طرق حل المعادلة التربيعية

طرق حل المعادلة التربيعية

تُمثّل حلول المُعادلة التربيعيّة القيم التي تساوي عندها المعادلة صفراً، ويُطلق عليها أحياناً اسم الجذور (بالإنجليزية: Roots) أو الأصفار (بالإنجليزية: Zeros)، وغالباً ما يكون للمُعادلة التربيعيّة حلّان، ويُمكن إيجاد هذه الحلول باستخدام طرق عدة منها:

• التحليل إلى العوامل (بالإنجليزية: Factor the Quadratic).
• الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Formula).
• إكمال المُربع (بالإنجليزية: Complete the Square).
• الجذر التربيعي (بالإنجليزية: Square Root Property).
• الرسم البيانيّ (بالإنجليزية: graphing).

علماً أنّ جميع الطرق السابقة تعتمد على جعل المُعادلة التربيعيّة تساوي صفراً.

التحليل إلى العوامل

تتضمّن عمليّة التحليل إلى العوامل تحويل المُعادلة ذات الثلاثة حدود إلى معادلة مكتوبة على شكل حدين مضروبين ببعضهما البعض، وذلك بعد استخدام طريقة التجربة والخطأ؛ أي التخمين، وذلك كما في الحالتين الآتيتين:

• عندما تكون أ=1 في المُعادلة التربيعيّة: لتحليل المعادلة التربيعية التي يكون فيها أ=1، يجب البحث أولاً عن عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي ج، وذلك كما في المثال الآتي:
  • لتحليل المُعادلة التربيعيّة الآتية: س² 3س-10=0، يجب أولاً يتمّ تخمين العددين اللذين يساوي ناتج جمعهما 3، وناتج ضربهما يساوي -10، وهما 5، -2، ثمّ كتابة المُعادلة التربيعيّة على النحو الآتي: (س و)(س ز)=(س-2)(س 5)=0، ومنه: إما أنّ تكون (س-2)=0، أو (س 5)=0، لينتج أنّ: س=2، أو س=-5، وهي الأعداد التي تمثل الحلول لهذه المُعادلة التربيعية.

• عندما تكون أ ≠1 في المُعادلة التربيعيّة: فإنّ التحليل يكون باتباع الخطوات الآتية:
  • كتابة المعادلة على الصورة القياسية: أس² ب س جـ=0.
• إيجاد حاصل ضرب أ×ج، ثمّ إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي أ×ج.
  • كتابة العددين مكان ب على شكل مجموع عددين مضروبين في س؛ فمثلاً إذا كان العددين هما (و،ز) فإن المعادلة تُكتب على النحو الآتي: أ س² (و ز) س جـ=0، ثم أ س² و س ز س جـ=0
  • تحليل أول حدّين (أ س² و س) بإخراج عامل مشترك منهما، ثمّ تحليل آخر حدّين (ز س جـ) بإخراج عامل مشترك بينهما أيضاً، بحيث يكون ما بقي داخل الأقواس مُتساوياً.
  • أخذ القوس المتبقي كعامل مُشترك ثمّ كتابة المُعادلة التربيعيّة على الصورة النهائيّة على صورة حاصل ضرب حدّين.
  • مساواة المُعادلة بالصفر ثمّ إيجاد الحلول لهذه المُعادلة.
  • فمثلاً لتحليل المُعادلة التربيعيّة الآتية: 4س² 15س 9=0، يجب القيام بالخطوات الآتية:
    • إيجاد حاصل ضرب 4×9=36، ثمّ تخمين العددين اللذين يساوي حاصل جمعهما 15، وناتج ضربهما يساوي 36، وهما 3، 12، ثمّ كتابة المُعادلة التربيعيّة على النحو الآتي: 4س² 3س 12س 9=0.
    • تحليل أول حدّين؛ حيثُ يُؤخذ س كعامل مشترك، وكذلك آخر حدّين؛ حيثُ يؤخذ الرقم 3 كعامل مُشترك، لتُكتب المعادلة على الصورة الآتية: س(4س 3) 3(4س 3)=0.
    • أخذ الحد (4س 3) كعامل مُشترك لتُكتب المُعادلة على النحو الآتي: (4س 3)(س 3)=0.
    • إيجاد حلول للمعادلة التربيعية: فإما أنّ: (4س 3)=0، لينتج أنّ: س= -3/4، وإمّا أنّ: (س 3)=0، لينتج أنّ: س=-3، إذن حلول هذه المُعادلة التربيعية هي: س=-3/4، و س=-3.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل المُعادلة التربيعية يُمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل المعادلة التربيعية ، كيفية تحليل الفرق بين مربعين .

الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية

يصعُب أحياناً تحليل المُعادلة التربيعيّة لكنّ هذا لا يعني بالضرورة أنّ لا حلول لها، وفي هذه الحالة يُمكن استخدام الصيغة العامّة لحل المعادلة التربيعية وإيجاد قيم س التي تُحقّق المُعادلة، ولتحقيق ذلك يجب أن تُكتب المُعادلة على الصورة القياسيّة؛ بحيث تُنقل جميع الحدود وتوضع على أحد أطراف المُعادلة بينما يُكتب صفر على الطرف الآخر، وذلك لإتمام الخطوات باستخدام هذه الطريقة.

• فمثلاً لتحليل المُعادلة التربيعيّة الآتية: 5س² 6س 1=0، يتمّ تعويض أ=5، ب=6، ج=1، في قانون الصيغة العامّة، وهو: س= -ب±(ب²-4×أ×جـ)√/(2×أ)، ومنه: س=(-6 ±(6²-4×5×1)√)/(2×5)؛ لينتج أنّ: س=-6±4/ (10)، بالتالي س =-2/10، س-=-10/10=-1، وهي حلول المعادلة التربيعية.

إكمال المربع

تُستخدم هذه الطريقة عند الفشل في استخدام طريقتي التحليل إلى العوامل والجذر التربيعيّ، وتعتبر هذه الطريقة بسيطة وعملية، إلا أنها غير قابلة للتطبيق دائماً، ولإيجاد الحلول أو الأصفار باستخدام هذه الطريقة يجب أولاً جعل أ=1، وذلك بقسمة كامل المُعادلة على قيمة أ، ثمّ إتمام الحل باتباع الخطوات الآتية:

• نقل الحدّ الثابت إلى الجانب الآخر من المُعادلة.
• إكمال المربع على كل طرف من أطراف المُعادلة، بإضافة (ب/2×أ)² إلى طرفيّ المُعادلة، ثم كتابة المعادلة على شكل (س ل)²=ق، بعد تحليل الطرف الأيمن لها.
• أخذ الجذر التربيعيّ لطرفيّ المُعادلة.
• طرح الرقم الموجود على جانب المُتغيّر س من طرفي المعادلة، وإيجاد الحلول.
• فمثلاُ لحلّ المعادلة التربيعية الآتية: س² 4س 1=0، وبما أنّ أ=1 فإننا ننتقل إلى الخطوة التالية، وهي نقل الرقم 1 إلى الطرف الآخر من المُعادلة، لتصبح المعادلة: س² 4س=-1، ثم إكمال المربع بإضافة (4/2×1)²=4 إلى طرفيّ المُعادلة، لتصبح المعادلة: س² 4س 4=-1 4، ومنه: س² 4س 4=3، ثمّ بتحليل الطرف الأيمن للمعادلة فإنها تصبح: (س 2)²=3، ثمّ بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، ينتج أن: س 2= ±1.73، ثمّ بطرح 2 من الطرفين، ينتج أنّ: س=3.73-، أو س=-0.27.

الجذر التربيعي

عندما لا يكون هناك حدّ خطّيّ (الحدّ س) في المُعادلة التربيعية، فإنه يمكن حلّها بوضع س² لوحده على طرف والحدود الثابتة على الطرف الآخر، ثمّ أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لإيجاد قيم (س) التي تحقق المعادلة؛ فمثلاّ لحلّ المُعادلة التربيعيّة الآتية: س²-8=0، يجب نقل الحد الثابت على الطرف الآخر من المعادلة، لتصبح س²=8، ثم أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين لينتج أنّ: س=±(2√2).

أمثلة على حل المعادلة التربيعية

عند حلّ مُعادلة من الدرجة الثانية، يُمكن الأخذ بالنقاط الآتية بعين الاعتبار لتحديد طريقة الحلّ المناسبة:

• استخدام طريقة التحليل إلى العوامل كأول طريقة، بعد أن تُكتب المعادلة على الصورة القياسيّة، وإذا لم يتمّ الحصول على حلول للمُعادلة خلال دقيقة واحدة فيجب الانتقال إلى طريقة أخرى فوراً.
• أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين إذا كان الطرف الذي يحوي المُتغيّر مُربّعاً كاملاً، وإضافة إشارة ± للحلّ بعد أخذ الجذر التربيعي.
• استخدام طريقة إكمال المُربع إذا كان مُعامل س²=1 ومعامل س عدد زوجيّ.
• الصيغة العامّة تصلح لجميع أنواع المعادلات، وإذا كان العدد تحت الجذر كبيراً فيُمكن اعتماد طريقة أخرى للحلّ.

