حساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل

الحجم في الرياضيات يمكن حسابه للأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد (المجسمات)؛ كالكرة، والأسطوانة، والمكعب، والهرم، وغيرها، وهو السعة التي يشغلها المجسم، ولحسابه نحتاج إلى الأبعاد الثلاثة التي تشكل المجسم، والمخروط الدوراني يعتبر من الأشكال الهندسة ثلاثية الأبعاد التي لها حجم.

حساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل

المخروط الدوراني (الدائري) هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد له سطح مستوٍ دائري، وسطح منحنٍ موجه نحو الأعلى إلى نقطة تقع خارج سطح القاعدة، وتسمى النهاية المدببة للمخروط بالقمة، وهناك العديد من الأشكال التي نشاهدها في حياتنا اليومية والتي تمثل مثالاً على المخروط الدوراني؛ كالأقماع المستخدمة في تنظيم المرور، وقمع المثلجات، وقبعات حفلات أعياد الميلاد.

يساعد التكامل في ايجاد حجم الأشكال غير العادية التي من الصعب تحديد أبعادها، كما ويستخدم في اشتقاق صيغ الحجم لعدة أشكال هندسية، حيث يعمل التكامل على تقطيع الشكل إلى عدد لا نهائي من القطع الصغيرة جدًا ثم يتم جمع هذه القطع لحساب الحجم الإجمالي، لذا يمكن استخدام التكامل لحساب حجم المخروط الدوراني.

استخدام طريقة التكامل بالأقراص والفلكة

كما أسلفنا الذكر يمكن أن نحصل على المخروط الدوراني نتيجة دوران مثلث قائم حول أحد أضلاع القائمة، ويمكن لنا أن نستفيد من هذه الخاصية في حساب حجمه من خلال التكامل، عبر تمثيل المثلث القائم في المستوى البياني على هذا النحو:

أحد أضلاع الزاوية القائمة الذي هو ارتفاع المخروط (ع)، ينطبق على محور السينات.
الضلع الآخر للقائمة يمثل نصف قطر المخروط (نق) ويكون موازياً لمحور الصادات.
رأس المثلث (نفسه رأس المخروط) عند نقطة الأصل.
وبتدوير الشكل حول محور السينات دورة كاملة يصبح لدينا مخروط دوراني ارتفاعه (ع) ونصف قطره (نق).

استخدام التكامل لحساب حجم المخروط الدوراني

لحساب حجم المخروط الدوراني نتبع الخطوات الآتية:

ص = ( نق/ع )× س؛ معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل (ضلع القائمة للمثلث؛ الوتر).
م(س) = 𝜋 ص؛ مساحة المقطع العرضي للمخروط الناتج عن الدوران.
= 𝜋 (نق/ ع) × س ؛ تعويض ص في قانون المساحة.
ثم نأخذ التكامل للمساحة لحدود التكامل من س=0 إلى س=ع للحصول على الحجم.
ʅ ( 𝜋 (نق/ ع) × س ) دس.
بإخراج الثوابت 𝜋 (نق/ ع) خارج التكامل.
𝜋 (نق/ ع) ʅ ( س ) دس.
𝜋 (نق/ ع) × [ (س /3) ] ₀ وبعد تعويض س=0 وس=ع فإن الحجم يساوي:
الحجم = (3/1) 𝜋 نق ع.

خصائص المخروط الدوراني وأبعاده

الخصائص الرئيسية للمخروط الدوراني وأبعاده هي كما يلي:

له وجه دائري واحد يسمى القاعدة، ونصف قطرها هو نق.
ليس له حواف.
له رأس واحد وهو رأس المخروط، والخط الواصل ما بين رأس المخروط ومركز القاعدة يسمى محور المخروط ويمثل ارتفاعه ويرمز له بالرمز ع.
راسم المخروط وهو الخط الذي يصل بين رأس المخروط وأي نقطة على محيط القاعدة ويرمز له بالرمز ل.

أنواع المخروط الدوراني

للمخروط الدوراني نوعان اعتمادًا على موقع رأس المخروط بالنسبة إلى مركز القاعدة الدائرية وهما:

مخروط دوراني قائم: يكون رأس المخروط فوق مركز القاعدة الدائرية مباشرة أي أن محور المخروط يشكل زاوية قائمة مع مستوى مركز القاعدة، ويمكن إنشاؤه من خلال دوران مثلث قائم الزاوية حول أحد أضلاع الزاوية القائمة.
مخروط دوراني مائل: يكون رأس المخروط بعيدًا عن مركز القاعدة الدائرية.

2023-12-1432تعليم

مزيد من المشاركات

ما معنى كف الأذى

إنّ على كل شخص أن يتحلّى بالأخلاق الحميدة والعادات الخلقيّة الرّاقية الّتي دعا إليها الدّين والعديد من الأمور الأخرى الّتي تجعل من شخصيّة المسلم شخصيّة راقية جذّابة، تجعله محبوباً في مجتمعه، ومن هذه الأمور كف الأذى عن النّاس، ويعرف كفّ الأذى بشكل عام بتجنّب والابتعاد عن كل عمل من شأنه أن يلحق الضرر أو الإساءة بالغير سواء كان ضرراً ماديّا كالضرب أو التكسير للممتلكات، وحتى ضرراً معنوياً، كالكلام الجارج أو المهين أو الكلام الّذي من شأنه التأثير على نفسيات الأخرين ويطلق بعض النَاس اسم السَلام

