خصائص الشبه منحرف

خصائص عامة لشبه المنحرف

يُعرف شبه المنحرف (بالإنجليزية: Trapezoid) بأنه شكل رباعي فيه ضلعان متوازيان فقط ، يُعرف كل منهما بقاعدة شبه المنحرف، وهذا على عكس متوازي الأضلاع الذي يكون فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان، ويتميز شبه المنحرف بالخصائص الآتية:

• قاعدتا شبه المنحرف متوازيتان.

• الزوايا المتجاورة؛ أي زوايا القاعدة العلوية، والسفلية في شبه المنحرف متكاملة؛ أي مجموعها 180 درجة.

• مجموع الزوايا في شبه المنحرف 360 درجة كما هو حال أي شكل رباعي.

• يحتوي شبه المنحرف على أربعة رؤوس تعرف بزوايا شبه المنحرف.

• يمكن إيجاد قيمة الخط الواصل بين منتصف الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف (الخط المتوسط) عن طريق إيجاد الوسيط لقاعدتي شبه المنحرف، أي: طول الخط المتوسط=طول القاعدتين المتوازيتين/2.

• قطرا شبه المنحرف يتقاطعان في نقطة واحدة، وهذه النقطة تقع على استقامة واحدة مع نقطة المنتصف للأضلاع المقابلة.

• يحتوي شبه المنحرف على أربعة أضلاع غير متساوية، وكما ذُكر سابقاً: اثنان منهما متوازيين، واثنان غير متوازيين.

خصائص شبه المنحرف متساوي الساقين

أما شبه المنحرف متساوي الساقين فيتميز بالعديد من الخصائص الخاصة به، وهي:

• ضلعا شبه المنحرف الغير متوازيين متساويان في الطول.

• زوايا القاعدة السفلية متطابقة؛ أي متساوية في القياس، وكذلك الحال بالنسبة لزوايا القاعدة العلوية.

• أقطاره متطابقة، أي متساوية في الطول.

• أي من زوايا القاعدة العلوية في شبه المنحرف تعتبر زاوية متكاملة مع أي من زوايا القاعدة السفلية؛ أي تصنع معها زاوية قياسها 180 درجة.

خصائص شبه المنحرف قائم الزاوية

يمتاز شبه المنحرف قائم الزاوية بالخصائص الآتية:

• يتميّز شبه المنحرف القائم عن غيره من الأنواع بأنّ إحدى زواياه قائمة، أي أنّ قياسها 90 درجة، فعلى سبيل المثال، يُقال شبه منحرف أ ب ج د هـ قائم الزاوية في ج.

• يتميّز بأنّ مجموع زواياه تساوي 360ْ.

• يُحسب محيط شبه المنحرف قائم الزاوية من خلال مجموع أطوال أضلاعه، أي أنّ المحيط لشبه المنحرف أ ب ج د= أب ب ج ج د دأ

• يُحسب الضلع المائل بتطبيق قاعدة فيثاغورس، ففي شبه المنحرف أ ب ج هـ د القائم في ج، يُحسب الضلع المائل أ هـ، أهـ² = ب ج² دهـ²

• تُحسب مساحة شبه المنحرف القائم بنفس قانون مساحة شبه المنحرف العام، وهي: المساحة = ((طول القاعدة الأولى طول القاعدة الثانية) × الارتفاع)/ 2، وبالرموز: المساحة= ((أب ج د) × ب ج)/2

خصائص شبه المنحرف منفرج الزاوية

يتميّز شبه المنحرف منفرج الزاوية بالخصائص الآتية:

• يتميّز شبه المنحرف منفرج الزاوية بأنّ إحدى زواياه الداخلية المحصورة بين إحدى القاعدتين مع الضلع المجاور أكبر من 90 درجة.

• يتميّز بأنّ مجموع زواياه تساوي 360ْ.

• يُحسب محيط شبه المنحرف منفرج الزاوية بناءً على القانون العام لمحيط شبه المنحرف والذي يساوي مجموع أطوال أضلاعه .

• تُحسب مساحة شبه المنحرف قائم الزاوية حسب القانون العام لمساحة شبه المنحرف دون اختصاصه بقانون منفصل، أي أنّ مساحة شبه المنحرف منفرج الزاوية = 1/2 (مجموع القاعدتين) × الارتفاع.

خصائص شبه المنحرف حاد الزوايا

يمتاز شبه المنحرف حاد الزوايا بالخصائص التالية:

• يتميّز شبه المنحرف حاد الزوايا بأنّ الزاويتين المحصورتين بين القاعدة والضلعين المجاورين أصغر من 90 درجة.

• يتميّز مجموع زوايا شبه المنحرف منفرج الزاوية بأنه يساوي 360ْ.