أمثلة على استخدام الصيغة العامة

المثال الأول: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س² 3س-4=0؟

• الحلّ:
  • تعويض أ=1، ب=3، ج=-4، في قانون الصيغة العامّة لينتج أنّ: س= (-3 ±(3²-4×-4×1)√)/(2×1)، ومنه: س=-3±5/ 2، وبالتالي س =-3 5/2=2/2=1، س-=-3-5/2=-8/2=-4.

المثال الثاني: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: 3س²-س 5=7 ؟

• الحلّ:
  • كتابة المُعادلة التربيعيّة على الصورة القياسيّة، وذلك بطرح 7 من الطرفين، لينتج أن: 3س²-س-2=0،
  • تعويض أ=3، ب=-1، ج=-2، في قانون الصيغة العامّة لينتج أنّ: س= (1 ±((-1)²-(4×3×-2)√)/(2×3)، ومنه: س=1±5/6، بالتالي س =1 5/6=6/6=1، س-=1-5/6=-4/6=-2/3.

أمثلة على التحليل إلى العوامل

المثال الأول: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س² 5س 6=0 ؟

• الحلّ:
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 5، وناتج ضربهما يساوي 6، وهما 2، 3، ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س 2)(س 3)=0.
  • ومنه إما أنّ: (س 2)=0، لينتج أنّ: س=-2، وإما أنّ: (س 3)=0، لينتج أنّ: س=-3، إذن الحلول لهذه المُعادلة التربيعية هما: س=-2 و س=-3.

المثال الثاني: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س² 5س 6=20 ؟

• الحلّ:
  • كتابة المُعادلة التربيعيّة على الصورة القياسيّة بطرح 20 من الطرفين لينتج أن: س² 5س-14=0.
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 5، وناتج ضربهما يساوي -14، وهما -2، 7، ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س-2)(س 7)=0.
  • ومنه إما أنّ: (س-2)=0، لينتج أنّ: س=2، وإما أنّ: (س 7)=0، لينتج أنّ: س=-7، إذن الحلول لهذه المُعادلة التربيعية هما: س=2 و س=-7.

المثال الثالث: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س²-س-42=0 ؟

• الحلّ:
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي -1، وناتج ضربهما يساوي -42، وهما 6، -7، ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س 6)(س-7)=0.
  • ومنه إما أنّ: (س 6)=0، لينتج أنّ: س=-6، وإما أنّ: (س-7)=0، لينتج أنّ: س=7، إذن الحلول لهذه المُعادلة التربيعية هما: س=-6 و س=7.

المثال الرابع: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س²-11س 28=0 ؟

• الحلّ:
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي -11، وناتج ضربهما يساوي 28، وهما -4، -7، ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س-4)(س-7)=0.
  • ومنه إما أنّ: (س-4)=0، لينتج أنّ: س=4، وإما أنّ: (س-7)=0، لينتج أنّ: س=7، إذن الحلول لهذه المُعادلة التربيعية هما: س=4 و س=7.

أمثلة على إكمال المربع

المثال الأول: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: 2س²-س-1=0 ؟

• الحلّ:
  • قسمة الطرفين على 2 لجعل معامل س²=1، لينتج: س²-½س-½=0
  • إضافة ½ إلى الطرفين، لينتج: س²-½س=½
  • إضافة (-2/½×1) ²=1/16 إلى طرفيّ المُعادلة، لينتج: س²-½س 1/16=½ 1/16، ومنه: س²-½س 1/16=9/16.
  • تحليل الطرف الأول للمعادلة، لينتج: (س-¼)²=9/16.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج: س-¼= ±(9/16)√، ومنه س-¼= ±¾، ثمّ بإضافة ¼ إلى الطرفين، ينتج أنّ: س=±¾ ¼، فإمّا أنّ: س= ¾ ¼=4/4=1، وإمّا أنّ: س=-¾ ¼=-2/4=-½.

المثال الثاني: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س²-4س-8=0 ؟

• الحلّ:
  • إضافة 8 إلى الطرفين، لينتج: س²-4س=8.
  • إضافة (-4/2×1) ²=4 إلى طرفيّ المُعادلة، لينتج: س²-4س 4=8 4، ومنه: س²-4س 4=12.
  • تحليل الطرف الأول للمعادلة، لينتج: (س-2)²=12.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج: (س-2)= ±12√، ثمّ بإضافة 2 للطرفين، ينتج أنّ: س= 12√±2=3√2±2، فإمّا أنّ: س=3√2 2، وإمّا أنّ: س=3√2-2.