أدب النثر في العصر العباسي الأول

أدب النّثر في العصر العبّاسي الأوّل ازدهر أدب النّثر في العصر العبّاسي الأوّل ازدهارًا عظيمًا، وشهد تطوّرًا واضحًا في مختلف جوانب الحياة ؛ فأخذ يَستوعب علومًا مختلفةً تنوّعت ما بين عقليّة وسياسية واجتماعيّة وثقافية، كما امتدّ النّثر في ذلك العصر ليَشمل الفلسفة، وكلّ ما يَتّصل بالثّقافات الأجنبيّة والفكر اليوناني، وظهر عددٌ من الكُتّاب والمفكّرين والمترجمين والمتكلّمين الّذين حافظوا على هذه العلوم، وساهموا في تطوّرها وحمايتها من الضّياع. فتميّز العصر العبّاسي الأوّل بأنّه عصر الكتابة، لِما شهده

اجمل بلد عربي

أجمل بلد عربي لقد أصدر الموقع السياحي الشهير تريب أدفايزر (بالإنجليزية: Trip Advisor) القائمة السنوية المتضمنة لأفضل الوجهات السياحية في العالم لعام 2015، وقد كانت دولة المغرب العربي، الدولة العربية الوحيدة الموجودة في هذه القائمة، ويُعتبر هذا الموقع من أفضل المواقع التي يرتادها السياح عبر الإنترنت، حيث يقدم معلوماتٍ شاملة لكل ما يتعلق بالسياحة في العالم، والتي تشمل نصائح عن أفضل الوجهات السياحية، والفنادق، والطيران، وغيرها من المعلومات المتعلقة بالسفر والترحال، وتُعتبر المغرب من أجمل البلاد

طريقة لتبييض اليدين بسرعة

اللبن لتبييض اليدين يُستخدم اللبن الزبادي لتفتيح البشرة وتبيضها؛ لقدرته على تجديد خلايا الجلد التالفة، وتفتيح البشرة وتخليصها من اللون الداكن، والحدّ من جفاف الجلد وتقشّره، إلا أنّه يُفضّل استخدامه ليلاً؛ لتأثّره بالأشعة فوق البنفسجية، ويمكن استخدام اللبن الزبادي لليدين باتباع الخطوات التالية: وضع طبقةٌ من اللبن الزبادي، ثم تُوزّيعها على اليدين. ترك اللبن من خمس إلى عشرة دقائقَ على اليدين، ثم غسلهما بالماء الدافئ، وينصح بتكرار هذه الخطوات عدّة مراتٍ خلال الأسبوع الواحد. عصير الليمون لتبييض

تاريخ فن التمثيل

تاريخ فن التمثيل يعود أصل التمثيل والدراما لأول مرة في مدينة أثينا ؛ إذ كانت عبارة عن إنشاد للترانيم القديمة، والتي تسمى ديثرامبس تكريماً للإله ديونيسوس؛ فقد تم استخدام هذه الترانيم لاحقًا للمواكب والفرق الكورالية التي يرتدي فيها المشاركون الأزياء والأقنعة؛ وتطور أعضاء معينين في الكورس ليأخذوا أدوارًا خاصة في الموكب والفرقة، لكنهم لم يكونوا بعد ممثلين بالطريقة الموجودة في أيامنا. وتطور التمثيل لاحقًا في القرن السادس قبل الميلاد، عندما أنشأ بيسستراتوس، الذي حكم المدينة سلسلة من المهرجانات

بحث عن غلاء الأسعار

سبب ارتفاع الأسعار تحدث حالة ارتفاع الأسعار نتيجة أسباب مختلفة منها حالة العرض والطّلب في السّوق، فهناك فترات زمنيّة تحدث فيها زيادة طلب على سلعٍ معيّنة وبالتّالي ترتفع أسعار تلك السّلع نتيجة نقصان المعروض، وقد يكون سبب ارتفاع الأسعار جشع التّجار واستغلالهم للوضع الاقتصادي الذي يسمح لهم بزيادة الأسعار بدون وجودٍ رقيبٍ عليهم وعلى تصرّفاتهم، وقد يكون الاحتكار أيضًا من الأساليب التي تؤدّي إلى ارتفاع الأسعار، فالتّاجر عندما يقوم باحتكار السّلع من خلال وضعها في المخازن ثمّ عرضها في وقت حاجة النّاس

تحليل رواية الأرملة السوداء

تحليل رواية الأرملة السوداء تعود رواية الأرملة السوداء للكاتب الأردني صبحي فحماوي، حيث تتألف هذه الرواية من مائتين وثمانٍ وخمسين صفحة، خصص صفحتان منها للإهداء، ثم خصص خمس صفحات في آخر الرواية، وهي تحت عنوان توضيحات ومراجع، صدرت هذه الرواية عن وزارة الثقافة الأردنية في عام 2015م في عمان . تحتوي الرواية على سبع وعشرين لوحة، وكل لوحة جاءت تحت عنوان خاص بها، فإن الناظر المتأمل يجد بأن عنوان الرواية يختلف إلاّ من اللوحة الأولى، ويتقاطع في المضمون مع بعض اللوحات الأخرى، حيث جاءت اللوحة الأولى تحت

أهم قوانين الرياضيات

أهم قوانين المحيط والمساحة والحجم وفيما يأتي أهم القوانين لحساب المحيط والمساحة والحجم: قوانين المحيط يمكن إيجاد المحيط لأشهر الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية: محيط المربع = 4×طول ضلع المربع. محيط المستطيل = 2×(طول المستطيل عرض المستطيل). محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه. محيط الدائرة = 2×π×نصف قطر الدائرة. قوانين المساحة يمكن إيجاد المساحة لأشهر الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية: مساحة المربع = مربع طول الضلع مساحة المستطيل = الطول×العرض مساحة