ما هو العدد العشري

تعريف العدد العشري

يُعرف النظام العشري بأنه نظام يعتمد على الرقم 10، ويُتيح التعبير عن جميع الأعداد بغض النظر عن قيمتها عن طريق استخدام الفاصلة العشرية التي يمكن من خلالها التعبير عن الأجزاء العشرية، حيث يُعرف العدد العشري (بالإنجليزية: Decimal Number) في علم الجبر بأنه العدد الذي يحتوي على فاصلة عشرية تفصل بين أعداده الصحيحة، وأجزائه العشرية، وعليه يمكن القول إن العدد العشري يتكوّن من ثلاثة أجزاء رئيسية، وهي:

• العدد الصحيح: هو العدد الذي يقع على يسار الفاصلة العشرية ويكون مساوياً أو أكبر من العدد (1)، ويتكون من أعداد لها منازل عشرية مختلفة من عشرات، أو مئات، أو ألوف.
• الأجزاء العشرية: وهو الجزء الذي يقع على يمين الفاصلة العشرية، وتكون قيمتها أصغر من العدد (1)، وتعبّر عن أجزاء من العشرة، أو المئة، أو الألف، أو غيره، ويمكن التعبير عنها بدلالة الكسور؛ فمثلاً إذا كان العدد العشري يساوي 0.7 فإنه يمكن التعبير عنه بدلالة الكسور على شكل 7/10، وإذا كان يساوي 0.07 فإنه يمكن التعبير عنه بدلالة الكسور على شكل 7/100.
• الفاصلة العشرية: وهي التي تفصل بين العدد الصحيح، والجزء العشري، ويُرمز لها بالرمز (.).

تجدر الإشارة إلى أنه إذا كان العدد الواقع على يسار الفاصلة العشرية أقل من واحد فإنه يتم وضع العدد 0 على يسار الفاصلة مكانه؛ فمثلاً يُكتب العدد 526 من ألف على شكل 0.526 وليس على شكل 526.

منازل العدد العشري

عند الحركة من اليمين لليسار في العدد العشري فإن قيمة العدد تزداد بمقدار عشرة أضعاف، وبالحركة من اليسار لليمين فإن قيمته تقل بمقدار عشرة أضعاف، والمثال الآتي يوضّح ذلك:

• العدد 17.591 يتكون من جزأين، وهما:
  • العدد الصحيح: وهو في هذا المثال يساوي 17، فيه العدد 7 يقع في منزلة الآحاد، و(1) يقع في منزلة العشرات، وبالحركة نحو اليسار تزداد قيمة كل عدد من أعداده بمقدار 10 أضعاف، أي أننا ننتقل من خانة الآحاد إلى خانة العشرات وهكذا، وبالانتقال نحو اليمين تقل قيمة كل عدد بمقدار 10 أضعاف؛ أي أننا نعود من العشرات نحو الآحاد، وهكذا.
  • الجزء العشري: وهو في في هذا المثال 0.591 وبالحركة نحو اليمين تقل قيمة كل عدد من أعداده بمقدار 10 أضعاف؛ أي أن قيمة العدد (5) المنزلية هي جزء من العشرات 5/10، أما قيمة العدد (9) المنزلية فهي جزء من المئات 9/100، وقيمة العدد (1) المنزلية هي جزء من الآلاف 1/1000.

• مثال: العدد العشري 211.35 يتكون من العدد الصحيح (211)، والجزء العشري (0.35)، ويمكن تمثيل هذا العدد باستخدام لوحة المنازل كما يلي:

• مثال: العدد العشري 57.031 يتكون من العدد الصحيح (57)، والجزء العشري (0.031)، ويمكن تمثيل هذا العدد باستخدام لوحة المنازل كما يلي:

أنواع الأعداد العشرية

هناك عدة أنواع للأعداد العشرية، وهي:

• الأعداد العشرية المنتهية: وهي التي تحتوي على عدد محدد من الأعداد يمين الفاصلة العشرية؛ أي أن المنازل العشرية التي تقع يمين الفاصلة العشرية يمكن عدُّها، ويمكن كتابة هذه الأعداد على صورة عدد نسبي، أي على صورة أ/ب، ومن الأمثلة على الأعداد العشرية المنتهية ما يلي:
  • 89.9856: يُلاحظ أن عدد المنازل يمين الفاصلة العشرية هو 4 منازل، وبالتالي فهو مثال على الأعداد العشرية المنتهية، والتي يمكن عدُ منازلها العشرية.
  • 3.87543: يُلاحظ أن عدد المنازل يمين الفاصلة العشرية هو 5 منازل، وبالتالي فهو مثال على الأعداد العشرية المنتهية أيضاً.