المثال الثالث: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: س²-10س=-12 ؟

• الحلّ:
  • إضافة (-10/2×1) ²=25 إلى طرفيّ المُعادلة، لينتج: س²-10س 25=-12 25 ، ومنه: س²-10س 25=13.
  • تحليل الطرف الأول للمعادلة، لينتج: (س-5)²=13.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج: (س-5)=±13√، ثمّ بإضافة 5 للطرفين ينتج أنّ: س=13√±5، فإمّا أنّ: س=13√ 5، وإمّا أنّ: س=13√-5.

المثال الرابع: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: 4س² س=3 ؟

• الحلّ:
  • قسمة الطرفين على 4 لجعل معامل س²=1، لينتج: س² ¼س=¾
  • إضافة (-2/¼×1) ²=1/64 إلى طرفيّ المُعادلة، لينتج: س² ¼س 1/64=¾ 1/64، ومنه: س² ¼س 1/64=49/64.
  • تحليل الطرف الأول للمعادلة، لينتج: (س ⅛)²=49/64.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج: (س ⅛)=(49/64)√، ومنه: س ⅛=±⅞ ثمّ بطرح ⅛ من الطرفين ينتج أنّ: س=⅞±⅛-، فإمّا أنّ: س=⅞ ⅛-=6/8=3/4، وإمّا أنّ: س=-⅞-⅛-=-8/8=-1.

أمثلة على الجذر التربيعيّ

المثال الأول: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: 4س² 1=7 ؟

• الحلّ:
  • طرح 1 من الطرفين، لينتج أن: 4س²=6، ثمّ قسمة الطرفين على 4، لينتج: س²=3/2.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج أنّ: س=±(3/2)√.

المثال الثاني: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: 3(س-4)²=15 ؟

• الحلّ:
  • قسمة الطرفين على 3، لينتج أنّ: (س-4)²=5.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج أنّ: س-4=±5√، ثمّ بإضافة 4 للطرفين، ينتج أنّ: س=5√±4، فإمّا أنّ: س=5√ 4، وإمّا أنّ: س= 5√-4.

المثال الثالث: جِد الحلول للمُعادلة التربيعيّة الآتية: -7(س²-10)²-6=-258 ؟

• الحلّ:
  • إضافة 6 للطرفين، لينتج: -7(س²-10)²=-252، ثمّ بقسمة الطرفين على -7، ينتج أنّ: (س²-10)²=36.
  • أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج أنّ: س²-10=±36√، ومنه: س²-10=±6.
  • أخذ الحالة عندما تكون 6 موجبة، لينتج أنّ: س²-10=6، ثمّ إضافة 10 للطرفين ينتج أنّ: س²=16، بعدها أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين لينتج أنّ: س=±16√=±4.
  • أخذ الحالة عندما تكون 6 سالبة، لينتج أنّ: س²-10=-6، ثمّ ثمّ إضافة 10 للطرفين ينتج أنّ: س²=4، بعدها أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لينتج أنّ: س=±4√=±2.

نظرة عامة حول المعادلة التربيعية

يُمكن تعريف المُعادلة التربيعيّة (بالإنجليزية: Quadratic Equation) على أنّها المُعادلة التي يكون أعلى أس فيها للمُتغيّر س هو 2، والمُعادلة الآتية تُمثّل مُعادلة تربيعيّة: 2س² 5س-3=0، ويُطلق عليها أيضاً اسم المعادلة من الدرجة الثانية (بالإنجليزية: Equation of Degree 2)؛ بسبب وجود الأس 2 على المُتغير س، وهو أكبر أس في المعادلة، أما بالنسبة للصيغة العامّة لها فهي على النحو الآتي:

• أس² ب س ج=0؛ حيثُ إنّ:
  • أ، ب، ج تُمثّل أعداداً ثابتة، كما أنّ أ لا تساوي صفراً، بينما يمثّل س المُتغيّر أو المجهول غير المعروف في المُعادلة، ويكون الرسم البياني لمُنحنى المُعادلة التربيعيّة على شكل حرف (U) ويُعرف باسم القطع المُكافئ.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول حلّ المُعادلات يُمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلات الجبرية ، طرق حل المعادلات بالمصفوفات .