حساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل

الحجم في الرياضيات يمكن حسابه للأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد (المجسمات)؛ كالكرة، والأسطوانة، والمكعب، والهرم، وغيرها، وهو السعة التي يشغلها المجسم، ولحسابه نحتاج إلى الأبعاد الثلاثة التي تشكل المجسم، والمخروط الدوراني يعتبر من الأشكال الهندسة ثلاثية الأبعاد التي لها حجم.

حساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل

المخروط الدوراني (الدائري) هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد له سطح مستوٍ دائري، وسطح منحنٍ موجه نحو الأعلى إلى نقطة تقع خارج سطح القاعدة، وتسمى النهاية المدببة للمخروط بالقمة، وهناك العديد من الأشكال التي نشاهدها في حياتنا اليومية والتي تمثل مثالاً على المخروط الدوراني؛ كالأقماع المستخدمة في تنظيم المرور، وقمع المثلجات، وقبعات حفلات أعياد الميلاد.

يساعد التكامل في ايجاد حجم الأشكال غير العادية التي من الصعب تحديد أبعادها، كما ويستخدم في اشتقاق صيغ الحجم لعدة أشكال هندسية، حيث يعمل التكامل على تقطيع الشكل إلى عدد لا نهائي من القطع الصغيرة جدًا ثم يتم جمع هذه القطع لحساب الحجم الإجمالي، لذا يمكن استخدام التكامل لحساب حجم المخروط الدوراني.

استخدام طريقة التكامل بالأقراص والفلكة

كما أسلفنا الذكر يمكن أن نحصل على المخروط الدوراني نتيجة دوران مثلث قائم حول أحد أضلاع القائمة، ويمكن لنا أن نستفيد من هذه الخاصية في حساب حجمه من خلال التكامل، عبر تمثيل المثلث القائم في المستوى البياني على هذا النحو:

أحد أضلاع الزاوية القائمة الذي هو ارتفاع المخروط (ع)، ينطبق على محور السينات.
الضلع الآخر للقائمة يمثل نصف قطر المخروط (نق) ويكون موازياً لمحور الصادات.
رأس المثلث (نفسه رأس المخروط) عند نقطة الأصل.
وبتدوير الشكل حول محور السينات دورة كاملة يصبح لدينا مخروط دوراني ارتفاعه (ع) ونصف قطره (نق).

استخدام التكامل لحساب حجم المخروط الدوراني

لحساب حجم المخروط الدوراني نتبع الخطوات الآتية:

ص = ( نق/ع )× س؛ معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل (ضلع القائمة للمثلث؛ الوتر).
م(س) = 𝜋 ص؛ مساحة المقطع العرضي للمخروط الناتج عن الدوران.
= 𝜋 (نق/ ع) × س ؛ تعويض ص في قانون المساحة.
ثم نأخذ التكامل للمساحة لحدود التكامل من س=0 إلى س=ع للحصول على الحجم.
ʅ ( 𝜋 (نق/ ع) × س ) دس.
بإخراج الثوابت 𝜋 (نق/ ع) خارج التكامل.
𝜋 (نق/ ع) ʅ ( س ) دس.
𝜋 (نق/ ع) × [ (س /3) ] ₀ وبعد تعويض س=0 وس=ع فإن الحجم يساوي:
الحجم = (3/1) 𝜋 نق ع.

خصائص المخروط الدوراني وأبعاده

الخصائص الرئيسية للمخروط الدوراني وأبعاده هي كما يلي:

له وجه دائري واحد يسمى القاعدة، ونصف قطرها هو نق.
ليس له حواف.
له رأس واحد وهو رأس المخروط، والخط الواصل ما بين رأس المخروط ومركز القاعدة يسمى محور المخروط ويمثل ارتفاعه ويرمز له بالرمز ع.
راسم المخروط وهو الخط الذي يصل بين رأس المخروط وأي نقطة على محيط القاعدة ويرمز له بالرمز ل.

أنواع المخروط الدوراني

للمخروط الدوراني نوعان اعتمادًا على موقع رأس المخروط بالنسبة إلى مركز القاعدة الدائرية وهما:

مخروط دوراني قائم: يكون رأس المخروط فوق مركز القاعدة الدائرية مباشرة أي أن محور المخروط يشكل زاوية قائمة مع مستوى مركز القاعدة، ويمكن إنشاؤه من خلال دوران مثلث قائم الزاوية حول أحد أضلاع الزاوية القائمة.
مخروط دوراني مائل: يكون رأس المخروط بعيدًا عن مركز القاعدة الدائرية.

2023-12-146تعليم

مزيد من المشاركات

كلام عن الصداقة رائع

الصداقة الصداقة كنز لا يقدّر بثمن وذلك لمن وجد صديقاً وفيّاً، صادقاً، ناصحاً لصديقه، تجده في السرّاء والضرّاء. توجد الكثير من العبارات التي كُتبت للتعبير عن الصداقة، جمعنا لكم بعضاً منها في هذا المقال. كلام عن الصداقة رائع صداقتنا كنافذة من زجاجٍ صافٍ، نُطلُّ منها على أحلى ما في الدنيا، ونرى من خلالها كل المعاني الجميلة، ولا بدّ للزجاج من أن تشوبه شائبة، فتلك هي حال الدنيا وحال البشر فيها، نقصٌ وخطأٌ، وإلا لكنّا من الملائكة، ولكن لا تكسري الزجاج لتزيلي هذا الأذى، فإذا ما شاب علاقتنا شيء من

