قانون حجم الكرة في الرياضيات

قانون حساب حجم الكرة

يُمكن تعريف حجم الكرة (بالإنجليزية: Sphere Volume) أو الجسم الصلب ثلاثي الأبعاد بأنها كمية الفراغ الموجودة داخل الجسم، ويُقاس بالوحدات المكعّبة، ويُمكن إيجاد حجم الكرة عن طريق العلاقة الآتية:

حجم الكرة= 4/3×π×مكعب نصف القطر، وبالرموز:

ح=4/3×π×نق³

حيث إنّ:

• ح: حجم الكرة.
• نق: هو نصف قطر الكرة.
• π: الثابت باي وتعادل قيمته تقريباً 3.14.

من الجدير بالذكر هنا أيضاً هو أنّ حاصل الضرب (4/3×π) يساوي تقريباً القيمة: 4.19، لذلك يمكن كتابة القانون السابق على شكل حجم الكرة= 4.19×نق³.

حساب حجم الكرة عند معرفة مساحتها السطحية

كما يمكن عند معرفة مساحة الكرة السطحية استخدام قانون مساحة سطح الكرة لمعرفة طول نصف قطرها، ثم تعويض قيمة نصف القطر في العلاقة السابقة، حيث قانون مساحة سطح الكرة هو:

مساحة سطح الكرة= 4×π×مربع نصف القطر.

أمثلة على استخدام قانون حجم الكرة

• المثال الأول: جسم كروي الشكل، طول نصف قطره يساوي 5سم، احسب حجم الجسم.

الحل:

• باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(5)³= 524سم³.

• المثال الثاني: ما هو حجم الكرة التي يساوي نصف قطرها 8م.

الحل:

• باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(8)³= 2145م³.

• المثال الثالث: كرة نصف قطرها 10سم، فما هو حجمها.

الحل:

• باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(10)³= 4188سم³.

• المثال الرابع: كرة قطرها 10م، فما هو حجمها.

الحل:

• حساب نصف قطر الكرة، بقسمة القطر على 2، لينتج أن نصف قطر هذه الكرة= 10/2=5م، ثم وباستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(5)³= 523.8م³.

• المثال الخامس: إذا كان قطر كرة قدم 24سم، فما هو حجم الهواء الموجود بداخلها.

الحل:

• حساب نصف قطر الكرة، بقسمة القطر على 2، لينتج أن نصف قطر هذه الكرة= 24/2=12سم، ثم وباستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ينتج أن حجم الكرة= 4/3×3.14×(12)³= 7,234.6سم³ ، وهو ذاته حجم الهواء الموجود بداخلها.

• المثال السادس: كم يعادل حجم الكرة التي يبلغ نصف قطرها 3سم، بالنسبة لحجم الكرة التي يبلغ قياس نصف قطرها 3√.

الحل:

• حساب حجم الكرة الأولى باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة الأولى= 4/3×3.14×(3)³= 113.04سم³.
• حساب حجم الكرة الثانية باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة الثانية= 4/3×3.14×(3√)³= 21.75سم³.
• حساب النسبة بين حجم الكرتين لينتج أن: حجم الكرة الأولى/حجم الكرة الثانية= 113.04/21.75= 5.2، ومنه ينتج أن حجم الكرة الأولى يعادل تقريباً خمسة أضعاف حجم الكرة الثانية.

• المثال السابع: إذا كانت مساحة سطح الكرة 256πم²، جد حجمها.

الحل:

• حساب نصف القطر باستخدام قانون مساحة سطح الكرة وهو: مساحة سطح الكرة=4×π×مربع نصف القطر، 256π=مربع نصف القطر×π×4، ومنه نصف قطر الكرة= 8م.
• حساب حجم الكرة باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(8)³= 2,144م³.

• المثال الثامن: إذا تمت مضاعفة قطر إحدى الكرات، فكم سيزيد حجمها.

الحل:

• نفترض أن قطر الكرة قبل الزيادة هو (ق)، وأن نصف قطرها قبل الزيادة هو: نق= ق/2، وأن حجمها قبل الزيادة هو: 4/3×3.14×(ق/2)³=0.52×ق³.
• نفترض أن قطر الكرة بعد الزيادة هو (2ق)، وأن نصف قطرها بعد الزيادة هو: نق=2/(2ق)=ق، وأن حجمها بعد الزيادة هو: 4/3×3.14×(ق)³= 4.19×ق³.
• قسمة حجم الكرة بعد الزيادة على حجمها قبل الزيادة لينتج أن: 4.19×ق³÷0.52×ق³=8، وهذا يعني أن حجم الكرة بعد الزيادة يعادل ثمانية أضعاف حجم الكرة قبل الزيادة.

• المثال التاسع: إذا كان معدل تسرب الهواء من بالون دائري الشكل هو 0.7م³/دقيقة، جد الوقت اللازم لتفريغ البالون بالكامل إذا كان طول نصف قطره 2م.

