بحث رياضيات عن المصفوفات

تعريف المصفوفات

يمكن تعريف المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix) بأنها ترتيب معين للأعداد على شكل أعمدة وصفوف، وتُكتب المصفوفات عادة على شكل صندوق مربع أو مستطيل الشكل، ويُسمى الخط العمودي داخل المصفوفة بالعمود، أما الخط الأفقي فيُسمّى صفاً، ويمكن التعبير عن حجم المصفوفة من خلال عدد الصفوف، والأعمدة التي تحتويها كما يلي: حجم المصفوفة: عدد الصفوف×عدد الأعمدة؛ فمثلاً إذا كان عدد الصفوف في مصفوفة ما هو 2، وعدد الأعمدة هو 3، فإنه يتم التعبير عن حجمها كما يلي: 2×3، وتُعرف الصفوف، والأعمدة بأبعاد المصفوفة.

خصائص المصفوفات

يُعرف كل ما يوجد داخل المصفوفة بعناصر المصفوفة سواء كانت أرقاماً، أو رموزاً، أو مقادير جبرية، وفيما يأتي أبرز خصائص المصفوفات:

• إذا كان عدد صفوف وأعمدة إحدى المصفوفات مساوياً لعدد صفوف وأعمدة مصفوفة أخرى فإن هاتين المصفوفتين تعتبران متساويتين في الحجم.
• يمكن تسمية المصفوفة بأي حرف من أحرف اللغة العربية، أما في اللغة الإنجليزية فيتم التعبير عنها باستخدم أحد الأحرف الكبيرة.
• ما داخل المصفوفة؛ أي العناصر فيتم التعبير عنها عن طريق كتابة الحرف الذي يُعبّر عن اسم المصفوفة، وكتابة رقم كل من الصف والعمود لذلك العنصر على الترتيب أسفل ذلك الحرف؛ أي اسم المصفوفة _{صف،عمود.}

ولتوضيح خصائص المصفوفات إليك المثال الآتي للمصفوفة (ب):

| 6 4 24 |

| 1 - 9 8 |

• ب_1،1: وتعني العنصر الذي يقع في الصف الأول، والعمود الأول، ويساوي 6
• ب_3،1: وتعني العنصر الذي يقع في الصف الأول، والعمود الثالث، ويساوي 24
• ب_3،2: وتعني العنصر الذي يقع في الصف الثاني، والعمود الثالث، ويساوي 8.

أنواع المصفوفات

هناك عدة أنواع للمصفوفات، وهي:

• المصفوفة المربعة (square matrix): هي التي يكون عدد الصفوف فيها مساوياً لعدد الأعمدة.
• مصفوفة الصف الواحد (Row matrix): هي المصفوفة التي تتكون من صف واحد فقط؛ مثل:

| أ ب جـ |

• مصفوفة العمود الواحد ( Column matrix): هي المصفوفة التي تتكون من عمود واحد فقط مثل:

| ب |

| جـ |

| ك |

• المصفوفة الصفرية (Zero matrix): هي المصفوفة التي تتكون من أصفار فقط؛ مثل:

| 0 0 |

| 0 0 |

• المصفوفة القُطرية (Diagonal matrix): هي مصفوفة مربعة تقع عناصرها فقط على طول القطر الممتد من الطرف العلوي الأيمن نحو الطرف السفلي الأيسر، أما باقي العناصر فهي عبارة عن أصفار؛ مثل:

| ك 0 0 |

| 0 ب 0 |

| 0 0 جـ |

• المصفوفة القياسية (Scalar matrix): وهي عبارة عن مصفوفة قطرية تتساوى جميع عناصرها الواقعة على القطر الممتد من الطرف العلوي الأيمن نحو الطرف السفلي الأيسر:

| أ 0 0 |

| 0 أ 0 |

| 0 0 أ |

• المصفوفة المثلثة العليا (Upper triangle matrix): هي مصفوفة مربعة تقع فيها جميع العناصر فوق القطر، أما جميع العناصر أسفله فتكون مساوية للصفر؛ مثل:

| أ ب جـ |

| 0 هـ ز |

| 0 0 ك |

• المصفوفة المثلثة السفلى (Lower triangle matrix): هي مصفوفة مربعة تكون فيها جميع العناصر الواقعة فوق القطر مساوية للصفر؛ مثل:

