قانون ضعف الزاوية

قانون ضعف الزاوية

صيغ قانون ضعف الزاوية

يرتبط مفهوم قانون ضعف الزاوية (بالإنجليزية: Double Angle) بالاقترانات المثلثية الثلاث، وهي الجيب، وجيب التمام، والظل، والتي هي عبارة عن علاقات تربط بين أضلاع المثلث قائم الزاوية بالنسبة لزواياه، ويجدر بالذكر أنّ ضعف الزاوية يعني ضرب قياس الزاوية بالعدد 2، أو مضاعفته، ولقانون ضعف الزاوية أشكال عدة هي:

  • جا (2س)=2 جا(س) جتا(س)=2 ظا(س)/ (1 ظا²(س)).
  • جتا (2س)=جتا²(س)-جا²(س)=2 جتا²(س)-1=1-2 جا²(س)=(1-ظا²(س))/(1 ظا²(س)).
  • ظا (2س)=2 ظا(س)/ (1-ظا²(س)).

أمثلة تطبيقية على قانون ضعف الزاوية

  • المثال الأول: إذا كانت س زاوية في الربع الثالث، وكانت قيمة جا(س)=-3/5، جد قيمة جا(2س)،جتا(2س)، ظا(2س).

الحل:

  • من خلال تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ، ومعرفة حقيقة أن جيب التمام سالب القيمة في الربع الثالث، وأن الظل موجب القيمة ينتج أن:
  • جتا(س)=-4/5، ظا(س)=3/4.
  • بتطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)=2×-3/5×-4/5=24/25.
  • بتطبيق قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)=1-(2ײ(3/5))=0.28.
  • بتطبيق قانون ظا(2س)=2ظا(س)/(1-ظا²(س))=2×(3/4)/(1-²(3/4))=24/7.
  • المثال الثاني: جد قيمة جا(2س) إذا كانت قيمة جتا(س)=4/5، والزاوية س في الربع الأول.

الحل:

  • بتمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ينتج أن جا(س)=3/5.
  • بتطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س) ينتج أن:
  • جا(2س)=2×(3/5)×(4/5)=24/25.
  • المثال الثالث: إذا كانت س زاوية حادة، وكان جا(س)=0.6، جد قيمة جا(2س).

الحل:

  • تحويل قيمة جا(س) إلى كسر مكوّن من بسط ومقام، ليصبح جا(س)=6/10.
  • تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس لينتج أن: جتا(س)=8/10.
  • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س) لينتج أن:
  • جا(2س)=2×6/10×8/10=48/50=0.96.
  • المثال الرابع: جد قيمة جا(2×ظا (3/4)).

الحل:

  • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)، لينتج أن:
  • جا(2×ظا (3/4))=2جا(ظا (3/4)جتا(ظا (3/4)).
  • تمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس لينتج أن:
  • جتا(ظا (3/4))= 4/5، جا(ظا(3/4))=3/5.
  • تعويض الأرقام في القانون أعلاه لينتج أن:
  • جا(2×ظا (3/4))=2×3/5×4/5=24/25.
  • المثال الخامس: إذا كانت قيمة جا(س)=أ، جد قيمة جتا(2س).

الحل:

  • بتطبيق قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)=1-2أ².
  • المثال السادس: إذا كانت س زاوية في الربع الثالث، وكانت قيمة ظا(س)=0.83، جد قيمة جتا(2س).

الحل:

  • بتطبيق قانون جتا(2س)=(1-ظا²(س))/(1 ظا²(س))=(1-0.83²)/(1 0.83²)=0.1842
  • المثال السابع: جد قيمة جتا(2س) إذا كانت قيمة جا(س)=5/5√.

الحل:

  • باستخدام قانون جتا(2س)=1-2جا²(س)، ينتج أن: جتا (2س)=±(1-2(5/5√)²)=3/5±.
  • المثال الثامن: إذا كانت قيمة قتا(س)=3/3√2، وكانت الزاوية س في الربع الأول، جد قيمة جا(2س) جتا(2س).

الحل:

  • قتا(س)=3/3√2=1/جا(س)، ومنه جا(س)=3√3/2، وبتمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس ينتج أن: جتا(س)=1/2.
  • تطبيق قانون جا(2س)=2جا(س)جتا(س)=2×(3√3/2)×(1/2)=3√3/2.
  • تطبيق قانون جتا(2س)=2جتا²(س)-1=2ײ(1/2)-1=1/2؛ وعليه جتا(2س)=-1/2؛ لأن ضعف الزاوية يقع في الربع الثاني، وعليه فهو سالب القيمة.
  • حساب قيمة جا(2س) جتا(2س)=3√3/2 1/2-=3√2/(3√-3)

أمثلة إثبات على قانون ضعف الزاوية

  • المثال الأول: أثبت أن (1-ظا²(ٍس))/قا²(س)=جتا(2س).

