شرح النسبة والتناسب

النسبة

يتمّ تعريف النّسبة (Ratio) رياضيًا على أنّها العلاقة بين مجموعتين حسابيًا أو رياضيًا، بحيث تعبّر هذه العلاقة عن مدى مجموعةٍ أكبر من مدى المجموعة الأخرى، ويتمّ المقارنة بين هاتين المجموعتين عن طريق قسمة أحدهما على الأخرى لحساب النّسبة بينهما، ولحساب النّسبة بين مجموعتين عدديتين فإنّ العلاقة بينهما تكون كما يأتي:

نسبة المجموعة (أ) إلى المجموعة (ب) = قيمة المجموعة (أ) / قيمة المجموعة (ب)

وإذا أردنا حساب النسبة المئوية فإننا نقوم بضرب النسبة 100x% فيصبح القانون: قيمة المجموعة (أ) / قيمة المجموعة (ب) 100x%

وبالرموز:

أ: ب = أ / ب 100x%.

إذ إنّ:

1. (أ، ب): مجموعات رياضيّة مختلفة عن بعضها بعضًا.
2. (/): رمز لإشارة القسمة.
3. (:): رمز لإشارة النّسبة وتُقرأ (إلى).

أمثلة على حساب النسبة

مثال 1: في إحدى الشركات التي تحتوي على 200 موظّف ينتمون إليها، منهم 5 موظفين لا يحقّقون مؤشرات الأداء المطلوبة منهم، احسب نسبة الموظّفين الذين لا يحققون مؤشرات الأداء إلى مجموع الموظفين في الشركة؟

1. يتمّ تقسيم مجموعة الموظفين غير المحقّقين لمؤشرات الأداء على إجمالي عدد الموظفين لاحتساب النّسبة بينهما كما يأتي:
2. نسبة الموظفين غير المحقّقين لمؤشّرات الأداء المطلوبة = عدد الموظفين الغير محققين لمؤشرات الأداء المطلوبة/ إجمالي عدد الموظفين 100x%
3. نسبة الموظفين غير المحقّقين لمؤشّرات الأداء المطلوبة = 5 /200
4. نسبة الموظفين غير المحقّقين لمؤشّرات الأداء المطلوبة = 0.025
5. النسبة المئوية للموظفين غير المحقّقين لمؤشّرات الأداء المطلوبة = 0.025 100x%.
6. النسبة المئوية الموظفين غير المحقّقين لمؤشّرات الأداء المطلوبة = 2.5%.

مثال 2: في مدرسةٍ أساسيّة تحتوي على 300 طالب، حصل 100 طالب في هذه المدرسة على معدل 90% فأكثر، احسب نسبة الطّلاب المتفوقين الحاصلين على معدل 90% فأكثر في هذه المدرسة؟

يمكن إيجاد نسبة الطّلاب الحاصلين على معدل 90% فأكثر في المدرسة، عن طريق قسمة عددهم على إجمالي عدد الطلاب في المدرسة كما يأتي:

1. نسبة الطّلاب الحاصلين على معدل 90% فأكثر= عدد الطلاب الحاصلين على معدل 90% فأكثر/ إجمالي عدد الطلاب 100x%.
2. نسبة الطلاب الحاصلين على معدل 90% فأكثر= 100 /300 100x%.
3. نسبة الطلاب الحاصلين على معدل 90% فأكثر=0.33 100x%.
4. نسبة الطلاب الحاصلين على معدل 90% فأكثر= 33%.

مثال 3: في دراسةٍ إحصائيّة أُجريت في إحدى البلدان للمواليد في أحد الأعوام، كان عدد المواليد من الذّكور 2000 ذكر في ذاك العام، أمّا عدد المواليد من الإناث فكان 3000 أنثى، احسب نسبة المواليد الذّكور من بين إجمالي عدد المواليد في ذاك العام؟

يُمكن احتساب نسبة المواليد الذكور في ذاك العام عن طريق قسمة عدد المواليد الذكور على إجمالي عدد المواليد كما يأتي:

1. نسبة المواليد الذكور= عدد المواليد الذكور/ إجمالي عدد المواليد 100x%
2. ولحساب إجمالي عدد المواليد يتمّ جمع المواليد الإناث والذكور معًا كما يأتي:
3. إجمالي عدد المواليد = عدد المواليد الذكور عدد المواليد الإناث.
4. إجمالي عدد المواليد = 2000 3000.
5. إجمالي عدد المواليد =5000.
6. نسبة المواليد الذكور= عدد المواليد الذكور/ إجمالي عدد المواليد 100x%
7. نسبة المواليد الذكور= 2000 /5000 100x%
8. نسبة المواليد الذكور= 0.4 100x%
9. نسبة المواليد الذكور= 40%.