• الأعداد العشرية غير المنتهية: وهي التي تحتوي على عدد لا نهائي من الأعداد يمين الفاصلة العشرية، وبالتالي لا يمكن إيجاد عدد المنازل العشرية يمينها، وهناك نوعان من الأعداد العشرية غير المنتهية، وهما:
  • الأعداد العشرية الدورية: وهي التي تتكرر الأعداد فيها يمين الفاصلة العشرية بانتظام ونسق معيّن؛ ومن الأمثلة عليها:
    • ......120.353535: يلاحظ أن الأعداد يمين الفاصلة العشرية تتكرر بانتظام، ويمكن كتابتها بطريقة أخرى 120.35 بوضع خط أفقي فوق الأجزاء العشرية المتكررة وهي 35.
    • .......2.22222: يُلاحظ أيضاً أن الأعداد يمين الفاصلة العشرية تتكرر بانتظام، ويمكن كتابتها بطريقة أخرى هي: 120.2 بوضع خط أفقي فوق الأجزاء العشرية المتكررة وهي 2.

ملاحظة: يمكن كتابة الأعداد العشرية الدورية على صورة عدد نسبي، أي على صورة أ/ب؛ فمثلاً العدد 2/3 يساوي .....0.66666، والعدد 8/9 يساوي ....0.88888.

• • الأعداد العشرية غير الدورية: هي الأعداد التي تحتوي على أعداد غير منتهية يمين الفاصلة العشرية، ولا تتكرر بانتظام، ومن الأمثلة عليها:
    • ....1.3687493043: يلاحظ أن الأعداد يمين الفاصلة العشرية لا يمكن عدّها ولا تتكرر بانتظام.
    • ....456.789321633894: يُلاحظ أن الأعداد يمين الفاصلة العشرية لا يمكن عدّها ولا تتكرر بانتظام.

لمزيد من المعلومات حول العدد النسبي يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو العدد النسبي .

تدوير الأعداد العشرية

في كثير من الأحيان نحتاج إلى التعبير عن الأعداد العشرية بصورة تقريبية عن طريق كتابة عدد محدد فقط من المنازل يمين الفاصلة العشرية، وذلك ينطبق حتى على الأعداد العشرية غير المنتهية، وتُسمّى هذه العملية بعملية تدوير الأعداد العشرية التي يمكن القيام بها باتباع الخطوات الآتية:

• أولاً: تحديد المنزلة العشرية المُراد تقريب العدد العشري إليها.
• ثانياً: النظر إلى العدد الذي بجانبها من جهة اليمين، واتباع ما يلي:
  • إذا كان العدد الذي بجانبها أقل من 5 تبقى المنزلة العشرية المراد التقريب لها كما هي.
  • إذا كان العدد الذي بجانبها أكبر من أو يساوي 5 فيجب زيادة المنزلة العشرية المُراد التقريب إليها بمقدار 1.

• مثال: قرِّب العدد 567.81456 إلى أقرب جزء من ألف أو لأقرب ثلاث منازل عشرية؟
• الحل: العدد 4 يقع في منزلة الجزء من ألف، والعدد الذي بجانبه هو 5، وبالتالي يجب زيادة العدد 4 بمقدار واحد ليصبح 5، وبالتالي فإن تقريب العدد 567.81456 لأقرب جزء من ألف هو: 567.815.

تحويل العدد العشري إلى كسر وبالعكس

• التحويل من عدد عشري منتهي إلى كسر عادي: للتحويل من عدد عشري إلى كسر عادي يتم اتباع الخطوات الآتية:
  • كتابة العدد العشري على صورة كسر على شكل: العدد العشري/1.
  • ضرب البسط، والمقام في العدد 10 أو مضاعفاته، وذلك حسب عدد المنازل يمين الفاصلة العشرية؛ فمثلاً في حال وجود منزلة يمين واحدة يمين الفاصلة فيجب ضرب كل من البسط، والمقام في العدد 10، وفي حال وجود منزلتين يمين الفاصلة فيجب ضرب كل من البسط، والمقام في العدد 100، وفي حال وجود ثلاث منازل فيجب ضرب كل من البسط، والمقام في العدد 1000، وهكذا.
  • تبسيط الكسر إلى أبسط صورة ممكنة.
    • مثال: حوّل العدد العشري الآتي 0.75 إلى كسر عادي؟
      • كتابة العدد العشري على صورة: العدد العشري/1، ليصبح: 0.75/1.
      • هناك منزلتان يمين الفاصلة العشرية، وبالتالي يجب ضرب كل من البسط، والمقام بالعدد 100 كما يلي: 0.75/1 × 100/100 = 75/100.
      • تبسيط الكسر لأبسط صورة ممكنة، وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على 5 مرتين، كما يلي: 75/100= 15/20= 3/4، وهذه أبسط صورة.