الحل:

  • بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
  • (1-ظا²(ٍس))/قا²(س)=(1-(جا²(س)/جتا²(س))×(1/قا²(س)).
  • (1-(جا²(س)/جتا²(س))×جتا²(س)=جتا²(س)-جا²(س)=جتا(2س).
  • المثال الثاني: أثبت أن 2قتا(2س)ظا(س)=قا²(س).

الحل:

  • بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
  • 2قتا(2س)ظا(س)=2×(1/ (2جا(س)جتا(س)))×(جا(س)/جتا(س))=1/جتا²(س)=قا²(س).
  • المثال الثالث: أثبت أن: قتا(2س)-ظتا(2س)=ظا(س).

الحل:

  • بكتابة السؤال بطريقة أخرى وتبسيط جميع المعطيات بكتابتها على شكل جيب، وجيب التمام ينتج أن:
  • قتا(2س)-ظتا(2س)=1/جا(2س)-جتا(2س)/جا(2س)=(1-جتا(2س))/جا(2س).
  • تعويض جتا(2س)=(1-2جا²(س))، جا(2س)=2جا(س)جتا(س) في القيمة السابقة لينتج أن:
  • قتا(2س)-ظتا(2س)=(1-(1-2جا²(س)))/2جا(س)جتا(س)=جا(س)/جتا(س)=ظا(س).
8تعليم
مزيد من المشاركات
ما هي مدينة القاهرة

ما هي مدينة القاهرة

مدينةُ القاهرةِ تُعَدّ مدينة القاهرة (بالإنجليزية: Cairo) مدينة عربيّة أفريقيّة كبيرة تقع في الجمهوريّةِ العربيّةِ المصريّةِ، وتُمثّلُ عاصمتَها الإداريّةَ والوطنيّةَ، والمدينةَ الكُبرى بين مُدنِها، وقد احتلّت القاهرةُ عبرَ تاريخِها الطويلِ مكانةً مرموقةً بين مُدنِ العالمِ؛ فقد احتلّت موقعَها كواحدةٍ من أهمِّ المراكزِ الثقافيّةِ، والاقتصاديّةِ، والدينيّةِ في منطقةِ الشرقِ الأوسطِ، بالإضافة إلى أنّها إحدى أبرزِ مناطقِ الجذبِ السياحيِّ في العالمِ، إلى جانب أنّها تحتضِنُ العديدَ من المُنظَّماتِ
معالم السياحة في تركيا

معالم السياحة في تركيا

جبل نمرود يُعتقد أنّ الملك أنطيوخس ثيوس شيد معبدًا مقدسًا على قمة جبل نمرود (بالإنجليزية: Mount Nemrut) الذي يبلغ ارتفاعه 2134 متراً، وفي عام 62 قبل الميلاد كان المعبد يضم العديد من تماثيل الآلهة اليونانية والفارسية، وأسدين ونسرين كبيرين، ولكن اليوم أصبح المعبد في حالة سيئة، وفُصلت الرؤوس عن التماثيل وبُعثرت على الجبل. قلعة بودروم كانت قلعة بودروم (بالإنجليزية: Bodrum Castle) التي تبلغ مساحة قاعدتها 2787 متراً مربعاً رمزًا للوحدة المسيحية الأوروبية في مواجهة قوة الإمبراطورية العثمانية ، ويعطي
ظاهرة انحراف الشباب

ظاهرة انحراف الشباب

مظاهر انحراف الشباب الشباب هم عماد المجتمع وركنه المتين، وهم القوة التي يُعتمد عليها في الشدائد والملمات، فلولا الشباب لساد المجتمعات الهرم والضعف، فهم عنصر القوة والإنتاج فيها، إلا أنّ ظاهرة انحراف الشباب تبدو جلية في المجتمعات، وفيما يأتي أبرز مظاهرها: العزوف عن الدراسة، واعتباراه ا آخر أولويات الشباب، وعدم الاهتمام بها. المخالفات المروريّة، والتعدي على قوانين الدولة والممتلكات العامة، وعدم احترامها والالتزام بها. الإدمان وتعاطي المخدرات، والتدخين. سوء التعامل مع الآخرين، ومضايقة الأفراد
طريقة البوريك