استخدامات النسبة

تُستخدم النّسبة في احتساب الفرق بين مجموعاتٍ عدديّة مختلفة، وتعطي قيمًا تُشير إلى معلوماتٍ خاصّة بالعديد من الأعمال، وفيما يأتي أهمّ استخدامات النّسبة:

1. تُستخدم النّسبة في العديد من الحسابات التي تُعطي مؤشراتٍ على القيم وتربطها بالمعلومات.
2. تساعد النّسبة على تحليل البيانات ومقارنتها ببعضها بعضًا.
3. تَستخدم الشّركات النّسبة لقياس نسبة نجاحها الماليّ ومعرفة إذا كانت تحقق أهدافها أم لا.
4. تساعد البيانات المُعطاة من النّسبة على اتّخاذ القرارات وتصويبها.
5. تساعد النّسبة على تجنّب المخاطر الماليّة لصاحب العمل، من خلال إعطاء مؤشّرات على العجز، والنّسبة بين رأس المال والعائدات.
6. تقدِّم النسبة معلوماتٍ حول أداء الموظّفين وتُساعد في تتبع أعمالهم.

• تُستخدم النّسبة في حساب المعادلات الرياضيّة وفي الاستخدامات الهندسية المختلفة.

التناسب

يعبّر التّناسب (Proportion) عن التّساوي أو التّكافؤ بين نسبتين مختلفتين في الشّكل، ولكنّهما يُعبّران عن مقادير متكافئة أو متساوية، ولكن بصورٍ مختلفة، وتتمّ معرفة التّناسب بين نسبتين مختلفتين مكتوبتين على صورة كسور، وهو مؤشّر على العلاقات بين الكمّيات و الكسور المختلفة.

ويتمّ وصف النّسب المُعطاة على أنّها مُتناسبة في حال تمّ ضرب بسط الكسر الأول مع مقام الكسر الثاني ومقارنته بحاصل ضرب بسط الكسر الثاني مع مقام الكسر الأول، ففي حال تساوي القيمتين فإنّ الكسور متناسبة، وتُكتب العلاقة رياضيًا كما يأتي:

أ / ب = ج / د

إذا كان أ × د = ب × ج.

إذ إنّ:

1. أ: بسط الكسر الأول.
2. ب: مقام الكسر الأول.
3. ج: بسط الكسر الثاني.
4. د: مقام الكسر الثاني.

خصائص التناسب

يمتاز التناسب بالعديد من الخصائص والمميّزات، ومنها ما يأتي:

1. خاصّية الجمع : إذا كان (أ: ب) = (ج: د) فإنّ أ ج = ب د
2. خاصّية الطرح: إذا كان (أ: ب) = (ج: د) فإنّ أ - ج = ب- د
3. خاصّية القسمة: إذا كان (أ: ب) = (ج: د) فإنّ أ / ج = ب / د
4. خاصّية التّبديل: إذا كان (أ: ب) = (ج: د) فإنّ أ: ج = ب: د
5. خاصّية الانعكاس: إذا كان (أ: ب) = (ج: د) فإنّ ج: أ = د: ب

استخدامات التناسب

يُستخدم التّناسب في تحديد علاقة الكسور ببعضها بعضًا، ويُشير إلى العلاقة بين النّسب الرّياضية المختلفة، كما يُستخدم التّناسب في العديد من المجالات العلميةّ والحياتيّة المختلفة، ومنها ما يأتي:

1. يُقارن التناسب بين مجموعتين أو نسبتين من النّوع نفسه باستخدام القسمة.
2. يُسهم التناسب في تقديم الحلول في المعاملات الحياتيّة واليوميّة المختلفة، مثل: الأعمال، والّطهي، إذ يسهم في المقارنة بين الكميات وتحديدها.
3. يقدّم التناسب صورةً حول العلاقات بين الكمّيات، بحيث يُعطي مؤشرًا حول العلاقة المتزايدة (الطّردية)، أو المّتناقصة (العكسيّة) بين الكمّيات.

