمئن قط إلا وأنا في حجر أمي. الأم لا تقول هل تريد، بل تعطي. أعظم كتاب قرأته: أمي. لا يوجد شيء في الدنيا أحلى من قلب أم
إنشاء حساب بريد إلكتروني بدون رقم هاتف

إنشاء حساب بريد إلكتروني بدون رقم هاتف

إنشاء حساب بريد إلكتروني عبر الجيميل فيما يأتي خطوات إنشاء حساب بريد إلكتروني جديد عبر بريد الجيميل، دون الحاجة لاستخدام رقم الهاتف الخاص بالمُستخدِم أثناء عملية التسجيل: الذهاب إلى الصفحة الإلكترونية التي يُمكن من خلالها البدء بعملية إنشاء الحساب الجديد عبر الجيميل، ويُمكن الوصول إلى هذه الصفحة عبر النقر على الرابط الإلكتروني اضغط هنا . إدخال الاسم الأول والأخير (First and last name) ضمن حقل الاسم (Name) الظاهر على شاشة التسجيل. اختيار اسم المُستخدِم (Username) للحساب الجديد، والذي سيكون