قانون مساحة متوازي المستطيلات
يُمكن تعريف متوازي المستطيلات (بالإنجليزية: Cuboid) بأنّه مجسّم ثلاثي الأبعاد له 6 وجوه مستطيلة الشكل، وكل زواياه قائمة، كما أنّ كلّ وجهين متقابلين فيه متساويان، ويُسمّى متوازي المستطيلات بالمنشور قائم الزاوية، كما أنه يُشبه المكعب، إلا أنّ أوجهه مستطيلة؛ مما يجعل أطوال أضلاعه مختلفة في القياس، بينما للمكعب ستة أوجه مربعة ذات أضلاع متساوية.
يُمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع السطحية عن طريق حساب مساحة مستطيل كل وجه من أوجهه الستة ثم جمعها، ويُمكن التعبير عن ذلك رياضياً بالعلاقة الآتية:
المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات= (2×الطول×العرض) (2×الطول×الارتفاع) (2×العرض×الارتفاع)، وبالرموز: المساحة السطحيّة لمتوازي المستطيلات = 2×أ×ب 2×أ×ج 2×ب×ج؛ حيث:
أ: طول متوازي المستطيلات. ب: عرض متوازي المستطيلات. ج: ارتفاع متوازي المستطيلات. يُمكن توضيح طريقة اشتقاق قانون المساحة السطحيّة عن طريق حساب مساحة كل وجه من وجوهه الستة على حدة ثمّ جمعها معاً، وعند افتراض أنّ أبعاد الوجهين السفلي والعلوي هي: طول متوازي المستطيلات (أ)، عرض متوازي المستطيلات (ب)، وأبعاد الوجهين الأمامي والخلفي هي: طول متوازي المستطيلات (أ)، ارتفاع متوازي المستطيلات (ج)، وأبعاد الوجهين الجانبيين هي: عرض متوازي المستطيلات (ب)، ارتفاع متوازي المستطيلات (ج)، وعليه تكون مساحة الوجوه الستة كما يأتي:
- مساحة الوجهين السفلي والعلوي هي: (أ×ب) (أ×ب) = 2×أ×ب = 2×طول متوازي المستطيلات×عرض متوازي المستطيلات.
- مساحة الوجهين الأمامي والخلفي هي: (أ×ج) (أ×ج) = 2×أ×ج = 2×طول متوازي المستطيلات×ارتفاع متوازي المستطيلات.
- مساحة الوجهين الجانبيين هي: (ب×ج) (ب×ج) = 2×ب×ج = 2×عرض متوازي المستطيلات×ارتفاع متوازي المستطيلات.
- مجموع مساحة وجوه متوازي المستطيلات الستة = 2×أ×ب 2×أ×ج 2×ب×ج، وبأخذ 2 كعامل مشترك ينتج أنّ:
- المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات = 2×[(طول متوازي المستطيلات×عرض متوازي المستطيلات) (طول متوازي المستطيلات×ارتفاع متوازي المستطيلات) (عرض متوازي المستطيلات×ارتفاع متوازي المستطيلات)].
أمّا بالنسبة للمساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات فهي عبارة عن مساحته السطحية ما عدا مساحة الوجهين السفلي والعلوي له، فبالتالي يمكن التعبير عن المساحة الجانبيّة لمتوازي المستطيلات بأنّها: مساحة الوجوه الأربع الجانبية = 2×أ×ج 2×ب×ج، وبأخذ 2×ج كعامل مشترك ينتج أنّ:
المساحة الجانبيّة لمتوازي المستطيلات= 2×ارتفاع متوازي المستطيلات×(طول متوازي المستطيلات عرض متوازي المستطيلات)
المساحة الجانبيّة لمتوازي المستطيلات= 2×ج×(أ ب).
أمثلة على حساب مساحة متوازي المستطيلات
فيما يلي بعض الأمثلة التي توضح آلية حساب مساحة متوازي المستطيلات:
المثال الأول
ما هي المساحة السطحية لمتوازي مستطيلات أبعاده هي: 8 سم، 6 سم، 5 سم؟
الحل:
بتعويض قيمة أطوال الأضلاع 8، 6، 5 في قانون المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات
المساحة السطحية= 2×(أ×ب أ×ج ب×ج)
المساحة السطحية= 2×((8×6) (8×5) (6×5))
المساحة السطحية= 236 سم².
المثال الثاني
ما هي المساحة السطحية لمتوازي مستطيلات أبعاده هي: 6 سم، 5 سم ، 3 سم؟الحل:
بتعويض قيمة أطوال الأضلاع 6، 5، 3 في قانون المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات
المساحة السطحية= 2×(أ×ب أ×ج ب×ج)
المساحة السطحية= 2×((6×5) (6×3) (5×3))
المساحة السطحية= 126 سم².
