تعريف الوسط الحسابي
يُعَد الوسط الحِسابي أو المُتوسِط الحِسابي (بالإنجليزية: Arithmetic Mean) أو كما يُعرف أحيانًا (Average) أحد المفاهيم الإحصائِية وهو المقياس الأكثَر استخدامًا مِن مقاييس النَزعة المَركزية الثلاثَة: الوَسط، الوَسيط والمِنوال، يُستَخدم الوسط الحسابي مَع مُختَلف أنواع البيانات ويساوِي مَجموع كافَة القيِم في مَجموعة ما مِن البيانات مَقسومًا عَلى عَددها الكُلي، ويُرمَز لَه بالرَمز إكس بار (x̄) بالإنجليزية أو سين بار (س) وإشارة (-) فوقها أيضًا بالعربية ، وله نَوعين هُما: الوَسط الحِسابي البَسيط والوَسط الحِسابي المُرجّح .
يُعد الوَسط الحِسابي أحد مَقاييس النَزعة المَركزية في الإحصاء، ويُمثل مَجموع القيِم في عَينة ما مَقسومًا على عَددها ويُطلَق عليهِ عادَة اسِم المُتوسِط الحِسابي نَظرًا لكونِه يَصف مُتوسِط مَجموعة مِن البيانات.
قانون حساب الوسط الحسابي
يُمكِن شَرح المُتوسط الحِسابي بالقوانين المُستخدمة لحِسابه لكُل مِن البيانات غَير المجمعة والَبيانات المُجمّعة، حيث تُعرف البيانات غَير المجمعة بالبيانات الأولية التي لَم تتم مُعالجتها إحصائِيًا، أمّا الَبيانات المُجمّعة فهِي البيانات المُرتّبة في جَداوِل تكراريّة، كَما هُو مُوضح فيما يأتي:
قانون البيانات غير المجمّعة
قانون الوَسط الحِسابي = مَجموع القِيم/عددها
ويُعبر عنه رياضِيًا بـ:
(س1 س2 ........ س ن)/ ن
حَيثُ أنّ:
- س1، س2 : تُمثل رموز القِيم.
- ن: العَدد الكُلي للقيِم.
قانون البيانات المجمّعة
قانون الوسط الحسابي = مَجموع حاصِل ضَرب كُل قيمة في عدد تكرارها/مَجموع التكرارات
ويُعبَر عَنه رياضيًا بـ:
س ن× ف ن Σ / ف Σ
حَيثُ أنّ:
- س ن: تُمثل رَمز القِيمة، ن= 1،2،3،4،.....
- ف ن: تُمثل عدد تكرار القيِمة.
- ف: عَدد التكرارات.
يُحسَب الوَسط الحِسابي لمُختلف أنواع البيانات مِنها البيانات غير المُجمّعة عَن طريق استخدام قانون الوسط الحسابي =(س1 س2 ........ س ن)/ ن ، ويُحسَب للبيانات المُجمَعة مِن خلال القانون: الوَسط الحِسابي= س ن×ف ن Σ / ف Σ.
استخدامات الوسط الحسابي
فيما يأتي تَوضيح لأبرَز استخدامات الوَسط الحِسابي والذي يُعد جزءاً من أهمية الرياضيات في حياتنا :
- مِقياسًا للمُلاحظات بِحيث يتم مِن خلاله تمثيِل القيمة النَموذجية: عَلى سَبيل المِثال يُمكِن مُقارَنة ساعات التَدريب السَنوية لِمجموعة صَغيرة مِن الموظفين بمَجموعة أكبر مِنها وأكثر شمولًا، عَن طَريق حِساب مُتوسِط ساعات التدريب للمجموعة الأكبَر ثم مقارنته بساعات التدَريب للمجموعَة الأصغر لإصدار الحُكم المُناسِب عَلى أدائِهم.
- لإجراء العديد مِن العَمليات الحِسابية: فإذا كانت إحدى الشَركات تَرغب بزيادة أجر قدره 5% لكُل مُوظَف، يَتعين عَليها حِساب مُتوسِط أجور موظّفي الشَركة وعدد المُوظفين وعليهِ تكون زيادة 5% لِكُل مَوظف تُساوي 5% مِن المُتوسِط مَضروبًا بعدد الموُظفين.
مزايا وعيوب الوسط الحسابي
للمُتوسِط الحِسابي العَديد مِن المزايا والعُيوب ولعلَ أهمها ما يأتي:
مزايا الوسط الحسابي
من مزايا الوسط الحسابي:
- مُحدد بصِيغة جبريّة واضِحة.
- سُهولة فهمه وحسابه.
- اعتماده على جميع قيم عَينة البيانات وتأثره بِكل قيمة.
- استخدامه في التَحليل الإحصائي بكثرة.