طريقة البوريك

البوريك تُعتبر هذه الوجبة من الأكلات المفضلة لدى الكثير من الناس، وخاصَّةً في شهر رمضان المبارك، حيث يمكن خبزها في الفرن، أو يمكن قليها بالزيت، ويمكن حشيها باللحم، أو الجبن، أو الخضار، وقد اعتمدنا في مقالنا هذا على الوصفة التي حضَّرتها منال العالم. طريقة البوريك بالفرن تختلف الحشوات التي تُستخدم في البوريك، ولذلك سنعرض الحشوات الأساسية وهي حشوة اللحم، وحشوة الجبن. المكوّنات العجينة أربعة أكواب من الطحين. بيضتان. كوب من الماء. ملعقة خل كبيرة. ملعقة ملح صغيرة. فلفل أسود. حشوة اللحم ملعقتان
أفضل عصير طبيعي

أفضل عصير طبيعي

العصير الطبيعي تعتبر العصائر الطبيعية سواء كانت من الفواكه أم الخضار أم الاثنين معاً من أهم المصادر التي تمد الجسم بالعناصر اللازمة لصحته ونموه، فهي تحتوي على العديد من الفيتامينات والمغذيات مثل الأحماض الأمينية الأساسية، والاحماض الدهني، ومضادات الأكسدة، والإنزيمات، ويوصي الأطباء بالعصائر الطبيعية التي لا تمر بمراحل التصنيع، حيث يُوصى بشرب ما لا يقل عن كوبين من العصائر الطازجة يومياً، ومن هذه العصائر عصير الليمون، وعصير الجزر، وعصير التفاح والبروكلي، وعصير الرمان، وعصير التوت والفراولة، وعصير
ما هو أفضل كريم طبيعي لتبييض الوجه

ما هو أفضل كريم طبيعي لتبييض الوجه

تبييض الوجه تتعرّض بشرة الوجه لعدد من العوامل التي تتسبب في بهتان لونها وفقدانها لنقاوتها ونضارتها وبياضها، سواء كانت عوامل جوية مثل الحرارة الشديدة والهواء القوي، أو غيرها من العوامل النفسية والتغيرات الهرمونيّة في جسم الإنسان، ويمكن الاستفادة من بعض الكريمات الطبيعية من أجل الحفاظ على بياض البشرة وإعادتها إلى سابق عهدها في حال تضررها. أفضل كريم طبيعي لتبييض الوجه كريم الخيار الطبيعي تقشر حبة خيار بحجم كبير، ثم تبرش في وعاء صغير. يهرس برش الخيار باستخدام شوكة صغيرة، مع الاستمرار في الهرس إلى
أنواع الهوامش في البحث العلمي

أنواع الهوامش في البحث العلمي

أنواع الهوامش في البحث العلمي يوجد للهوامش في البحث العلمي 3 أنواع رئيسية، نذكرها فيما يلي: هامش يُكتب في ذيل الصفحة يتم تدوين الهوامش في ذيل الصفحة في 3 طُرق هي: وضع أرقام مستقلة لكل صفحة على حدة. وضع أرقام متصلة متسلسلة لكل فصل على حدة. وضع أرقام متصلة متسلسلة للباحث ككل. هامش يُكتب في نهاية الفصل يتم في هامش يُكتب في نهاية الفصل من الهامش يوضع رقم متتابع لكل فصل على حدة، ثم يتم جمع كافة الهوامش وتدوينها في نهاية الفصل. هامش يُكتب في نهاية البحث يتم في نوع هامش يُكتب في نهاية البحث وضع أرقام
أفضل دعاء لليلة القدر

أفضل دعاء لليلة القدر

دعاء ليلة القدر يتحرّى المسلمون ليلة القدر في العشر الأواخر من شهر رمضان المبارك؛ لما لهذه الليلة من شأن عظيم وخير كثير، كما ويقيم المسلمون هذه الليلة بعبادة الله -عز وجل-، وقراءة القرآن، والدعاء، والذكر. وقد ثبت عن أم المؤمنين عائشة -رضي الله عنها- قالت: (يا رسولَ اللَّهِ، أرأيتَ إن وافقتُ ليلةَ القدرِ ما أدعو؟ قالَ: تقولينَ: اللَّهمَّ إنَّكَ عفوٌّ تحبُّ العفوَ فاعفُ عنِّي)، فينبغي للمسلم أن يُكثر من هذا الدعاء في هذه الليلة المباركة. أدعية من القرآن الكريم لليلة القدر ورد في كتاب الله العزيز