• التحويل من عدد عشري غير منتهي ودوري إلى كسر عادي: هناك عدة طرق للتحويل من العدد العشري غير المنتهي والدوري إلى كسر عادي، وذلك تبعاً لاختلاف نوع العدد العشري الدوري كما يلي:
  • إذا كان العدد العشري على صورة: .....أ ب ج د أب ج د.0 : فيتم تحويله إلى كسر باستخدام العلاقة الآتية: الكسر= (الجزء الدوري من الكسر العشري (أب ج د)/ العدد 9 مكرّراً بعدد منازل التكرار)، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
    • حوّل الكسر العشري 0.7 إلى كسر عادي.
      • بتطبيق القانون السابق فإن الجزء الدوري هو 7.
      • تكرار العدد 9 بعدد منازل التكرار هو (9)؛ لأن العدد المتكرر مكوّن من منزلة واحدة فقط.
      • وبالتالي يصبح الكسر 7/9.
    • حوّل الكسر العشري 0.125125125 إلى كسر عادي.
      • بتطبيق القانون السابق فإن الجزء الدوري هو 125.
      • تكرار العدد 9 بعدد منازل التكرار هو 999؛ لأن العدد المتكرر مكوّن من ثلاث منازل.
      • وبالتالي يصبح الكسر 125/999.
  • إذا كان العدد العشري على صورة ..... جـ د جـ د جـ د أ ب.0، والجزء جـ د فقط دوري: فإنه يمكن تحويله إلى كسر باستخدام العلاقة الآتية: [جميع الأعداد المكونة للجزء العشري من الكسر العشري - الجزء غير المتكرر (غير الدوري) من العدد العشري (أب)]/ تكرار العدد 9 بعدد منازل العدد المتكرر مضافاً إلى يمينه عدد من الأصفار بعدد منازل الجزء غير المتكرر، والمثال الآتي يوضح ذلك:
    • حوّل العدد العشري الآتي: 0.123434 إلى كسر عادي حيث الجزء 34 فقط دوري.
      • الجزء الدوري من العدد العشري هو: 34.
      • هناك عددان دوريان وبالتالي فإن العدد 9 يجب تكراره مرتين 99، وعدد الأعداد غير الدورية اثنان، وبالتالي يجب إضافة صفرين لـ 99 لتصبح 9900.
      • وبالتالي فإن تحويل 0.123434 إلى كسر عادي هو: 9900/(1234-12)= 1222/9900.
    • حوّل العدد العشري الآتي: 0.0069 إلى كسر عادي حيث الجزء 69 فقط دوري.
      • الجزء الدوري من العدد العشري هو: 69.
      • هناك عددان دوريان وبالتالي فإن العدد 9 يجب تكراره مرتين 99، وعدد الأعداد غير الدورية اثنان، وبالتالي يجب إضافة صفرين لـ 99 لتصبح 9900.
      • وبالتالي فإن تحويل 0.0069 إلى كسر عادي هو: 9900/(69-0)= 69/9900 = 23/3300.

• التحويل من كسر عادي إلى عدد عشري: يمكن التحويل من كسر عادي إلى عدد عشري باتباع الخطوات الآتية:
• البحث عن عدد يجعل المقام من مضاعفات العدد 10؛ أي 10، 100، 1000، ... وهكذا.
• ضرب البسط، والمقام بهذا العدد.
• تحويل الكسر العادي إلى عشري، وذلك عن طريق كتابة العدد الموجود في البسط، ووضع الفاصلة العشرية عن طريق تحريكها بمقدار منزلة واحدة إلى اليسار لكل صفر من الأصفار في المقام.
  • حوّل الكسر 3/4 إلى عدد عشري؟
    • عند ضرب المقام بالعدد 25 فإنه يصبح من مضاعفات العدد 10؛ حيث يصبح 100.
    • ضرب كل من البسط، والمقام بالعدد 25 ليُصبح الكسر: 75/100.
    • هناك صفران في المقام وبالتالي تحرّك الفاصلة من موقعها إلى اليسار مقدار منزلتين كما يلي: 0.75.

ملاحظة: يُمكن باستخدام الآلة الحاسبة تحويل الكسر إلى عدد عشري وذلك بقسمة البسط على المقام، وإيجاد الناتج.

أمثلة متنوعة حول العدد العشري

• المثال الأول: ما هو العدد الذي يمثّل منزلة العشرات في العدد 89.56؟
  • الحل: العدد 8 يمثل منزلة العشرات.

• المثال الثاني: اكتب كل من الكسور العشرية الآتية بالأرقام:
  • ثلاثمئة وواحد وعشرون، و7 أجزاء من عشرة: 321.7.
  • خمسمائة وثمانية وأربعون جزءاً من ألف: 0.548.
  • خمسمائة، وثمانية وأربعون جزءاً من ألف: 500.048.
  • ثلاثة عشر، وأربعة أجزاء من مئة: 13.04.
  • خمسة وعشرون، وواحد وثمانون جزءاً من مئة: 25.81.

