أنواع الزوايا حسب قياسها
تُصنَّف الزّوايا حسب قياسها إلى عدّة أنواع رئيسية هي:
- الزّوايا القائمة: (بالإنجليزية: Right Angle) هي الزّوايا التي قياسها يساوي 90° تماماً.
- الزّوايا الحادة: (بالإنجليزية: Acute Angle) هي الزّوايا التي يتراوح قياسها من 0° إلى 90° ، وبمعنى آخر هي الزّاوية التي قياسها أصغر من قياس الزّاوية القائمة في مثلث الرّسم القائم.
- الزّوايا المُنفرِجة: (بالإنجليزية: Obtuse Angle) هي الزّوايا التي قياسها أكبر من 90° وأصغر من 180°.
- الزّوايا المستقيمة: (بالإنجليزية: Straight Angle) هي الزّوايا التي قياسها يساوي 180°، وتبدو كخط مستقيم تماماً.
- الزّوايا المُنعكِسة: (بالإنجليزية: Reflex Angle) هي الزّوايا التي قياسها أكبر من 180° وأصغر من 360°.
- الزّوايا الكاملة: (بالإنجليزية: Full Angle) هي الزّوايا التي قياسها 360°، بمعنى آخر هي الزّوايا التي تدور دورةً كاملةً؛ حيث تبدأ من نقطة معيّنة وينتهي بها المطاف عند النقطة التي بدأت منها.
- ملاحظة: يُشار إلى أنّه يُمكن أن نرى الزوايا القائمة، والحادة، والمنفرجة عند رسم الأشكال الهندسية كالمثلث .
أنواع الزوايا حسب اتجاه قياسها
تُصنَّف الزّوايا كذلك حسب اتجاه دورانها أو قياسها إلى عدّة أنواع رئيسية هي:
- الزوايا الموجبة: (بالإنجليزية: Positive Angles) وهي الزوايا التي يتم قياسها باتجاه معاكس لدوران عقارب الساعة عند البدء من القاعدة.
- الزوايا السالبة: (بالإنجليزية: Negative Angles) وهي الزوايا التي يتم قياسها باتجاه دوران عقارب الساعة عند البدء من القاعدة.
أنواع الزوايا حسب علاقتها ببعضها
يُطلق على الزوايا التي ترتبط بعلاقات معيّنة مع بعضها أسماء خاصة، ومنها ما يأتي:
- الزوايا المتجاورة: (بالإنجليزية: Adjacent Angles) وهي الزوايا التي تشترك معاً بضلع واحد، ورأس واحد.
- الزوايا المتتامة: (بالإنجليزية: Complementary Angles) وهي الزوايا المتجاورة التي يساوي مجموع قياسها 90 درجة.
- الزوايا المتكاملة: (بالإنجليزية: Supplementary Angles) وهي الزوايا المتجاورة التي يساوي مجموع قياسها 180 درجة؛ أي تشكلان معاً ما يُعرف بالزاوية المستقيمة.
- الزوايا المتقابلة بالرأس: (بالإنجليزية: Vertically Opposite Angles) وهي الزوايا التي تنتج عادة من تقاطع خطين مستقيمين معاً في نقطة واحدة تمثل رأس الزاويتين المتقابلتين، وتتساوي الزوايا المتقابلة بالرأس عادة في قياسها وتكون أضلاعها على امتداد واحد.
- الزوايا المتطابقة: (بالإنجليزية: Congruent angles) وهي الزوايا المتساوية في القياس.