| ك 0 0 |

| أ هـ 0 |

| ز ب جـ |

• مصفوفة الوحدة (Identity Matrix): وهي عبارة عن مصفوفة قطرية ومربعة لها نفس العدد من الصفوف والأعمدة، ويمكن لها أن تتكون من أي عدد ممكن من الصفوف والأعمدة؛ أي يمكن لحجمها أن يكون 2×2، 3×3، أو حتى 100×100، ويتكوّن القطر فيها من العدد واحد فقط، وهي تعتبر حالة خاصة من المصفوفات، لأن نتيجة ضربها في أية مصفوفة أخرى تُعطي المصفوفة الأخرى نفسها؛ فمثلأ عند ضرب هذه المصفوفة بالمصفوفة أ فإن النتيجة هي المصفوفة أ، ومن الأمثلة على مصفوفة الوحدة:

| 1 0 0 |

| 0 1 0 |

| 0 0 1 |

العمليات الحسابية على المصفوفات

وفيما يأتي أبرز العمليات الحسابية على المصفوفات:

جمع وطرح المصفوفات

يجب عند جمع، أو طرح المصفوفات أن تكون متساوية في الحجم؛ أي يجب لعدد الصفوف، والأعمدة أن يكون متساوياً في كلا المصفوفتين.

مثال توضيحي: إذا كان عدد الصفوف في مصفوفة ما 3 صفوف، و 5 أعمدة، فإنه يمكن جمعها إلى مصفوفة أخرى فقط إذا كان عدد صفوفها أيضاً 3 صفوف، وعدد أعمدتها هو 5 أعمدة، وفي المقابل لا يمكن مثلاً جمعها إلى مصفوفة أخرى عدد الصفوف فيها 3 صفوف، وعدد أعمدتها هو 4 أعمدة، ويتم جمع المصفوفتين عن طريق جمع كل عنصرين متطابقين في الموقع بين المصفوفتين، وكذلك الأمر بالنسبة لعملية الطرح، والمثالان الآتيان يوضّحان ذلك:

• المثال الأول: ما هو ناتج جمع المصفوفتين الآتيتين؟

الحل:

• • | 3 8 | | 4 صفر | = | 7 8 |
  • | 4 6 | | 1 − 9 | = | 5 - 3 |
  • وذلك لأنّ: 3 4=7، 8 0=8، 4 1=5، و 6-9= -3.

• المثال الثاني: ما هو ناتج طرح المصفوفتين الآتيتين؟

الحل:

• • | 3 8 | - | 4 صفر | = | - 1 8 |
  • | 4 6 | - | 1 − 9 | = | 3 15 |
  • وذلك لأنّ: 3-4 = -1، 8-0 = 8، 4-1 = 3، 6-(-9) = 15؛ حيث يتم طرح العناصر التي توجد في نفس الموقع من بعضها.

ضرب المصفوفات

هناك نوعان من عملية ضرب المصفوفات، وهما:

الضرب القياسي

في الضرب القياسي (scalar multiplication) يتم ضرب عدد واحد في كل عنصر من عناصر المصفوفة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:

• مثال توضيحي: ما هو ناتج ضرب العدد 2 في المصفوفة الآتية:

| 1 2 |

| 3 4 |

الحل: عند ضرب العدد 2 في المصفوفة السابقة فإنه يجب ضرب هذا العدد في كل عنصر من عناصرها لتنتج المصفوفة الآتية كحاصل لعملية الضرب هذه:

| 2 4 |

| 6 8 |

ضرب المصفوفات

ضرب المصفوفات (Matrix multiplication) هو النوع الثاني، وفيه يتم ضرب مصفوفتين ببعضهما البعض، ويمكن ضرب مصفوفتين ببعضهما فقط إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساوياً لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية، ليكون حجم المصفوفة الناتجة: عدد صفوف المصفوفة الأولى×عدد أعمدة المصفوفة الثانية، وفيما يلي مجموعة من الخطوات التي يجب اتباعها عند ضرب المصفوفات:

• التأكد من أن عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساوياً لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
• ضرب كل عنصر من عناصر كل صف من صفوف المصفوفة الأولى في كل عنصر مقابل له من كل عمود من الأعمدة في المصفوفة الثانية على الترتيب.
• إضافة النواتج.