الحل:

• حساب حجم البالون والهواء الموجود بداخلها باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الهواء الموجود داخل البالون= 4/3×3.14×(2)³= 33.49م³.
• حسب الوقت اللازم لتفريغ البالون عن طريق قسمة حجم البالون كاملاً على معدل تفريغ الهواء منه، لينتج أن الوقت اللازم لتفريغ البالون هو=33.49/0.7=48 دقيقة تقريباً.

• المثال العاشر: إذا كانت مساحة سطح الكرة 36πم²، جد حجمها.

الحل:

• حساب نصف القطر باستخدام قانون مساحة سطح الكرة وهو: مساحة سطح الكرة=4×π×مربع نصف القطر، 36π=مربع نصف القطر×π×4، ومنه نصف قطر الكرة= 3م.
• حساب حجم الكرة باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(3)³= 113.04م³.

• المثال الحادي عشر: إذا كان حجم الكرة 36πم³، جد قياس قطرها.

الحل:

• حساب نصف القطر باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه
• 4/3×π×نق³ =36π، وعليه نق=3م، وطول القطر=2×نصف القطر=2×3=6م.

• المثال الثاني عشر: إذا كان نصف قطر وعاء نصف كروي الشكل 3.5سم، جد حجم هذا الوعاء.

الحل:

• استخدام قانون حجم الكرة لحساب ضعف حجم الوعاء؛ لأن الوعاء يمثّل نصف كرة: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه ضعف حجم الوعاء=4/3×3.14×(3.5)³=179.5سم³، أما حجم الوعاء فيساوي=179.5/2= 90سم³.

• المثال الثالث عشر: أوجد حجم الكرة بالأمتار المكعبة إذا علمت أنّ قطرها 12 سم .

الحل:

• نصف قطر الكرة = القطر/2 = 12/2 = 6 سم.
• حجم الكرة = 4/3×π×نق³
• حجم الكرة = 4/3×3.14×6³
• حجم الكرة = 4/3×3.14×6³
• حجم الكرة = 905.04 سم³
• تحويل الوحدة من سم³ إلى م³:
• 1 سم³ = 1×10 م³
• وبالتالي:
• 905.04 سم³ = 905.04×10 م³
• حجم الكرة = 905.04 ×10 م³ ويمكن كتابتها 0.0009054 م³.

• المثال الرابع عشر: احسب قطر الكرة التي يبلغ حجمها 4187 سم³.

الحل:

• حجم الكرة = 4/3×π×نق³
• 4187 = 4/3×π×نق³
• نق³ = 1000
• أخذ الجذر التكعيبي للطرفين وبالتالي: نق = 10 سم
• قطر الكرة = نق×2 = 10×2 = 20 سم.
• قطر الكرة = 20 سم.

• المثال الخامس عشر: إذا علمتَ أنّ مساحة كرة السلة تساوي 1810 سم²، احسب حجمها.

الحل:

• لإيجاد الحجم يجب إيجاد نصف القطر من قانون مساحة الكرة:
• مساحة سطح الكرة= 4×π×نق²
• 1810 = 4×3.14×نق²
• نق² √ = 144 √
• نق = 12 سم.
• تعويض نصف القطر في قانون الحجم:
• حجم الكرة = 4/3×π×نق³
• حجم الكرة = 4/3×3.14×12³
• حجم الكرة = 7240.32 سم³

• المثال السادس عشر: إذا علمتَ أنّ هناك كرة حجمها 1450 سم³، احسب مساحة سطح هذه الكرة.

الحل:

• لإيجاد المساحة يجب إيجاد نصف القطر من قانون حجم الكرة:
• حجم الكرة = 4/3×π×نق³
• 1450 = 4/3×3.14×نق³
• نق³ = 346
• نق = 7 سم
• تعويض نصف القطر في قانون المساحة لإيجاد مساحة الكرة:
• مساحة سطح الكرة= 4×π×نق²
• 4×3.14×7²
• مساحة سطح الكرة= 615.44 سم²

المثال السادبع عشر: احسب ثلثي حجم كرة يبلغ نصف قطرها 4 سم.

الحل:

• حجم الكرة = 4/3×π×نق³
• حجم الكرة = 4/3×3.14×4³
• حجم الكرة = 268 سم³
• ثلثي حجم الكرة = 2/3 × (حجم الكرة)
• 2/3 × 268
• ثلثي حجم الكرة = 178.66 سم³

يُعرف حجم الكرة بأنّه الفراغ الذي يشغله جسم ثلاثي الأبعاد، ويُقاس بوحدة مكعبة، مثل: م³ أو سم³ ، ويُمكن حساب حجم الكرة بواسطة المعادلة: (4/3×π×نق³) حيث أنّ نق هو نصف قطر الكرة، ويُشار إلى أنّه إذا عُرفت المساحة السطحية للكرة فإنّه يُمكن إيجاد نصف قطر الكرة ، ثمّ التعويض في قانون الحجم لإيجاد حجم الكرة.