أمثلة على تصنيف الزوايا
يُدرج فيما يأتي مسائل على تصنيف الزوايا:
- المثال الأول: صنّف الزّوايا الآتية (89°، 232°، 98°، 111°، 180°، 130°، 46°، 308°، 360°، 310°، 40°، 250°) إلى زوايا قائمة، أو حادّة، أو منفرجة، أو مستقيمة، أو كاملة، أو منعكسة، أو غير ذلك؛ حسب قياسها مع بيان السّبب:
- الحلّ: يتمّ تصنيف الزّوايا في الجدول الآتي حسب قياساتها:
| قياس الزّاوية | نوع الزّاوية | السّبب |
| °89 | زاوية حادة | الزّاوية 21° أكبر من 0° وأصغر من 90° (0° |
| °232 | زاوية منعكسة | الزّاوية 232° أكبر من 180° وأصغر من 360° (180° |
| °98 | زاوية منفرجة | الزّاوية 98° أكبر من 90° وأصغر من 180° (90° |
| °111 | زاوية منفرجة | الزّاوية 111° أكبر من 90° وأصغر من 180° (90° |
| °180 | زاوية مستقيمة | الزّاوية 180° تًطابق شروط الزاوية المستقيمة. |
| °130 | زاوية منفرجة | الزّاوية 130°أكبر من 90° وأصغر من 180° ( 90° |
| °46 | زاوية حادة | الزّاوية 46° أكبر من 0° وأصغر من 90° (0° |
| °308 | زاوية منعكسة | الزّاوية 308° أكبر من 180° وأصغر من 360° (180° |
| °360 | زاوية كاملة | الزّاوية 360° هي الزّاوية التي تدور دورة كاملة، وبهذا تُعدّ زاويةً كاملةً. |
| 310° | زاوية منعكسة | الزّاوية 310° أكبر من 180° وأصغر من 360° (180° |
| 40° | زاوية حادة | الزّاوية 46° أكبر من 0° وأصغر من 90° (0° |
| 250° | زاوية منعكسة | الزّاوية 310° أكبر من 180° وأصغر من 360° (180° |
- المثال الثاني: ما نوع الزاوية المتشكّلة بين عقربي الساعة عندما تكون الساعة 3:40، عند قياسها باتجاه عكس دوران عقارب الساعة.
- الحلّ: الزواية المتشكّلة عندما تكون الساعة 3:40 هي زاوية منعكسة؛ لأن قياسها أكبر من 180° وأصغر من 360°.
- المثال الثالث: إذا تقاطع الخطان المتعامدان (أب)، (ود) في النقطة (هـ)، وانطلق الشعاع (ه ز) من النقطة هـ منصّفاً للزاوية أهـ د، جد قياس الزاوية أهـ ب، والزاوية زهـ و.
- الحلّ: بعد تمثيل السؤال يتضح أن:
- قياس الزاوية أهـ ب= 180°؛ لأنها زاوية مستقيمة.
- قياس الزاوية زهـ و= 90 45=135°.
- المثال الرابع: إذا وقعت النقطة (و) في المنتصف المستقيم (أب) وانطلق منها الشعاع (وهـ)، وكان قياس الزاوية (ب وهـ)=125°، جد قياس الزاوية (هـ وأ).
- الحلّ: بعد تمثيل السؤال يتضح أن: الزاويتان (ب وهـ)، (هـ وأ) متكاملتان، وتشكلان معاً زاوية مستقيمة، وعليه الزاوية (ب وهـ) الزاوية (هـ وأ)=180°، وعليه قياس الزاوية (هـ وأ)=180-125=55°.
- المثال الخامس: جد قياس الزاوية المتمّمة للزاوية 40درجة.
- الحلّ: الزاويتان المتتامتان هما الزاويتان التي يساوي مجموع قياسهما 90 درجة، وعليه قياس الزاوية المتممة للزاوية 40 درجة=90-40=50°.
- المثال السادس: إذا كان قياس الزاوية أ (س 25)، والزاوية ب (3س 15) جد قيمة س إذا كانت الزاويتان أ، ب متكاملتان.
- الحلّ: الزاويتان المتكاملتان هما الزاويتان التي يساوي مجموع قياسهما 180 درجة، وعليه قياس أ ب=180°، ومنه: س 25 3س 15=180، وبترتيب المعادلة ينتج أن: 4س 40=180، ومنه س=35.
- المثال السابع: إذا كان الفرق في القياس بين زاويتني متتامتين 52°، جد قياس كل منهما.
- الحلّ:
- الزاويتان المتتامتان هما الزاويتان التي يساوي مجموع قياسهما 90 درجة، وبافتراض أن قياس الزاوية الأولى =س، فإن قياس الزاوية الثانية= س-52، وعليه فإن قياس الزاوية الأولى قياس الزاوية الثانية=90، ومنه س س-52=90، س=71°، وهو قياس الزاوية الأولى.
- حساب قياس الزاوية الثانية وهو: س-52=71-52=19°.
- المثال الثامن: جد قياس الزاوية المكمّلة للزاوية 58°، 16°.
- الحلّ: الزاويتان المتكاملتان هما الزاويتان التي يساوي مجموع قياسهما 180 درجة، وعليه قياس الزاوية المكمّلة للزاوية 58°=180°-58°=122°، وقياس الزاوية المكمّلة للزاوية 16°=180°-16°=164°.