• يُحسب محيط شبه المنحرف حاد الزوايا باستخدام القانون العام للمحيط يساوي مجموع أطوال أضلاعه.

• تُحسب مساحة شبه المنحرف حاد الزوايا باستخدام القانون العام لحساب مساحة شبه المنحرف دون اختصاصه بقانون منفصل، أي أنّ: مساحة شبه المنحرف حاد الزوايا= 1/2 (مجموع القاعدتين) × الارتفاع.

يُعرف شبه المنحرف بأنه شكل رباعي ذو قاعدتين متوازيتين وضلعين آخرين، وقد يكون شبه المنحرف تبعًا للزوايا المحصورة بين القاعدة والضلعين، إما شبه منحرف قائم الزاوية، أوشبه منحرف منفرج الزاوية، أوشبه منحرف حاد الزوايا، ويُمكن حساب محيط كل منها والمساحة من القوانين المذكورة سابقًا.

أمثلة متنوعة على خصائص شبه المنحرف

وفيما يأتي أمثلة متنوعة على خصائص شبه المنحرف:

أمثلة على خصائص شبه المنحرف العامة

مثال 1: شبه منحرف أ ب جـ د طول قاعدتيه (أب)، و(جـ د) 12سم، و18سم على التوالي، وطول الخط الواصل (ع و) بين منتصف ضلعيه غير المتوازيين (ب جـ)، و (أد) هو 2ص - 1، فما هي قيمة ص؟

الحل:

• يمكن إيجاد قيمة الخط الواصل بين منتصف الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف عن طريق حساب طول الخط المتوسط لشبه المنحرف، وهو يساوي: الخط المتوسط =مجموع طلوي القاعدتين/2= (12 18)/2= 30/2= 15سم.
• يمكن إيجاد قيمة ص كما يأتي: 2ص - 1 = 15، ومنه 2ص = 16، ومنه: ص= 8.

مثال 2: شبه منحرف (د هـ و ي) طول قاعدتيه (د هـ)، و (و ي) 21سم، و27سم على التوالي، وطول الخط الواصل (أ ب) بين منتصف ضلعيه غير المتوازيين ( هـ و)، و (د ي) هو 5س - 1، فما هي قيمة س؟

الحل:

• يمكن إيجاد قيمة الخط الواصل بين منتصف الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف عن طريق حساب طول الخط الوسيط لقاعدتي شبه المنحرف، وهو يساوي: الخط المتوسط =مجموع طلوي القاعدتين/2= (21 27)/2= 48/2= 24سم
• يمكن إيجاد قيمة س كما يلي: 5س - 1 = 24، ومنه 5س = 25، وعليه: س = 5.

مثال 3: شبه منحرف (ف ل د ي) فيه قياس القاعدة العلوية (ف ل) 4سم، وإحدى الساقين (ل د) 6سم، والقاعدة السفلية (د ي) 10سم، و الساق الاخرى (ي ف) 8سم، والضلع س ص يشكّل خط الوسط لشبه المنحرف هذا، ويصل بين الضلعين غير المتوازيين (ي ف)، و (دل)؛ حيث تقع النقطة س على منتصف الضلع (ي ف)، وتقع النقطة ص على الجهة المقابلة على منتصف الضلع (د ل)، فما هو قياس الضلع س ي؟

الحل: يشكل الضّلع (س ص) الوسيط في شبه المنحرف؛ حيث إنه يقسم الضلعين غير المتوازيين إلى جزأين متساويين تماماً، وبالتالي فإن الضلع (س ي) يساوي منتصف الضلع (ي ف)، ويساوي 4سم.

مثال 4: شبه منحرف أ ب ج د هـ، وكان طول الضلع ج د=4 سم، دهـ= 8سم، أهـ =10سم، وقياس الزاوية أ هـ د = 30، جد ارتفاع شبه المنحرف.

الحل:

• بإسقاط خط يصل بين النقطة أ والنقطة د يتشكل مثلث قائم الزاوية فيه قياس الزاوية أ هـ د=30.
• باستخدام قانون جيب الزاوية =المقابل / الوتر، فإن:
  • جا30= أ د/ 10
  • 0.5= أ د/ 10
• طول الضلع أد =5 سم، وهو ارتفاع شبه المنحرف .