مثال توضيحي: ما هو ناتج ضرب المصفوفتين الآتيتين أ×ب؟

• المصفوفة أ:

| 1 0 -2 |

| 0 3 -1 |

• المصفوفة ب:

| 0 3 |

| -2 -1 |

| 0 4 |

الحل:

• أولاً يجب التحقّق من أن عدد الأعمدة في المصفوفة أ مساوياً لعدد الصفوف في المصفوفة ب.
• ضرب كل عنصر من عناصر كل صف من صفوف المصفوفة الأولى في كل عنصر من عناصر كل عمود من الأعمدة في المصفوفة الثانية.

| (1×0) (0×-2) (-2×0) (1×3) (0×-1) (-2×4) |

| (0×0) (3×-2) (-1×0) (0×3) (3×-1) (-1×4) |

• فتنتج المصفوفة الآتية:

| صفر -5 |

| - 6 - 7 |

ملاحظة: تعتبر عملية الضرب في علم الرياضيات عملية تبديلية؛ فمثلاً: 3×5 = 5×3، ولكن هذا لا ينطبق على المصفوفات؛ فمثلاً حاصل ضرب المصفوفتين أ×ب لا تساوي حاصل ضرب المصفوفتين ب×أ.

محدد المصفوفة

يُستخدم محدد المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix Determinant) في العديد من التطبيقات؛ مثل: حل نظام من المعادلات الخطية، وإيجاد معكوس المصفوفة، وغيرها من التطبيقات الأخرى في علم الرياضيات، ويتميز محدد المصفوفة بالعديد من المميزات، وهي:

• أنه عدد حقيقي.
• يمكن إيجاده فقط إذا كانت المصفوفة مربعة.
• يمكن إيجاد معكوس المصفوفة فقط إذا كانت محددها لا يساوي صفراً.
• يُستخدم للتعبير عن محدد المصفوفة نفس الرمز الذي يُستخدم للتعبير عن القيمة المطلقة؛ فمثلًا يرمز لمحدد المصفوفة أ بالرمز | أ |.

وتختلف طرق إيجاده باختلاف أبعادها؛ أي عدد الصفوف، والأعمدة، وفيما يلي توضيح لذلك:

إذا كانت أبعاد المصفوفة 2×2

أي مكوّنة من صفين، وعمودين؛ فيمكن إيجاده عن طريق تطبيق القاعدة الآتية: محدد المصفوفة= (القيمة العليا في اليمين×القيمة السفلى في اليسار) - (القيمة العليا في اليسار×القيمة السفلى في اليمين)؛ فمثلاً يمكن إيجاد محدد المصفوفة الآتية (أ) كما يلي:

| 2 6 |

| 1 3 |

محدد المصفوفة |أ| = (2×3) - (6×1) = 0.

إذا كانت أبعاد المصفوفة 3×3

أي أنّها تتكون من ثلاثة صفوف، وثلاثة أعمدة كما يلي:

| أ ب ث |

| د ج ي |

| ز ك ت |

يمكن إيجاد محدد المصفوفة باستخدام القانون الآتي: محدد المصفوفة = أ×(ج×ت-ك×ي) - ب×(د×ت-ز×ي) ث×(د×ك-ز×ج)، وهذا القانون أساسه ضرب كل عنصر من العناصر الموجودة في الصف الذي تم اختياره، وهو هنا الصف الأول (أ ب جـ) على الترتيب بالمصفوفة ثنائية الأبعاد، التي يمكن الحصول عليها بعد استثناء العمود والصف الذي يوجد فيه العنصر الذي تم اختياره من الصف الأول، ولتوضيح ذلك يمكن إيجاد المحدد للمصفوفة الآتية كما يلي:

| 3 2 4 |

| - 5 6 3 |

| 4 7 2 |

بتطبيق القانون في الأعلى فإن المحدد = 3×(6×2 - 7×3) - 2×(-5×2 -3×4) 4×(-5×7 - 6×4) = -219.