المثال الثالث
متوازي مستطيلات مساحته السطحية هي: 1,000سم²، وعرضه 10سم، وارتفاعه 10 سم، فما هو طوله؟
الحل:
تعويض قيمة المساحة التي تساوي: 1000سم²، وأطوال الأضلاع التي تساوي: 10سم، 10سم في قانون المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات
المساحة السطحية=2×(أ×ب أ×ج ب×ج)، ينتج أنّ:
1000=2×(10×أ 10×أ (10×10))
ومنه 1000 = 2×(20×أ 100)
وبقسمة الطرفين على 2 وطرح 100 منهما ينتج أنّ:
20×أ = 400 ثمّ بقسمة الطرفين على 20 ينتج أنّ: طول متوازي المستطيلات (أ) = 20 سم.
المثال الرابع
ما هي المساحة الجانبيّة لمتوازي مستطيلات أبعاده هي: 5 سم، 3 سم، 4 سم؟
الحل:
تعويض قيمة أطوال الأضلاع: 5، 3، 4 في قانون المساحة الجانبيّة لمتوازي المستطيلات
المساحة الجانبيّة= 2×ج×(أ ب)
المساحة الجانبيّة= 2×4×(5 3)
المساحة الجانبيّة= 64 سم².
المثال الخامس
ما هي المساحة الجانبيّة والسطحية لمتوازي مستطيلات أبعاده هي: 4.8 سم، 3.4 سم، 7.2 سم؟
الحل:
بتعويض قيمة أطوال الأضلاع: 4.8، 3.4، 7.2 في قانون المساحة الجانبيّة لمتوازي المستطيلات
المساحة الجانبيّة= 2×ج×(أ ب)، ينتج أنّ:
المساحة الجانبية = (2×7.2)×(4.8 3.4) = 118.08سم².
وعند تعويض قيمة أطوال الأضلاع: 4.8، 3.4، 7.2 في قانون المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات = 2×أ×ب 2×أ×ج 2×ب×ج، ينتج أنّ:
المساحة السطحية = 2×(4.8×3.4 4.8×7.2 3.4×7.2) = 150.72 سم².
المثال السادس
خزّان مياه على شكل متوازي مستطيلات أبعاده هي: 30م، 20م، 15م، وسمك جدرانه الداخليّة هي متر واحد، فما هي المساحة السطحية للخزان من الداخل؟
الحل:
بما أن سمك جدران الخزّان متر واحد فإن أبعاد الخزان الداخليّة ستقل بمقدار 2م عن أبعاده الخارجية، وبالتالي تُصبح أبعاد الخزان الداخليّة هي: 28م، 18م، 13م.
بتعويض قيمة أطوال الأضلاع: 28، 18، 13 في قانون المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات، ينتج أنّ:
المساحة السطحية للخزان من الداخل = 2×(أ×ب أ×ج ب×ج)
المساحة الجانبيّة= 2×((28×18) (28×13) (18×13))
المساحة الجانبيّة= 2204م².
المثال السابع
قاعة على شكل متوازي مستطيلات أبعادها هي: 10م، 9م، 8م، ما هي تكلفة طلاء الجدران مع السقف إذا كانت تكلفة طلاء المتر المربع 8.50 دولار؟
الحل:
مساحة المنطقة المطلوب طلاؤها = مساحة القاعة الجانبيّة مساحة السقف
مساحة المنطقة المطلوب طلاؤها= 2×ج×(أ ب) أ×ب
مساحة المنطقة المطلوب طلاؤها= (2×8)×(10 9) (10×9)
مساحة المنطقة المطلوب طلاؤها= 16×19 90
مساحة المنطقة المطلوب طلاؤها= 394 م².
تكلفة الطلاء = مساحة المنطقة المطلوب طلاؤها×تكلفة المتر المربع الواحد
تكلفة الطلاء= 394×8.50
تكلفة الطلاء= 3349 دولار.
المثال الثامن
ثلاثة مكعبات متطابقة طول ضلع كلّ منها 4سم تم وضعها جنباً إلى جنب لتُشكّل متوازي مستطيلات، ما هي المساحة السطحيّة والجانبية لمتوازي المستطيلات الناتج؟
أبعاد متوازي المستطيلات الناتج هي: طوله (أ) = 4 سم، عرضه (ب)= 3×4 = 12 سم، ارتفاعه (ج) = 4 سم، وعند تعويض قيمة أطوال الأضلاع: 4، 12، 4 في قانون المساحة السطحية لمتوازي المستطيلات
المساحة السطحية= 2×(أ×ب أ×ج ب×ج)
المساحة السطحية= 2×((4×12) (4×4) (12×4))
المساحة السطحية= 224 سم².
وبعد تعويض قيمة أطوال الأضلاع: 4، 12، 4 في قانون المساحة الجانبيّة لمتوازي المستطيلات، يصبح الحل كالآتي:
المساحة الجانبيّة= 2×ج×(أ ب)
المساحة الجانبيّة= (2×4)×(4 12)
المساحة الجانبيّة= 128 سم².
فيديو عن حجم ومساحة متوازي المستطيلات
للتعرف على هذا المجسم الهندسي تابع الفيديو.