• المثال الثالث: هناك عدة أنواع من الأعداد العشرية، فإلى أي نوع ينتمي كل عدد عشري من الأعداد العشرية الآتية؟
  • ....1.323232: عدد عشري غير منتهي دوري.
  • ....4.5688937: عدد عشري غير منتهي، وغير دوري.
  • ...6.66666: عدد عشري غير منتهي دوري
  • ...7.7898989، حيث العدد 89 هو فقط دوري: كسر عشري غير منتهي، ودوري.
  • ...1.2345: عدد عشري غير منتهي، وغير دوري.

• المثال الرابع: وضّح بالخطوات كيفية كتابة الرقم أربعمئة وواحد وخمسون جزءاً من ألف بالكسور العشرية؟
  • الحل:
  • بما أن العدد لا يحتوي على أعداد أكبر من 1، فيجب كتابة صفر على يسار الفاصلة العشرية.
  • بعد ذلك تتم كتابة العدد 451 على يمين الفاصلة، ليصبح العدد 0.451.

• المثال الخامس: حوّل الكسر 3/16 إلى عدد عشري؟
  • الحل:
  • البحث عن عدد يجعل المقام من مضاعفات العدد 10، وهو في هذا المثال العدد 625.
  • ضرب كل من البسط، والمقام بالعدد 625 ليصبح الكسر: 625×625/16×3= 1875/10000.
  • كتابة العدد الموجود في البسط، ووضع الفاصلة العشرية بعد التحرك أربعة منازل عشرية إلى اليسار كما يلي: لينتج أن: 3/16= 0.1875.

• المثال السادس: حوّل الكسر 1/3 إلى عدد عشري؟
  • الحل:
  • البحث عن عدد يجعل المقام من مضاعفات العدد 10، وفي الحقيقة لا يوجد عدد يمكن ضربه بالعدد 3 ليصبح من مضاعفات العدد 10، وبالتالي فإنه يمكن اختيار عدد تقريبي.
  • بضرب كل من البسط والمقام بالعدد 333 فإن 333×1/3×333= 333/999، ويمكن تقريب العدد 999 إلى 1000.
  • كتابة العدد الموجود في البسط، ووضع الفاصلة العشرية بعد التحرك ثلاث منازل إلى اليسار وذلك كما يلي: لينتج أن 1/3=0.333.

• المثال السابع: حوّل الكسر 11/16 إلى عدد عشري؟
  • الحل: يمكن إيجاد النتيجة باستخدام الآلة الحاسبة؛ فمثلاً بقسمة الرقم 11 على 16 ينتج 0.6875، أو عن طريق اتباع الخطوات الآتية:
    • البحث عن عدد يجعل المقام من مضاعفات العدد 10، وهو في هذا المثال العدد 625.
    • بضرب كل من البسط والمقام بالعدد 625 فإن 11×625/625×16 = 6875/10000.
    • كتابة العدد الموجود في البسط، ووضع الفاصلة العشرية بعد التحرك أربع منازل إلى اليسار، وذلك كما يلي: لينتج أن 11/16=0.6875.

• المثال الثامن: حوّل العدد العشري 2.35 إلى كسر عادي؟
  • الحل:
    • كتابة الجزء العشري من العدد العشري كما يلي: 0.35/1.
  • ضرب كل من البسط، والمقام في العدد 100، بسبب وجود منزلتين يمين الفاصلة العشرية، لينتج أن: 35/100.
  • تبسيط الكسر إلى أبسط صورة ممكنة بالقسمة على 5 لينتج أن: 7/20، وبالتالي يمكن كتابة العدد العشري 2.35 على صورة عدد كسري كما يلي: (7/20) 2، وعلى صورة كسر بتحويل العدد الكسري إلى كسر: 47/20.

• المثال التاسع: حوّل العدد العشري 4.567878 إلى كسر عادي، حيث الجزء 78 دوري؟
  • الحل:
    • الجزء العشري من العدد العشري هذا هو: 0.567878.
    • هناك عددان دوريان وبالتالي فإن العدد 9 يجب تكراره مرتين 99، وعدد الأعداد غير الدورية اثنان، وبالتالي يجب إضافة صفرين لـ 99 لتصبح 9900.
    • وبالتالي فإن تحويل 0.567878 إلى كسر عادي يتم وفق الطريقة المذكورة أعلاه: 9900/(5678-56)= 5622/9900 = 937/1650.
    • وبالتالي يمكن كتابة العدد العشري 4.567878 على صورة عدد كسري كما يلي: (937/1650) 4، وعلى صورة كسر بتحويل العدد الكسري إلى كسر: 7537‬/1650.

لمزيد من المعلومات حول الأعداد العشرية يمكنك قراءة المقال الآتي: طريقة قسمة الأعداد العشرية .