- المثال التاسع: إذا كان حاصل ضرب العدد أربعة بنتيجة جمع قياس زاوية ما مع العدد 5 يساوي 32، جد نوع هذه الزاوية.
- الحلّ: لحل السؤال نفترض أن قياس الزاوية هو (س)، وعليه 4(س 5)=32، ومنه: س 5=8، وبحل المعادلة ينتج أن: س= 3°، وهي زاوية حادة؛ لأن قياسها أكبر من 0° وأصغر من 90°.
- المثال العاشر: إذا كان ناتج مجموع خمسة أضعاف الزاوية مع العدد 2 يساوي 1222، جد نوع هذه الزاوية.
- الحلّ: لحل السؤال نفترض أن قياس الزاوية هو (س)، وعليه 5س 2=1222°، ومنه: س=244°، وهي زاوية منعكسة؛ لأن قياسها أكبر من 180° وأصغر من 360°.
- المثال الحادي عشر: إذا كان ناتج سبعة أضعاف نتيجة طرح العدد خمسة من ثلاثة أضعاف الزاوية يساوي 3745، جد نوع هذه الزاوية.
- الحلّ: لحل السؤال نفترض أن قياس الزاوية هو (س)، وعليه 7(3س-5)=3745°، ومنه: س=180°، وهي زاوية مستقيمة.
- المثال الثاني عشر: ما هي العلاقة التي تربط بين الزاويتين (ي د ف)، (ج د ي).
- الحلّ: بعد تمثيل السؤال يتضح أن الزوايتان متجوارتين؛ لأنهما تشتركان معاً في الرأس (د)، والضلع (د ي).
- المثال الثالث عشر: ما هو نوع الزاوية المتشكّلة بين عقارب الساعة في الحالتين الآتيتين: الساعة 2:20، الساعة: 9:00.
- الحلّ: بعد تمثيل السؤال يتضح أن:
- الزاوية المتشكّلة بين العقارب عند الساعة 2:20، هي زاوية حادة؛ لأن قياسها أكبر من 0° وأصغر من 90°
- الزاوية المتشكلة بين العقارب عند الساعة 9:00، هي زاوية قائمة؛ لأن قياسها يساوي 90° تماماً.
- المثال الرابع عشر: إذا كانت الزاوية أب ج حادة، فما هو القياس المحتمل لها من القياسات الآتية: 23°، 90°، 91°، 123°.
- الحلّ: القياس الوحيد المحتمل لها من بين الخيارات السابقة هو: 23°؛ لأن الزاوية الحادة هي التي يتراوح قياسها بين 0° و90°، وهي الزاوية الوحيدة التي تُحقق هذه الشروط.
خطوات رسم الزوايا
هناك مجموعة من الخطوات التي يجب اتّباعها لرسم زاوية ذات قياس معيّن باستخدام المنقلة والمسطرة، فمثلاً لو طُلِب رسم زاوية قياسها 50°، يتمّ اتباع الخطوات الآتية:
- تُرسَم قطعة مستقيمة بالمسطرة، وتُسمّى القطعة (أب).
- تُوضَع المنقلة على القطعة المستقيمة (أب)؛ بحيث ينطبق مركزها على النقطة ب التي تمثّل رأس الزاوية، مع وضع تدريج المنقلة الذي يبدأ من درجة 0° على الضلع (أ ب)، ثمّ يُعيَّن مكان الـ 50° على المنقلة بدقة متناهية.
- تُعين الـ 50° بوضع نقطة أو علامة بالقلم، وتُسمّى النقطة ج.
- يُرسَم خط مستقيم يصل بين النقطتين ج، ب.
بعد هذه الخطوات يتم الحصول على الزّاوية الحادة أ ب ج، التي يساوي قياسها 50°.
تتشكّل الزاوية عند انطلاق شعاعين من نقطة بداية واحدة، وتنقسم تصنيفات الزوايا إلى عدة أنواع؛ فمن حيث قياس الزوايا تُقسم إلى: الحادة، والمنفرجة، والقائمة، والمستقيمة، والمنعكسة، والكاملة، أمّا من حيث اتجاه الدوران فتُقسم إلى الزاوية الموجبة والزاوية السالبة، فضلًا عن ذلك يوجد نوع من الزوايا التي ترتبط مع بعضها البعض بعلاقات، وهي: الزاوية المتجاورة، والمتتامة، والمتكاملة، والمتقابلة بالرأس، والمتطابقة.
