أنواع الكسور في الرياضيات والعمليات التي تجرى عليها

أنواع الكسور

يتم تعريف الكسور في علم الرياضيات على أنها أعداد مجزأة، وتكتب على صورة (عدد\عدد)، وهذين العددين يعرفان باسمي: البسط والمقام، حيث إن العدد الواقع فوق خط القسمة يسمى "البسط"، والعدد الآخر هو "المقام"، وتأتي الكسور على عدة أنواع وأشكال سيأتي تفصيلها وشرحها في هذا المقال، وهي كما يأتي:

الكسر البسيط

تعرف الكسور البسيطة على أنها الكسور التي يكون البسط فيها أقل من المقام؛ بحيث يمثل الكسر فيها جزء من كل، ويعرف هذا النوع من الكسور بأنه "كسر عادي" أيضًا، ويتم تمثيله على صورة بسط قيمته أقل من قيمة المقام، فمثلًا السدس يعتبر كسر بسيط ، وفيما يأتي أمثلة على الكسر البسيط:

• 2\4
• 3\5
• 5\9
• 4\10

الكسر المركب

تعرف الكسور المركّبة على أنها الكسور التي يكون فيها البسط أكبر من المقام، ويعرف أيضًا باسم "كسر غير عادي"، حيث إن نتيجة الكسر تكون بعد قسمة البسط على المقام أكبر من 1، وهذا ما يجعله كسرًا غير لائق من حيث المعنى الذي يقتضيه الكسر؛ إذ إن الكسر يعد تعبيرًا عن جزء من كل، ولكن هذا النوع من الكسور يحيد عن المعنى الأصلي للكسر ولكن يمكن كتابته على صورة بسط\ مقام، مما يجعله كسرًا غير عادي، وفيما يأتي أمثلة على الكسر المركب:

• 7\4
• 5\2
• 9\3
• 10\2

العدد الكسري

تتكون الأعدد الكسرية من مزيج من عدد صحيح وكسر، ويطلق عليه اسم "كسر مختلط"؛ وذلك لأنه يجمع بين نوعين من الأعداد؛ العدد الصحيح والكسر، وتكون قيمة الكسر المختلط دائمًا أكبر من 1، ويمكن تحويل العدد الكسري دائمًا إلى كسر غير عادي، كما يمكن تحويل الكسر غير العادي إلى كسر مختلط دائمًا، وفيما يأتي أمثلة على العدد الكسري:

• 1 2\3
• 7 6\9
• 3 5\6
• 2 4\7

مسائل على الكسور

فيما يأتي مجموعة من المسائل التوضيحية على الكسور:

تقوم الأم بتقسيم رغيف الخبز إلى ثمانية أجزاء وتوزيع جزء واحد فقط منه على أبنائها، كم تبلغ حصة الابن الواحد من الرغيف؟

يتم التعبير عن الجزء الواحد من رغيف الخبز ب: 1\8؛ وبناءً عليه فإن حصة الابن الواحد تكون بمقدار جزء واحد؛ وهو عبارة عن= 1\8.

يمتلك أحد الأشخاص مزرعة بمساحة 5 دونمات ويريد تقسيمها بين أبنائه الإثنين، كم تبلغ حصة الواحد منهم؟

يتم تقسيم المساحة الإجمالية بين الإثنين بقسمة 5 على 2؛ لينتج لنا الكسر= 5\2.

تريد معلمة المدرسة تقسيم ثلاثة قطع من الحلوى بين طالبين حصلا على نفس العلامة، كم تبلغ حصة الواحد منهما؟

ستقوم المعلمة بتوزيع أول قطعتين عليهما؛ بحيث يحصل كل واحد منهما على قطعة كاملة، أما القطعة الثالثة فستقوم بتقسيمها إلى جزأين متساويين لتصبح حصة الواحد منهما بالمجمل= 1 1\2.

