حل المعادلات التفاضلية

طرق حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

نستعرض تالياً طرق حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى، حيث يتم كتابة المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى بالصورة التالية:

dy/dt = f(y, t)

ونذكر طرق حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى تالياً:

• طريقة الفصل.
• طريقة التعويض.
• طريقة معادلات برنولي .
• طريقة المعادلات الخطية.

المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى، نوع واحد لذلك خطوات حلها ثابتة حسب الطريقة المختارة للحل، على غرار المعادلات التفاضلية من الدرجة (ن) أي أعلى من الرتبة الأولى، حيث يتم تتبع حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى بعدة خطوات متتالية كالتالي:

1. استبدل المتغير y=uv من المعادلة dy/dx = u(dv/dx) v(du /dx) إلى المعادلة P(x) y = Q(x) (dy/dx)
2. حلل الأجزاء التي تحتوي على المتغير v.
3. اجعل حد المتغير v يساوي صفر (هذه الخطوة تعطي معادلة تفاضلية من متغيرين x و y).
4. حل المعادلات باستخدام طريقة فصل المتغيرات لإيجاد قيمة u.
5. عوض قيمة u في المعادلة التي حصلنا عليها في خطوة 2.
6. حل المعادلة الموجودة لإيجاد قيمة v.
7. أخيراً عوض قيمة u و v في y=uv لتحصل على الحل.

طرق حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية

المعادلات التفاضلية من الدرجة لها أنواع عدة، وتكاد تكون هناك طرق حل خاصة بكل نوع من المعادلات، قد تتشعب الحلول حسب وضع المعادلة، حيث تُكتب المعادلات التفاضلية من الدرجة بالصورة التالية:

d^2 y/dx^2 p(dy/dx) qy =0

نستعرض تالياً طرق حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية:

• طريقة اختلاف المعاملات.
• طريقة المعاملات غير المحددة.
• معادلات أويلر التفاضلية.
• الجذور المتكررة.
• الجذور المعقدة.
• الجذور الحقيقية.
• تخفيض ترتيب المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية.

تعريف المعادلات التفاضلية

هي معادلات تحتوي على علاقة تجمع بين دالة أو أكثر من مشتقات المتغيرات (متغير تابع ومتغير مستقل)، حيث يُرمز للمتغير التابع ب "Y"، ويرمز للمتغير المستقل ب "X"، وهي تصف علاقة بين كميتين أحدهما متغيرة باستمرار بالنسبة للكمية الأخرى.

استخدامات المعادلات التفاضلية

تستخدم المعادلات التفاضلية عدة استخدامات مساندة لعلوم الرياضيات نفسها، وهي كالتالي:

• النمذجة الرياضية للأنظمة الفيزيائية.
• صياغة قوانين الفيزياء والكيمياء.
• نمذجة سلوك الأنظمة المعقدة في علم الأحياء والاقتصاد.

ترتيب المعادلات التفاضلية

يتم ترتيب المعادلة التفاضلية عن طريق تحديد درجة المعادلة التفاضلية حيث يُقصد بها قوة المشتق الأعلى رتبة، لذلك ترتيب المعادلة التفاضلية يعني ترتيب المشتق الأعلى رتبة الموجود في المعادلة التفاضلية، ويتم ترتيبها إلى نوعين:

• معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.
• معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية.

أنواع المعادلات التفاضلية

تُقسم المعادلات التفاضلية لعدة أنواع بناءً على هذه الأنواع تختلف تقنيات التعامل معها وطرق حلها، وهي كالتالي:

• المعادلات التفاضلية العادية.
• المعادلات التفاضلية الجزئية.
• المعادلات التفاضلية الخطية.
• المعادلات التفاضلية اللاخطية.
• المعادلات التفاضلية المتجانسة .
• المعادلات التفاضلية الغير متجانسة.