معكوس المصفوفة

يُمكن تعريف معكوس المصفوفة بأنها المصفوفة التي يكون حاصل ضربها في المصفوفة الأصلية هو مصفوفة الوحدة وهي المصفوفة التي تكون جميع عناصر قطرها هي العدد واحد أما باقي العناصر فهي أصفار، وتختلف طرق إيجاد معكوس المصفوفة باختلاف أبعادها؛ فمثلاً إذا كانت المصفوفة ثنائية الأبعاد (2×2) فإنه يمكن إيجاد معكوسها كما يلي:

• إيجاد المصفوفة المصاحبة: (بالإنجليزية: Adjugate Matrix) وذلك عن طريق عكس ترتيب العناصر في أحد الأقطار، وإيجاد القيمة السالبة للقطر الآخر كما يلي:

المصفوفة الأصلية:

| أ ب |

| ج د |

المصفوفة المصاحبة:

| د -ج |

| -ب أ |

• إيجاد محدد المصفوفة.
• حساب حاصل ضرب: (1/محدد المصفوفة)×المصفوفة المصاحبة؛ لينتج معكوس المصفوفة من ذلك؛ أي: معكوس المصفوفة = (1/محدد المصفوفة)×المصفوفة المصاحبة.

أما إذا كانت أبعاد المصفوفة (3×3) فأكثر فإنه يمكن إيجاد معكوسها بالطريقة التي سيتم توضيحها بالمثال الآتي:

• جد معكوس المصفوفة الآتية:

| 1 3 3 |

| 1 4 3 |

| 1 3 4 |

يمكن إيجاد المعكوس باستخدام الخطوات الآتية:

• كتابة مصفوفة الوحدة إلى جانب المصفوفة المراد إيجاد معكوسها.

| 1 3 3 | 1 0 0 |

| 1 4 3 | 0 1 0 |

| 1 3 4 | 0 0 1 |

• التفكير في الطريقة التي يمكن من خلالها تحويل المصفوفة الأصلية إلى مصفوفة الوحدة عن طريق إجراء مجموعة من العمليات، وذلك كما يلي:
  • تحويل العنصر الثاني من العمود الأول إلى العدد صفر عن طريق: ضرب الصف الأول بالعدد -1، ثم جمعه للصف الثاني، ووضع النتيجة في الصف الثاني كما يلي:

| 1 3 3 | 1 0 0 |

| 0 1 0 | −1 1 0 |

| 1 3 4 | 0 0 1 |

• • تحويل العنصر الثالث من العمود الأول إلى العدد صفر عن طريق: ضرب الصف الأول بالعدد -1، ثم جمعه للصف الثالث، ووضع النتيجة في الصف الثالث كما يلي:

| 1 3 3 | 1 0 0 |

| 0 1 0 | −1 1 0 |

| 0 0 1 | −1 0 1 |

• • تحويل العنصر الثاني من الصف الأول إلى العدد صفر عن طريق: ضرب الصف الثاني بالعدد -3، ثم جمعه للصف الأول، ووضع النتيجة في الصف الأول كما يلي:

| 1 0 3 | 4 −3 0 |

| 0 1 0 | −1 1 0 |

| 0 0 1 | −1 0 1 |

• • تحويل العنصر الثالث من الصف الأول إلى العدد صفر عن طريق: ضرب الصف الثالث بالعدد -3، ثم جمعه للصف الأول، ووضع النتيجة في الصف الأول كما يلي:

| 1 0 0 | 7 -3 -3 |

| 0 1 0 | −1 1 0 |

| 0 0 1 | −1 0 1 |

• أي أن معكوس المصفوفة هو:

| 7 -3 -3 |

| −1 1 0 |

| −1 0 1 |

• يمكن التحقق من صحة الحل عن طريق ضرب هذه المصفوفة في المصفوقة الأصلية لتنتج مصفوفة الوحدة.

