قانون مساحة الهرم
يمكن تعريف المساحة الجانبية للهرم (بالإنجليزية: Lateral Surface Area) بأنها مجموع المساحات للأوجه المثلثة الجانبية، أو كامل الأوجه باستثناء مساحة القاعدة، أما المساحة الكلية (بالإنجليزية: Total Surface Area) فتتمثّل بمجموع المساحة الجانبية، ومساحة القاعدة، ويمكن إيجاد المساحة الجانبية، والكلية باستخدام الصيغ الآتية:
- المساحة الجانبية = 1/2 × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي.
- المساحة الكلية = المساحة الجانبية مساحة القاعدة.
يمكن حساب مساحة الهرم الكلية حسب شكل قاعدته وفق القوانين الآتية:
مساحة الهرم الثلاثي
إذا كان الهرم ثلاثياً؛ أي قاعدته مثلثة الشكل فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:
مساحة الهرم الثلاثي = 1/2×(أ×ب) 3/2×(ب×ع)، حيث:
- أ: هو ارتفاع القاعدة المثلثة
- ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة المثلثة.
- ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.
مساحة الهرم الرباعي
إذا كان الهرم رباعياً؛ أي قاعدته مربعة الشكل فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:
مساحة الهرم الرباعي = ب² 2×(ب×ع)، حيث:
- ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة.
- ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.
مساحة الهرم الخماسي
إذا كان الهرم خماسياً؛ أي قاعدته خماسية الشكل، فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:
مساحة الهرم الخماسي = 5/2×(أ×ب) 5/2×(ب×ع)، حيث:
- أ: هو المسافة العمودية من مركز القاعدة خماسية الشكل إلى أحد أضلاع القاعدة.
- ب: أحد أضلاع القاعدة الخماسية.
- ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.
مساحة الهرم السداسي
إذا كان الهرم سداسي الشكل؛ أي قاعدته سداسية، فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:
مساحة الهرم السداسي= 3×(أ×ب) 3×(ب×ع)، حيث:
- أ: هو المسافة العمودية من مركز القاعدة السداسية إلى أحد أضلاع القاعدة.
- ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة السداسية.
- ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.
أمثلة متنوعة حول حساب مساحة الهرم
فيما يأتي أمثلة متنوعة حول حساب مساحة الهرم:
أمثلة على مساحة الهرم الثلاثي
- احسب مساحة الهرم الثلاثي الذي طول أحد أضلاع قاعدته المثلثية 5 سم، وارتفاعه الجانبي 6 سم، وارتفاع قاعدة الهرم 3 سم؟
الحل:
- التعويض في قانون مساحة الهرم الثلاثي:
- مساحة الهرم الثلاثي = 1/2×(أ×ب) 3/2×(ب×ع)
- مساحة الهرم الثلاثي = 1/2×(3 × 5) 3/2×(5 × 6)
- مساحة الهرم الثلاثي = 52.5 سم²
- هرم ثلاثي متساوي الأضلاع طول ضلع قاعدته 7 سم، وارتفاعه الجانبي 9 سم، فما هي مساحة سطحه الجانبية؟
الحل:
- التعويض في قانون المساحة الجانبية للهرم الثلاثي:
- المساحة الجانبية = 1/2 × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي.
- يجد محيط القاعدة وبما أنّ القاعدة عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع فإنّ محيط القاعدة كالآتي:
- حساب محيط المثلث = 3 × طول الضلع
- محيط قاعدة المثلث= 3 × 7 = 21 سم.
- التعويض في القانون المساحة:
- المساحة الجانبية= 1/2 × 21 × 9
- المساحة الجانبية= 94.5 سم².
أمثلة على مساحة الهرم الرباعي
- ما هي مساحة الهرم الرباعي الذي ارتفاعه الجانبي 5 سم، وطول أحد أضلاع قاعدته 8 سم؟
الحل:
- التعويض في قانون مساحة الهرم الرباعي:
- مساحة الهرم الرباعي = 8² 2×(8×5)
- إذا علمتَ أنّ المساحة الجانبية للهرم الرباعي تساوي 100 سم²، وطول ضلع قاعدته 8 سم، فما هي مساحة الهرم الرباعي؟
الحل:
- المساحة الكلية للهرم الرباعي= المساحة الجانبية مساحة القاعدة
- يجب إيجاد مساحة القاعدة عبر حساب مساحة المربع ، إذ مساحة القاعدة = طول الضلع²
- مساحة القاعدة= 8² = 64 سم²
- التعويض في القانون:
أمثلة على مساحة الهرم الخماسي
- احسب مساحة الهرم الخماسي الذي ارتفاعه الجانبي 11 سم، وطول ضلع قاعدته 6 سم، والمسافة العمودية بين مركز قاعدته وأحد أضلاعه 4 سم.
الحل:
- إذا علمتَ أنّ مساحة الهرم الخماسي تساوي 200 سم²، ومحيط قاعدته يساوي 30 سم، وارتفاعه الجانبي 10 سم، فما هي مساحة قاعدته؟
الحل:
- لإيجاد مساحة القاعدة يجب إيجاد المساحة الجانبية للتعويض في القانون الآتي:
- المساحة الكلية = المساحة الجانبية مساحة القاعدة.
أمثلة على حساب مساحة الهرم السداسي
- احسب مساحة الهرم السداسي الذي ارتفاعه الجانبي 13 سم، وطول ضلع قاعدته 8 سم، والمسافة العمودية بين مركز قاعدته وأحد أضلاعه 6 سم.
الحل:
- التعويض في القانون:
- مساحة الهرم السداسي= 3×(أ×ب) 3×(ب×ع)
- مساحة الهرم السداسي= 3×(6×8) 3×(8×13)
- مساحة الهرم السداسي= 3×(6×8) 3×(8×13)
- مساحة الهرم السداسي= 456 سم²
- ما هي المساحة الجانبية لهرم سداسي تبلغ مساحته الكلية 360 سم²، ومساحة قاعدته 65 سم²؟
الحل:
- التعويض في القانون:
- المساحة الكلية = المساحة الجانبية مساحة القاعدة.
- 360 = المساحة الجانبية 65
- المساحة الجانبية = 295 سم²