أمثلة على حساب التناسب

مثال 1: احسب إذا كانت النّسبة (1:3) والنسبة (2:6) متكافئتين أو متناسبتين؟

يتمّ احتساب التنّاسب بين الكسرين عن طريق العلاقة الخاّصة بالتّناسب كما يأتي:

1. أ / ب = ج / د؛ إذا كان أ × د = ب × ج.
2. 1/ 3 = 2/ 6 إذا كان 1×6 = 2×3.
3. 2×3= 6.
4. 1×6 = 6.
5. النسبة الأولى = النسبة الثانية، إذًا فإنّ الكسرين متناسبان.

مثال 2: في سفينةٍ تمتلك حبالًا مُتناسبة لتثبيت الشّراع، إذا كان الحبل القصير فيها طوله 20 م، ووزنه 1 كغم، ما أطوال وأوزان الحبلين الآخرين الأطول منه في السّفينة؟

بما أنّ الأحبال متناسبة، فإنّ نسبة أطوالها إلى أوزانها متساوية، ومن الممكن ضرب الكسر الأول بمضاعفاته للحصول على أحبال أطول منه ومُتناسبة معه كما يأتي:

1. نسبة طول الحبل المتوسّط إلى وزنه: (20/ 1) ×2.
2. نسبة طول الحبل المتوسّط إلى وزنه = 40/ 2.
3. ويمكن حساب نسبة طول الحبل الأكبر إلى وزنه من خلال حساب نسبة مكافئة بضرب النّسبة الأصلية برقم أكبر من الرقم التي ضُربت به النّسبة لإيجاد الحبل المتوسط.
4. نسبة طول الحبل الأكبر إلى وزنه = (20/ 1) ×3.
5. نسبة طول الحبل الأكبر إلى وزنه = 60 / 3.

مثال 3: في حساب نسبة طول رقبة كلب إلى محيط رأسه، إذا كان أحد الكلاب طول رقبته 10 سم، بينما كان محيط رأس الكلب 20 سم، وتتناسب قياسات هذا الكلب مع كلب آخر أكبرمنه حجمًا ومحيط رأسه 42 سم، فما طول رقبة هذا الكلب؟

نظرًا لأنّ الكلبين متناسبان، فإنّ النسبة بين قياساتهما ستكون متساوية كما يأتي:

1. طول رقبة الكلب الأول/ محيط رأس الكلب = طول رقبة الكلب الثاني / محيط رأس الكلب.
2. 10/ 20 = طول رقبة الكلب الثاني /42.
3. 42 × 10 = س×20
4. 420 = 20 س.
5. س = 420 /20.
6. س = 21 سم.

الفرق بين النسبة والتناسب

يتمّ التّفريق بين النّسبة والتّناسب عن طريق المقادير التي تتعامل معها كلٌّ من النسبة والتناسب، إذ إنّ النّسبة تَدرس العلاقة بين قيمتين، حيث تكون إحدى هاتين القيمتين جزءٌ من الأخرى، وتُعطي النّسبة مؤشرًا على علاقة قيمة الجزء من الكلّ، أما التّناسب فيُعنى بدراسة العلاقة بين نسبتين جاهزتين لنفس النّوع أو الفئة من الشيء المُراد دراسته وتحليله.

ومن الجدير ذكره أنّ التناسب يُستخدم في تحديد التكافؤ بين النّسب للوصول إلى علاقاتٍ بينهما، إضافةً إلى تحديد كميّات متكافئة من علاقاتٍ متناسبة، إذاَ فإنّ النّسبة تقارن بين الأحجام أو الكميّات العددية من نفس الوحدة أو النّوع، أمّا التناسب فهو مقارنة بين نسبٍ جاهزةٍ أو كسورٍ تعبر عن قيمٍ معينة، ويعمل التّناسب على تحديد العلاقات بين هذه النسب ويربط فيما بينها.