العمليات الحسابية على الكسور

يتم إجراء العديد من العمليات الحسابية على الكسور؛ مثل الجمع، الطرح، الضرب والقسمة، وذلك لمعرفة ناتج العمليات الرياضية التي تجري على الكسور، وسيتم توضيح هذه العمليات وكيفية إجرائها على الكسور كما يأتي:

الجمع والطرح

تتم عملية جمع الكسور العادية والمركبة على عدة مراحل؛ وآخر هذه المراحل هي جمع البسط مع البسط عندما يكون المقام موحدًا، بحيث يتم جمع وطرح الكسور العادية والمركبة في حال كانت المقامات متشابهة، وذلك من خلال جمع البسط إلى البسط أو طرحهما حسب العملية الحسابية، مع بقاء المقام نفسه، ومثال ذلك جمع الكسور الآتية: 3\5 4\5 = 7\5.

أما في حال كانت المقامات في الكسرين مختلفة؛ فعندها يتم إجراء عملية توحيد المقامات قبل القيام بعملية الجمع أو الطرح للكسور، وذلك بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامين مثل جمع عملية الكسور الآتية: 2\3 1\2 ، حيث قوم بإيجاد المضاعف المشترك الصغر بين المقامين 2 و 3 وهو المضاعف 6، ثم نضرب الكسر الأول ب 2، ونضرب الكسر الثاني ب 3، ليصبح الكسرين: 4\6 3\6= 7\6.

وبالنسبة للأعداد الكسرية؛ يتم تحويل العدد الكسري إلى كسر غير عادي، ومن ثم ننظر إلى مقاماتهما بعد التحويل؛ ففي حال كانت متشابهة يتم إجراء الطرح أو الجمع على البسط مع بقاء المقام نفسه، أما في حال عدم تشابه المقامات فيتم إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهما وتوحيدهما، ومن ثم إيجاد ناتج الجمع أو الطرح على البسط بين الكسرين، فمثلًا: 1 2\6 2 1\4 ، نقوم بتحويل الأعداد الكسرية إلى الكسر المركب لينتج العددين: 8\6 9\4، وهنا المقامات غير متشابهة فنقوم بتوحيدها بضرب الكسر الأول ب 4 والكسر الثاني ب 6، ليصبحا 32\24 54\24= 86\24.

وتجدر الإشارة إلى أن إجراء الطرح بين الكسور العادية والمركبة يتطلب معرفة بخصائص الطرح التقليدية، ومن ثم القيام بنفس خطوات عملية الجمع السابق ذكرها لإيجاد ناتج طرح الكسور.

الضرب والقسمة

يتم ضرب الكسور العادية والمركبة من خلال ضرب البسط بالبسط والمقام بالمقام ، وبهذا تكون عملية ضرب الكسور قد تمت؛ فمثلًا حينما نضرب:( 2\3 * 7\4) يكون الناتج= 14\12، أما في الأعداد الكسرية يتم تحويل العدد الكسري إلى كسر مركب ومن ثم إجراء عملية الضرب بالطريقة المتبعة في الكسور العادية والمركبة، فمثلًا لضرب: (1 2\3 * 2 3\4)، نقوم بتحويل الأعدا الكسرية إلى كسور كما يأتي: (5\3 * 11\5) = 55\ 15، ويشار هنا إلى أن عملية ضرب وقسمة الكسور لا تتطلب عملية توحيد المقامات، كما أنها لا تختلف في حال كانت المقامات مختلفة أو متشابهة.

ولإجراء عملية القسمة على الكسور يتم تحويل القسمة إلى ضرب وقلب الكسر التاني ، ومن ثم إجراء عملية الضرب ليُنتج ناتج القسمة، فمثلًا حين يتم تقسيم الكسر (2\3) على الكسر (5\7) فإننا نقوم بقلب الكسر الثاني ليصبح (7\5) ومن ثم ضربه في الكسر الأول كما هو، لتصبح المسألة (2\3) * (7\5) = 14\15.

أما في الأعداد الكسرية؛ فإننا نقوم بتحويل الأعداد الكسرية إلى كسور مركبة، وإجراء عملية القسمة كما تجري على الكسور العادية والمركبة، ومثال ذلك: 1 3\4 مقسومة على 2 1\4، نقوم بتحويل الأعداد الكسرية (7\4) \ (9\4)، ثم نقوم بقلب الكسر الثاني ليصبح (4\9) وضربه في الكسر الأول كما يأتي: (7\4) * (4\9)= 28\36.