أدب العصر الفيكتوري

تاريخ الأدب في العصر الفكتوري تتزامن فترة الأدب الفيكتوري تقريبًا مع السنوات التي حكمت فيها الملكة فيكتوريا بريطانيا العظمى وإمبراطوريتها (1837-1901م)، خلال هذه الحقبة تحوّلت بريطانيا من مجتمع زراعي يغلب عليه الطابع الريفيّ إلى مجتمع صناعيّ حضريّ، وقامت التقنيات الجديدة مثل السكك الحديدية والمطبعة البخارية بتوحيد البريطانيّين ليس فقط جسديًا بل وفكريًا، على الرغم من أنّ هذه الفترة تُعرف الآن على أنها فترة القيم الأخلاقية المحافظة الأولية، إلّا أنّ الفيكتوريين أدركوا أنّ عالمهم يتغيّر بسرعة. كان

أين تقع هضبة الجولان

الموقع الجغرافيّ لهضبة الجولان تتوسط هضبة الجولان ثلاث دول، وهي لبنان، وفلسطين، وسوريا، ويأتي موقعها بالتحديد بين: جنوب لبنان، وجنوب سوريا ، وشمال فلسطين، ويبلغ متوسط ارتفاعها ما يُقارب 1000م، بينما تصل مساحتها إلى 1.800كم، ويتراوح طولها من الجهة الشماليّة إلى الجهة الجنوبيّة إلى ما يُقارب 65كم، أمّا بالنسبة لطولها من الجهة الشرقيّة إلى الجهة الجنوبيّة فيتراوح ما بين 12 و25كم، بينما يبلغ ارتفاع الهضبة من الجهة الشماليّة 2.000م، وتنخفض إلى أنْ تصل إلى مستوى سطح البحر على طول بحيرة طبرية أو بحر

طرق العناية بالعينين

تعتبر العينان من أهمّ معالم الوجه التي تبرز جماله، إلّا أنّها تتعرّض إلى العديد من العوامل التي تؤثّر عليها، مثل: التعب، والإرهاق، وقلة النوم، وتقلبات الطقس المختلفة، ولهذا السبب سنتعرف على بعض الطرق والنصائح الواجب اتباعها للعناية بالعينين. طرق العناية بالعينين يجب الحرص على العناية العينين، وذلك من خلال الالتزام بالممارسات التي تحميهما من الضرر واتباع النصائح التي تحافظ على صحتهما، وفيما يلي بعض هذه النصائح: ارتدي النظارات الشمسية عند الخروج من المنزل، لأن أشعة الشمس تسبب الكثير من الأضرار

المراقبة بعد انتهاء العلاقة

لماذا يستمر بعض الناس بمراقبة شركائهم السابقين بعد انتهاء العلاقة؟ يمر الكثير من الناس بمرحلة يراقبون فيها شركاء حياتهم بعد انتهاء العلاقة بينهم، فعندما تنتهي العلاقة العاطفية بالانفصال فإن الشركين السابقين سيعانون من مشاكل عاطفية، وإحدى طرق التعامل مع هذه المشاكل هي اللجوء إلى مراقبة الشركاء السابقين بشكل مباشر أو عن طريق الإنترنت مثل التتبع على وسائل التواصل الاجتماعي، وتجدر الإشارة إلى أنّهُ كلما زاد التزام الشخص بالعلاقة ومحاولته الاستثمار فيها زادت مراقبته لشريكه السابق بعد انتهاء

الفرق بين المذياع والتلفاز

المذياع والتلفاز تعمل وسائل الإعلام كوسائط لنقل ونشر المعلومات وتوجد أربعة عناصر تقوم عليها وهي: المرسل والمستقبل، وكذلك الوسط الناقل والرسالة، وتؤدّي العديد من الأهداف منها ما هو ترفيهيّ، ومنها ما هو إرشاديّ وغيرهما، كما تتعدّد وسائل الإعلام، بين مقروءة كالجرائد، أو مسموعة كالمذياع، أو مرئيّة ومسموعة مثل التلفاز ، وسنسلّط الضوء في هذه المقالة على وسيلتين مما ذكرنا آنفاً، هما المذياع والتلفاز وأبرز فرق بينهما من حيث الشكل هو أن المذياع يمتاز بصغر حجمه، وإمكانية عمله باستخدام البطاريات؛ مما

الناميات

هي نسيج ليمفاوي موجود في حجرة الانف الخلفي يبدء بالظهور عند سن الستة شهور بعد الولادة ووظيفته اخذ عينات من المواد التي يستنشقها الطفل و الميكروبات ونقلها للجهاز الليمفاوي لإنتاج الأجسام المضادة في كل أنحاء الجسم و خاصة الغدد الليمفاوية. عادة تموت بدون مشاكل عند سن السادسة عشر نتيجة الوراثة و التعرض للمهيجات و التحسس تتضخم الناميات في حجرة الانف الخلفي مسببة مشاكل كثيرةمنها: أولاً انسداد الانف بسبب التضخم و الشخير ثانياً افرازات الانف المزمن ثالثاً سوائل خلف طبلتي الاذن و نقص السمع و التأخير في

أنواع الشفافية

أنواع الشفافية ومجالاتها تشير الشفافية إلى قدرة الجهات الرقابية المختصة أو عموم الشعب على الوصول إلى معلومات دقيقة وفي الوقت المناسب حول الأنشطة أو الأعمال التي تجريها الحكومة، ويرتبط هذا المصطلح بشكل رئيسي بالسياسة ومفاهيمها مثل المساءلة والانفتاح والاستجابة، ويجدر بالذكر أن المبدأ تعود أصوله إلى العالم المالي، إذ يشير المصطلح إلى واجب الشركة في تقديم حسابات دقيقة عن أنشطتها للمساهمين وهيئات الرقابة والعامة، ويمكن تقسيم الشفافية إلى الأنواع الآتية: الشفافية السياسية تستخدم الشفافية في السياسة