أمثلة على خصائص شبه المنحرف متساوي الساقين

مثال 1: شبه منحرف (ن هـ و ي) متساوي الساقين فيه قيمة الزاوية (ي) 64 درجة، وقيمة الزاوية (هـ) 4 (3ص 2)، فما هي قيمة ص؟

الحل: يمكن إيجاد قيمة ص باتباع الخطوات الآتية:

• بما أن شبه المنحرف متساوي الساقين فإن طول زوايا القاعدة العلوية (ن هـ) متساوي، وطول زوايا القاعدة السفلية (و ي) متساوٍ أيضاً، وبالتالي فإن قياس الزاوية (و) يساوي 64 درجة، وقياس الزاوية (ن) يساوي 4 (3ص 2).
• من المعلوم أن مجموع قياس زوايا أي شكل رباعي يساوي 360 درجة، وبالتالي فإنه يمكن باستخدام هذه المعلومة إيجاد قيمة الزاويتين المجهولتين ن و هـ، وذلك كما يلي:
  • قياس ن قياس هـ قياس و قياس ي=360، ولنفرض أن قيمة الزاويتين المجهولتين تساوي س، وهما الزاويتان (ن)، (هـ) ينتج أن: س س 64 64= 360، ومنه: 2س = 232، وعليه: س = 116 درجة، وهو قياس كل من الزاويتين (ن)، (هـ).
• بعد إيجاد قيمة الزاويتين (ن) و (هـ) يمكن إيجاد قيمة المتغير ص، وذلك كما يلي: 4(3ص 2)= 116، ومنه 12 ص 8 = 116، ومنه: 12 ص = 108، وعليه: ص= 9.

مثال 2: شبه منحرف متساوي الساقين أ ب جـ د، فيه قياس الزاوية (ب) 115 درجة، فما هو قياس الزاوية (د)، علما أن الضلعين جـ ب، و د أ متساويان في القياس؟

الحل:

• بما أن شبه المنحرف متساوي الساقين فإن الزاوية ب تساوي الزاوية أ، والزاوية جـ تساوي الزاوية د، وبالتالي فإن الزاوية (أ) قياسها 115 درجة.
• بما أن كل زاويتين متجاورتين في شبه المنحرف متكاملتان؛ أي مجموعها 180 درجة، وبالتالي فإن يمكن إيجاد قياس الزاوية د كما يأتي:
  • قياس الزاوية أ قياس الزاوية د = 180، ومنه 115 ∠أدجـ = 180، علما أن الإشارة ∠ تعني قياس الزاوية.
  • وعليه ∠ أدجـ = 65 درجة.

مثال 3: شبه منحرف (أ ب جـ د) متساوي الساقين فيه قياس الزاوية (ج) 72 درجة، وقياس الزاوية (أ) س درجة، فما هي قيمة الزاوية س؟

الحل:

• بما أن شبه المنحرف متساوي الساقين فإن زوايا القاعدة العلوية، وزوايا القاعدة السفلية متطابقة أي أن قياس الزاوية (د) يساوي قياس الزاوية (جـ)، ويساوي 72 درجة، وقياس الزاوية (أ) يساوي قياس الزاوية (ب) وهو س درجة.
• بما أن مجموع زوايا الشكل الرباعي 360 درجة، وبالتالي فإن 72 72 س س = 360، ومنه 2س = 216، وعليه: س = 108 درجة؛ أي أن قياس الزاوية أ= قياس الزاوية ب=108 درجة.

مثال 4: شبه منحرف متساوي الساقين (أ ب جـ د) فيه قياس الزاوية جـ 35 درجة، والزاوية أ، والزاوية ب متطابقتان، فما هو قياس الزاوية أ؟

الحل:

• بما أن شبه المنحرف متساوي الساقين فإن الزوايا المتجاورة متكاملة؛ أي مجموعهما 180 درجة، وبالتالي: إن الزاوية جـ، والزاوية ب متكاملتان، وقياس الزاوية ب يساوي 180 - 35= 145درجة.
• قياس الزاوية أ يساوي قياس الزاوية ب ويساوي 145 درجة.

مثال 5: شبه منحرف (أ ب جـ د) متساوي الساقين، فيه قياس الزاوية (ب): 120 درجة، والزاوية د: ص، والزاوية جـ: س، فما هو مجموع قياس س، وص؟

الحل: بما أن شبه المنحرف متساوي الساقين إذاً فزوايا القاعدة العلوية أ،ب متساوية، وكذلك الأمر بالنسبة لزوايا القاعدة السفلية جـ،د، وبالتالي فإن:

• الزاوية أ مساوية للزاوية ب، وتساوي 120 درجة.
• والزاوية س مساوية للزاوية ص.
• يمكن إيجاد مجموع قيمتي س، وص كما يأتي: 360=120 120 س ص، ومنه: س ص = 360 - 120 - 120= 120 درجة.

