تطبيقات المعادلات التفاضلية في الهندسة الكهربائية

تطبيقات المعادلات التفاضلية في الهندسة الكهربائية

تُعتبر حلول المعادلات التفاضليّة ذات المعامل الثابت من الدرجة الأولى والثانية من المواضيع المهمّة في حل مسائل الهندسة الكهربائيّة ، ويجري توظيفها بالعديد من التطبيقات، وفيما يأتي ذكر أبرزها:

الجهد الكهربائي

تُعدّ المعادلات التفاضليّة جزءًا مهمًّا من حلّ أيّ تقنيات ومشاكل خاصة في تصميم الجهد الكهربائيّ، حيثُ صُممت شبكة LCK المتسلسلة كدائرة أساسية، وذلك لحلّ معادلة الجهد للدائرة الكهربائيّة، ومقدار القوى المؤثرة داخلها، ومنها: الموجة الجيبيّة التي تُعبر عن منحنى موجة مستمرة سُميت نسبة لمنحى دالة الجيب.

وتجدر الإشارة إلى أنّ المعادلات التفاضليّة دخلت في تفسير موجة السعة التي تُوضح أقصى قيمة رأسيّة أو ذبذبة من موجة الصوت الدوريّ المتغير، كما تشير لأعلى قيمة موجبة أو أقل قيمة سالبة، بالإضافة إلى تفسير المعادلات التفاضليّة لموجة التردد التي تعرض مقدار قيم التردد للجهد الكهربائيّ بقيمته الأعلى وقيمته الأقل.

ومن الجدير بالذكر أنّه يبرز دور المعادلات التفاضليّة في النظر بالدائرة الكهربائيّة التي تحتوي على أيّ معلم متغيّر دوريًّا، فمثلًا سعة الدائرة متغيرة خطيًّا مع الوقت، فقُحُلّت بمعادلة ماثيو بعبارات عامة، وذُكر أمثلة لعدد من نظائرها الكهربائيّة، وفي هذه العملية تمت مناقشة تحويل معادلة ماثيو إلى معادلة هيل، حيثُ حُلّت معادلة هيل بشكل غير خطيّ فيما يخص آلية توليد التوافقيات الفرعيّة.

تحويل لابلاس

يُعد تحويل لابلاس أحد الوسائل الفعالة في الهندسة الكهربائيّة، إذ يجري في إطاره تحويل المعادلات المرتبطة بالمجال الزمنيّ إلى معادلات مكافئة في المستوى، ويُعد تحويل لابلاس تحويلًا متكاملًا، وهو أداة لحل المعادلات التفاضليّة العادية ومعالجتها، ويُستخدم تبعًا لهذا في تحليل الدوائر الكهربائيّة.

يجري التعبير عن تحويل لابلاس لدالة معينة f (s) بالتكامل المحدود من الصفر إلى المالانهاية لدالة الزمن f (t) مضروبًا بالدالة الأسية لحاصل ضرب العدد السالب من s بالزمن كالآتي:

معادلات ماكسويل

معادلات ماكسويل هي مجموعة من المعادلات التفاضليّة الجزئيّة التي تشكل مع معادلات قوة لورنتز أساس الديناميكا الكهربائيّة الكلاسيكيّة، بالإضافة إلى هندسة البصريات الكلاسيكيّة، والدوائر الكهربائيّة، وتمثل هذه المجالات بدورها أساس التقنيات الكهربائيّة والاتصالات الحديثة.

تصف معادلات ماكسويل كيفية توليد المجالات الكهربائيّة والمغناطيسيّة وتغييرها بواسطة الشحنات والتيارات، وجرى تسميتها على اسم عالم الفيزياء والرياضيات الاسكتلندي جيمس كليرك ماكسويل، الذي نشر الصيغة الأولى من تلك المعادلات بين عامي 1861م و1862م.

أجهزة التبريد الكهربائية

تدخل المعادلات التفاضليّة في تطبيق قانون نيوتن للتبريد، الذي تظهر معادلة النمذجة الخاصة به على النحو الآتي:

dθ/dt=−k(θ−θs)

حيثُ إنّ: 5.θ=θ0 at t=0

ورجوعًا للمعادلة أعلاه، فإنّ المعادلات التفاضليّة تدخل عند فصل الجزأين، وإجراء التكامل على النحو الآتي:

ln(θ−θs)=−kt C

وعند استنتاج العلاقة التي تربط t مع θ، فإنّ درجة حرارة الجسم الكهربائيّ تنخفض إلى درجة حرارة البيئة المحيطة، وهذا يُستفاد منه عند تصميم الأجهزة.