عيوب الوسط الحسابي
من عيوب الوسط الحسابي:
- عَلى الرُغم مِن أنه يُحسَب لمعظم أنواع البيانات إلّا أنه لا يُمكِن حسابه للبيانات الاسمية والنَوعِية؛ مِثل البيانات المُتعلقة بالذكاء أو عادات التدخين وغيرها.
- لا يُمكِن حِسابه في حال كان أحد البيانات غير مَعروف.
- يتأثر بالقِيم المُتطرفة كالقيم التي تتواجد في مجموعة بيانات وتختلف اختلافًا كبيرًا عن بقية القيم في المجموعة.
يُستخدم الوَسط الحِسابي في العَديد مِن المجالات ليُعين أصحاب الأعمال والشَركات في العديد مِن العمليات الحسابية الهامَة، ويَمتاز بكونِه أحد مقاييس النَزعة المَركزية الأكثر سُهولة في فهمه وتَطبيقه، إضافة لامتلاكهِ صِيغة رياضية مُحددة، إلّا أنّ له عيوباً متعددة كتأثّره بالقيِم المُتطرفة في مجموعة البيانات.
أمثلة على حساب الوسط الحسابي
المثال الأول
ما قِيمة الوَسط الحِسابي للقيم الآتية: (8، 11، 3، 6، 22)؟
الحل:
- إيجاد مَجموع القِيم كالآتي: 8 11 3 6 22 = 50.
- عَد القيِم ويتبين مِن المِثال أنّ عددها يساوِي 5.
- التَطبيق عَلى القانون:
- الوَسط الحِسابي= مجموع القيم/عددها
- الوَسط الحِسابي = 5/50 ويساوِي 10.
المثال الثاني
في صَفٍ ما، إذا كان مُتوسِط علامات عَشرة مِن الطَلبة يُساوِي 70 ومُتوسِط علامات خَمسة عَشر طالِبًا يُساوِي 80 فما مُتوسِط علامات الصَف بأكمله؟
الحَل:
- عَدد طَلبة الصَف الكُلي: 10 15 = 25 طالِب.
- مَجموع علامات العَشر طُلاب = الوَسط الحِسابي لتحصيلِهم × عَدد الطَلاب = 70×10 = 700.
- مَجموع علامات خَمسة عشر طالبًا = الوسط الحِسابي لتحصيلهم × عدد الطلاب = 80×15 = 1200.
- التَطبيق عَلى القانون:
- الوَسط الحِسابي للصَف بأكمله = مَجموع علامات الطَلبة / عدد الصَف الكُلي
- الوَسط الحِسابي للصَف بأكمله = (700 1200)/25 = 25/1900 = 76.
المثال الثالث
يُمثل الجَدول الآتي التَوزيع التكراري لطَلبة إحدى المَدارس:
| العُمر | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| عَدد الطَلبة | 2 | 5 | 13 | 7 | 3 |
فما قِيمة الوَسط الحِسابي لأعمار الطَلبة؟
الحَل:
- إن البيانات المُعطاة في المِثال بيانات مُجَمعة؛ يُمثل عدد الطلاب عَدد التكرارات (ف) أمّا العُمر فيُمثل القيم (س) المَطلوب حِساب المُتوسِط لَها.
- تَرتيب البيانات في جَدول لتسهيل إجراء الحسابات عَلى النَحو الآتي:
| العُمر(س) | عَدد الطُلاب (ف) | س × ف |
| 13 | 2 | 26 |
| 14 | 5 | 70 |
| 15 | 13 | 195 |
| 16 | 7 | 112 |
| 17 | 3 | 51 |
| المَجموع | 30= ف Σ | 454= س× ف Σ |
- التَطبيق على القانون:
- الوَسط الحِسابي= س ن× ف ن Σ / فΣ
- الوَسط الحِسابي= 30/454 = 15.13 عام.
المثال الرابع
إذا كانَ مُتوسِط ارتفاع صَف ما يُساوِي 65 سم، وكانَ إجمالي الارتفاع الكُلي للصَف يُساوِي 1300 سم، فما عَدد الطَلاب داخِل الصَف؟
الحَل:
- إجمالي الارتفاع يُمثل مَجموع القيم، وقيمة الوَسط الحِسابي تساوي 65.
- الوَسط الحِسابي = مَجموع القيِم / عددها
- وعليهِ فإن:
- عَدد الطلاب = مَجموع القيِم / الوَسط الحِسابي
- عَدد الطلاب = 1300 / 65 = 20.
المثال الخامس
حصل أحد الطَلبة عَلى علامات أول ثلاث اختبارات في مادة العُلوم وكانَت على النحو الآتي: 84,89,98 فما مُتوسِط العلامات؟
الحل:
- عدد الاختبارات = 3.
- مَجموع القيم = (84 89 98) = 271.
- بالتطبيق على القانون
- الوَسط الحِسابي = مجموع القيم/ عددها
- الوَسط الحِسابي = 271/ 3= 90.3%