مثال 6: شبه المنحرف (أب ج د) متساوي الساقين، فيه طول القاعدة العلوية (أب) 7سم، والزاوية جـ=75 درجة، تم فيه إنزال العمودين أص، ب س من الزاويتين (أ)، (ب) نحو القاعدة (جـ د)، فإذا كان طول (س جـ) 3سم، جد قياس الزاوية (د)، والضلع (دص)، والقاعدة السفلية (دجـ) والمستقيم المتوسط لشبه المنحرف هذا.

الحل:

• حساب الزاوية (د): قياس الزاوية (د)= قياس الزاوية (جـ)=75 درجة؛ وفق خصائص شبه المنحرف متساوي الساقين، والذي فيه زوايا القاعدة العلوية متساوية وكذلك السفلية.
• حساب (دص): حساب طول الضلع (أد) والذي يساوي الضلع (ب جـ) باستخدام قانون جيب تمام الزاوية؛ حيث جتا(جـ)=المجاور/الوتر، جتا(75)=3/(أد)=0.26، ومنه: (أد)=11.54سم= (ب جـ)، ثم حساب طول (دص) باستخدام جيب تمام الزاوية (د)؛ حيث جتا(د)= دص/أد=جتا(75)=دص/11.54، ومنه دص=3سم.
• حساب القاعدة (دجـ)=دص ص س س جـ=3 7 3=13سم.
• المستقيم المتوسط=مجموع طولي القاعدتين/2=(13 7)/2=10سم.

مثال 7: شبه منحرف ل م ن هـ فيه قياس القاعدة العلوية (ل م) يساوي 5سم، والساق الأولى (ل ن) يساوي 3سم، والقاعدة السفلية (ن هـ) يساوي 7سم، فما هو طول الضلع (م هـ) علما أن زاويتي القاعدة العلوية (ل) و (م) متطابقتان، وأن قاعدتي شبه المنحرف (ن هـ) و (ل م) متوازيتان؟

الحل: بما أن زاويتي القاعدة السفلية متطابقتان، فإن شبه المنحرف هذا متساوي الساقين، وبالتالي فإن الضلعين غير المتوازيين (ل ن)، و (م هـ) متساويان في القياس، وبالتالي فإن طول الضلع (م هـ) في هذا الشكل يساوي 3سم.

مثال 8: شبه منحرف أ ب جـ د فيه طول الضلع أد 4سم، وقطراه (أجـ)، و (دب) متطابقان، وقاعدتاه (أب)، و (جـ د) متوازيتان فما هو طول الضلع (ب جـ)؟

الحل: بما أن قطرا شبه المنحرف هذا متساويين في القياس فإن شبه المنحرف متساوي الساقين، وبالتالي فإن الضلعين غير المتوازيين أ ب، و د جـ متساويان في الطول، وبالتالي فإن طول الضلع (ب جـ) يساوي 4 سم.

أمثلة على خصائص شبه المنحرف قائم الزاوية

مثال 1: شبه منحرف أ ب ج د هـ قائم الزاوية في ج، فيه طول أب= 4 سم، ب ج= 3 سم، ج د=4 سم، دهـ= 2سم، جد محيط شبه المنحرف.

الحل:

• محيط شبه المنحرف = مجموع أطوال أضلاعه = أب ب ج ج د دهـ أهـ، لكن الضلع أهـ مجهول.
• إيجاد طول الضلع أهـ، باستخدام قاعدة فيثاغورس التي يُمكن تطبيقها كالآتي:
  • أهـ² = ب ج² دهـ²
  • أهـ² =(3)² (2)²
  • أهـ = 13√
• محيط شبه المنحرف = 4 3 4 2 13√
• محيط شبه المنحرف = 13 13√
• محيط شبه المنحرف = 16.6 سم.

مثال 2: شبه منحرف أ ب ج د هـ قائم الزاوية في ج، فيه طول أب= 4 سم، ب ج=6 سم، ج د=4 سم، دهـ= 8 سم، أهـ =10 سم، وكان قياس الزاوية أ ب ج = 80، والزاوية ب ج د= 90، جد قياس الزاوية أ هـ د والزاوية ب أ هـ.

الحل:

• لإيجاد الزاوية أ هـ د وبإسقاط خط وهمي يربط بين النقطة أ والنقطة د، يتشكل مثلث قائم الزاوية في د، ومنه فإن:
  • جيب الزاوية أ هـ د=المقابل/ الوتر
  • جيب الزاوية أ هـ د=6/ 8
  • الزاوية أ هـ د= 48.59ْ.
• ومن خصائص شبه المنحرف، أنّ مجموع زواياه تساوي 360، فإنّ: الزاوية أ ب ج الزاوية ب ج د الزاوية د هـ أ الزاوية ب أ هـ= 360
• 80 90 48.59 الزاوية ب أ هـ= 360ْ
• الزاوية ب أ هـ =141.41ْ