مسائل على العمليات الحسابية للكسور

فيما يأتي مجموعة من المسائل التطبيقية على العمليات الحسابية التي تجري على الكسور وحل تلك المسائل:

• ما ناتج جمع الكسرين 3\4 5\2 ؟

نقوم بتوحيد المقامات؛ وذلك بضرب الكسر الثاني بالرقم 2 ليصبح 10\4، ومن ثم نجمع 3\4 10\4 = 13\4.

• ما ناتج طرح الكسرين 8\3 - 5\3؟

بما أن المقامات موحدة نقوم بطرح الكسرين مباشرة: 8-5\3 = 3\3.

• أوجد ناتج الضرب بين العددين الكسريين 2 2\4 * 3 1\2؟

نقوم بتحويل العددين الكسريين إلى كسور مركبة ليصبحا: 10\4 * 7\2= 70\8.

• قم بتقسيم الكسر 6\4 على الكسر 8\3؟

نقوم بقلب الكسر الثاني ليصبح 3\8 ومن ثم نضربه في الكسر الأول ليصبح الناتج: 6\4 * 3\8 = 18\32.

العمليات المنطقية على الكسور

تجرى العمليات المنطقية على الكسور بأشكالها المختلفة للمقارنة بينها، وتحديد الحالة بين الكسور؛ سواءً أكانت أكبر أم أصغر أم التساوي بين الكسور، ويرمز لهذه الحالات على التوالي: (أكبر >)، ( [٦]

كسور لها نفس المقام

عند مقارنة الكسور التي لها نفس المقام، فإن الكسر ذو البسط الأكبر يكون هو الكسر الأكبر؛ فمثلًا: 3\4 > 2\4.

كسور لها نفس البسط

في حال المقارنة بين كسرين لهما نفس البسط، فإن الكسر ذو المقام الأكبر هو الكسر الصغر؛ فمثلًا: 4\8 [٦]

كسور مختلفة في البسط والمقام

عند المقارنة بين الكسور المختلفة في البسط والمقام؛ مثل المقارنة بين الكسرين: 5\3 والكسر 4\ 6، فإننا نقوم بما يأتي:

• بداية يجب القيام بتوحيد المقامات بين الكسور.
• يتم إيجاد المضاعف المشترك الصغر بين الكسرين.
• في هذا المثال نقوم بضرب الكسر الأول بالرقم 2 لتتوحد المقامات.
• يصبح الكسرين بعد عملية التوحيد كما يأتي: 10\6 و 4\6.
• نقارن بين الكسرين كما تتم المقارنة بين الكسور ذات المقامات المتشابهة؛ فينتج لنا: 10\6 > 4\6.

مسائل على العمليات المنطقية للكسور

وفيما يأتي المزيد من المسائل التطبيقية على العمليات المنطقية للكسور وحلها:

• قارن بين الكسر 1 6\4 والكسر 5\7؟

بعد تحويل أعدد الكسر 1 6\4 إلى 10\4 يتم مقارنته مع الكسر 5\7، وهنا الكسور مختلفة في البسط والمقام، لذا نقوم بتوحيد المقامات ليصبح الكسرين: 70\28 و 20\28، ويكون التعبير المنطقي بينهما على النحو الآتي: 70\28 > 20\28.

• قارن بين الكسر 6\3 والكسر 4\2؟

الكسور هنا مختلفة في البسط والمقام، لذا نقوم بتوحيد المقامات ليصبحا على الشكل: 12\6 و 12\6، وهما كسران متساويان أي أنَّ العلاقة بينهما هي المساواة: 12\6=12\6.

• قارن بين الكسر 2\9 والكسر 5\9؟

هنا المقامات متشابهة وتكون النتيجة على النحو الآتي: 2\9

• قارن بين الكسرين 3\7 و 3\5؟

في هذه الحالة البسطين متشابهين؛ لذا يكون الكسر ذو المقام الأكبر هو الأصغر، وبالتالي تكون النتيجة على النحو الآتي: 3\7