تدريبات متنوعة حول المصفوفات

وفيما يلي تدريبات متنوعة حول حل المعادلات باستخدام المصفوفات :

• المثال الأول: ما هو ناتج ضرب المصفوفتين أ×ب، علما أنّ قيمة كل منهما ما يلي:

المصفوفة أ تساوي:

| 3 -1 2 |

| -2 4 0 |

والمصفوفة ب تساوي:

| 2 0 |

| −1 4 |

| −3 2 |

الحل:

• عند ضرب كل عنصر من عناصر كل صف من المصفوفة الأولى بكل عنصر مقابل له من عناصر كل عمود من المصفوفة الثانية تنتج المصفوفة الآتية:

| (3×2) (-1×-1) (2×-3) (3×0) (-1×4) (2×2) |

| (-2×2) (4×-1) (0×-3) (-2×0) (4×4) (0×2) |

• فتنتج المصفوفة الآتية:

| 1 صفر |

| −8 16|

• المثال الثاني: إذا كان حاصل ضرب المصفوفتين أ×ب مساوياً لحاصل ضرب ب×أ، فما هي قيمة س، علماً ان قيمة المصفوفة أ، والمصفوفة ب ما يلي:

المصفوفة أ تساوي:

| 1 س |

| 2 3 |

المصفوفة ب تساوي:

| 1 1 |

| 1 2 |

الحل:

• أ×ب =

| (1×1) (س×1) (1×1) (س×2) |

| (2×1) (3×1) (2×1) (3×2) |

• ب×أ =

| (1×1) (1×2) (1×س) (1×3) |

| (1×1) (2×2) (1×س) (2×3) |

• وباختيار أحد العناصر المتقابلة في المصفوفتين ينتج أنّ: 1×1 1×2 = 1×1 س×1، ومنه: 3 = 1 س، ومنه فإن قيمة: س= 2.

• المثال الثالث: ما هو معكوس المصفوفة أ التي تساوي:

| 3 1|

| 4 2 |

الحل:

• بتطبيق خطوات معكوس المصفوفة ثنائية الابعاد فإنّ معكوس المصفوفة يساوي: 1/((3×2)-(1×4)) مضروباً في المصفوفة الآتية:

| 2 -1|

| -4 3 |

• وبضرب 1/((3×2)-(1×4)) = 1/2 في المصفوفة السابقة ينتج معكوس المصفوفة، وهو:

| 1 -1/2 |

| -2 3/2 |

ملاحظة: للتأكد من صحة الحل فإنّ: المصفوفة×معكوسها = مصفوفة الوحدة.

• المثال الرابع: ما هي قيمة س، وص في المصفوفتين الآتيتين:

| -3 س | | 4 6 | = | 1 7 |

| 2ص 0 | | -3 1| = | -5 1 |

الحل:

• س 6 = 7، وبالتالي فإنّ: س = 1.
• 2ص-3 = -5، وبحل هذه المعادلة فإنّ: ص = -1.

المثال الخامس: ذهب مجموعة من الأشخاص إلى رحلة، وذلك عن طريق الحافلة في الذهاب، وعن طريق القطار في الإياب فكانت أجرة كل طفل في الحافلة 3 دولار، وأجرة الشخص البالغ 3.2 دولار، وكان مجموع ما دفعوه للحافلة 118.40 دولار، وأجرة كل طفل في القطار 3.50 دولار، وأجرة الشخص البالغ 3.60 دولار، وكان مجموع ما دفعوه للقطار 135.20 دولار، جد عدد الأطفال والبالغين في هذه الرحلة؟

الحل:

• يمكن لحل هذه المسألة تمثيلها على الشكل الآتي باستخدام المصفوفات:
  • المصفوفة الأولى: س= | عدد الأطفال عدد البالغين|

| س1 س2 |

• • المصفوفة الثانية: أ= أجرة الباص والحافلة لكل فرد من الأطفال والبالغين:

| 3.0 3.5|

| 3.2 3.6|

• • المصفوفة الثانية: ب= مجموع أجرة الباص والحافلة لكل من الأطفال والبالغين:

| 118.4 1325.2|

• لنعتبر أن المصفوفة الأولى (س)، والمصفوفة الثانية (أ)، والمصفوفة الثالثة (ب)، وأنّ: س×أ = ب، ولإيجاد المصفوفة س فإنّ: س= ب×أ؛ (أي معكوس المصفوفة أ).
• إيجاد معكوس المصفوفة أ، ويساوي المصفوفة الآتية:

| -9.0 8.75 |

| 8.0 -7.50 |

بعد ضرب المصفوفة ب في معكوس المصفوفة أ تنتج المصفوفة الآتية التي تمثل عدد الاطفال في العمود الأول، وعدد البالغين في العمود الثاني:

| 16 22 |