كيفية حلّ جداول الدوال (جداول الجمع والطرح)

طريقة حل جداول الدوال لإيجاد المخرجات

يعرف جدول الدوال (بالإنجليزية: Function table) بأنه جدول عمودي أو أفقي يعتمد على قاعدة معينة تُستخدم في حساب المخرجات، فيكون لكل مدخل نتيجة واحدة خاصة به فقط، كما تسمى هذه العلاقة الرياضية بالدالة، ويمكن إيجاد مخرجات جداول الدوال عند حل جدول الدوال بالاعتماد على مدخلاته وقاعدته باتّباع الخطوات الآتية:

• رسم جدول فارغ بصفّين، وتسمية الصف الأول بالمدخلات والثاني بالمخرجات ويمكن رسم الجدول بصورة عمودية أيضًا، كما يأتي:

أو

• إدخال قيم المدخلات المعطاة في السؤال في الصف الأول من الجدول.
• صياغة العلاقة الرياضية الواردة في نص السؤال بالرموز الرياضية لإيجاد المخرجات، و تستطيع تخمين قاعدة الدوال ذهنيًا فقد تكون العلاقة التي تربط المدخلات بالمخرجات إضافة رقم ما كالواحد مثلًا، فيُعبّر عنها بالرموز كما يأتي: (ص= س 1)، حيث إنّ: (ص) تمثّل المخرجات، و(س) تمثّل المدخلات.
• إذا كانت قواعد الدوال مذكورة صراحةً في الأسئلة فيمكن الاعتماد عليها مباشرةً والاستغناء عن الخطوة السابقة.
• حساب القيمة المقابلة لكل عنصر من عناصر المدخلات من خلال تطبيق العلاقة الرياضية، ووضع القيم الناتجة في صف المخرجات.

أمثلة على حل جداول الدوال لإيجاد المخرجات

وفيما يأتي بعض الأمثلة على حل جداول الدوال لإيجاد المخرجات:

مثال 1: أكمل جدول الدوال الآتي بالاعتماد على قاعدة الدوال ص= س-2.

• الحل:
  • باستخدام قاعدة الدوال الواردة في السؤال يمكن إيجاد المخرجات كما يأتي، إذ إن المدخلات هي قيمة (س)، والمخرجات (ص):
    • 2-7 =5
    • 2-10 =8
    • 2-13 =11
    • 2-16 =14
    • 2-19 =17
    • 2-22 =20
  • تعبئة المخرجات في جدول الدوال كما يأتي:

مثال 2: إذا كان الزيادة المتوقّعة على علامات الطلاب في مبحث الرياضيات هي 2، وكانت علاماتهم كالآتي: 96، 76، 88، 82، 93، 74، 63، 95، 86، فحدد العلامة النهائية لكل طالب بعد الزيادة.

• الحل:
  • رسم جدول الدوال بحيث يحتوي على صفّين، بحيث يكون الصف الأول للعلامات قبل الزيادة (معطى)، والصف الثاني للعلامات بعد الزيادة.

• • إيجاد قاعدة الدوال التي تعبّر عن العلاقة التي تربط العلامات قبل الزيادة بالعلامات بعد الزيادة، إذ نلاحظ من السؤال بأن الزيادة ستكون بمقدار علامتين، وبالتالي فإن العلاقة هي: ص= س 2.
  • حساب المخرجات (العلامات بعد الزيادة) بالاعتماد على قاعدة الدوال السابقة، كما يأتي:
    • 2 96 = 98.
    • 2 76 = 78.
    • 2 88 = 100.
    • 2 82 = 84.
    • 2 93 = 95.
    • 2 74 = 76.
    • 2 63 = 65.
    • 2 95 = 97.
    • 2 86 = 88.
  • تعبئة العلامات بعد الزيادة في الجدول كما يأتي:

مثال 3: في متجر ما، كان الخصم على سعر أي سلعة هو 2 دولار، فكم ستصبح أسعار السلع بعد الخصم؟ يوضح الجدول أدناه الأسعار قبل الخصم:

• الحل:
  • صياغة قاعدة الدوال من خلال نص السؤال، إذ يدل السؤال على أن أي منتج في المتجر سيخصم من سعره بمقدار 2 دولار، وبالتالي نستنتج القاعدة: ص= س-2.
  • تطبيق قاعدة الدوال على مدخلات الجدول كما يلي:
    • 2-5= 3.
    • 2-7= 5.
    • 2-9= 7.
    • 2-11= 9.
    • 2-13= 11.
  • تعبئة نواتج القاعدة السابقة في الجدول في صف (السعر بعد الخصم) كما يأتي:

طريقة حل جداول الدوال لإيجاد قاعدة الدالة

قاعدة الدالة (بالإنجليزية: Function Rule) هي العلاقة الرياضية التي تربط بين القيم المدخلة والقيم الناتجة، ويمكن الاستفادة من قواعد الدوال في العديد من التطبيقات لوصف الأنماط الرياضية التي تُطبّق على قيم ما، كما يمكن استخدام جداول الدوال في تحديد قاعدة الدالة عند معرفة المدخلات والمخرجات من خلال التخمين كما يأتي:

• إعطاء المدخلات الرمز (س) والمخرجات الرمز (ص).
• محاولة إيجاد قاعدة الدوال من خلال دراسة المدخلات والمخرجات لتحديد العملية المطبقة على كل مدخل في كل مرة.
• التعبير عن قاعدة الدوال بصورة رياضية باستخدام الرموز.

أمثلة على حل جداول الدوال لإيجاد قاعدة الدالة

وفيما يأتي بعض الأمثلة على حل جداول الدوال لإيجاد قاعدة الدالة:

مثال 1: أوجد قاعدة الدالة المستخدمة التي تربط بين المدخلات والمخرجات في الجدول الآتي:

• الحل: تحتوي قاعدة الدوال على عملية طرح عندما تكون المخرجات أصغر من المدخلات ، وبما أنّ المدخلات أصغر من المخرجات بمقدار 10 كل مرة فقاعدة الدوال هي: (ص= س - 10)، إذ إن 50-40= 10، و40-30= 10، وهكذا.

مثال 2: إذا كان تصميم مستطيل معيّن معطى بالأبعاد الآتية في الجدول، فأوجد الدالة الرياضية التي تربط بين طول المستطيل وعرضه.

• الحل: إذا كانت المخرجات أكبر من المدخلات إذًا تحتوي قاعدة الدوال على عملية جمع ، وبالتالي يمكن التفكير في دالة تعتمد على الجمع، ويُلاحظ بأن العرض هو الطول مع وجود إضافة مقدارها 3 في كل مرة، إذ إن؛ 30 3=30، و33 3=36 وهكذا، ومنه يمكن صياغة الدالة الرياضية كالآتي: ص= س 3.

مثال 3: إذا وُزع عدد من الجوائز في احتفال ما، وكانت الجائزة عبارة عن عدد من الدفاتر والأقلام تتناسب أعدادها مع ترتيب الفائز في المسابقة، وكانت كما هو موضّح في جدول الدوال الآتي، فما هي القاعدة الرياضية التي تربط بين عدد الدفاتر والأقلام؟

• الحل: عند دراسة أعداد الدفاتر والأقلام الموزّعة يمكن ملاحظة زيادة عدد الأقلام على عدد الدفاتر بمقدار (1) في كل مرّة، إذ إن؛ 1 1=2، و2 1=3 وهكذا، ومن ذلك يمكن كتابة العلاقة الرياضية بالصورة الآتية: ص= س 1.

مثال 4: يمثّل الجدول أدناه علاقة تربط بين عدد من المدخلات والمخرجات، حدد الدالة التي تعبّر عن هذه العلاقة ثمّ أوجد المخرج الذي يمكن الحصول عليه إذا كانت المدخل هو الرقم (10).

• الحل:
  • بدراسة المدخلات والمخرجات نستنج أنّ المدخلات والمخرجات ترتبط بقاعدة معينة، وبما أن المخرجات أقل من المدخلات فالعلاقة هي الطرح، ومقدار النقصان في كل مرة هو (5)، إذ إن؛ 20-5=15، و11-5=6، وهكذا، ومن ذلك تكون قاعدة الدوال هي: ص= س-5.
  • إذا كان المدخل هو 10 يمكن استخدام قاعدة الدوال كما يأتي: ص= 10-5= 5.

جدول الدوال هو جدول مكوّن من صفين أو عمودين، يمثل أحدهما المدخلات ويمثل الآخر المخرجات، وتكون قيم المدخلات والمخرجات مرتبطة مع بعضها بعلاقة رياضية محددة يُطلق عليها اسم قاعدة الدوال، ويمكن استخدام الجدول في حساب قيم المخرجات إذا كانت المدخلات والدالة الرياضية معطاة، كما يمكن استنتاج الدالة الرياضية إذا كانت المدخلات والمخرجات معطاة، من خلال دراسة القيم ومحاولة معرفة نوع العملية المطبّقة (جمع، طرح) ومقدار الزيادة أو النقصان.