كيفية حساب حجم الهرم الرباعيّ القائم
يُعرّف الهرم الرباعيّ (Square Pyramid) بأنّه شكل هندسيّ ثلاثيّ الأبعاد يتكون من خمسة وجوه لذلك يُطلق عليه اسم الهرم خماسيّ الوجوه أيضًا، حيثُ يتكون من قاعدة مربعة، وأربعة أوجه جانبيّة مثلثة الشكل تلتقي جميعها عند نقطة في قمة الهرم تُسمى رأس الهرم.
وإذا كانت جميع أطوال أضلاع الأوجه الجانبيّة للهرم الرباعيّ متساوية في الطول وارتفاع الهرم عاموديًا على منتصف القاعدة يُسمى الهرم الرباعيّ بالهرم الرباعيّ القائم، حيثُ تكون الأوجه الجانبيّة فيه عبارة عن مثلثات متساوية الساقين.
حجم الهرم الرباعيّ
يُمكن حساب حجم الهرم الرباعيّ القائم باستخدام الصيغة الرياضيّة الآتية:
حجم الهرم الرباعي القائم = ⅓ × مساحة قاعدة الهرم × ارتفاع الهرم
وبالرموز:
ح = ⅓ × م × ع
وبالإنجليزية:
V = ⅓ × A × H
حيثُ إنّ:
- ح (V): حجم الهرم الرباعيّ القائم، ويُقاس بوحدة م³.
- م (A): مساحة قاعدة الرباعيّ القائم، وتُقاس بوحدة م².
- ع (h): الارتفاع العاموديّ للهرم الرباعيّ القائم، وهو الخط الواصل بين رأس الهرم ومنتصف القاعدة ويكون قائمًا على القاعدة، ويُقاس بوحدة م.
وبما أنّ قاعدة الهرم مربعة الشكل، يُمكن تعويض مساحة القاعدة بقانون مساحة المربع على النحو الآتي:
مساحة القاعدة = الضلع × الضلع = الضلع²
حجم الهرم الرباعيّ القائم = ⅓ × مساحة قاعدة الهرم × ارتفاع الهرم
حجم الهرم الرباعيّ القائم = ⅓ × الضلع² × ارتفاع الهرم
وبالرموز:
ح = ⅓ × س² × ع
وبالإنجليزية:
V = ⅓ × s² × h
حيثُ إنّ:
- ح (V): حجم الهرم الرباعيّ القائم، ويُقاس بوحدة م³.
- م (A): مساحة قاعدة الرباعيّ القائم، وتُقاس بوحدة م².
- ع (h): الارتفاع العاموديّ للهرم الرباعيّ القائم، وهو الخط الواصل بين رأس الهرم ومنتصف القاعدة ويكون قائمًا على القاعدة، ويُقاس بوحدة م.
- س (s): طول ضلع قاعدة الهرم الرباعيّ القائم، ويُقاس بوحدة م.
الارتفاع العاموديّ للهرم الرباعيّ القائم
يُمكن إيجاد الارتفاع القائم باستخدام نظرية فيثاغورس والتي تربط بين الارتفاع العاموديّ والارتفاع المائل وطول ضلع القاعدة، وذلك على النحو الآتي:
(الارتفاع المائل)² = (الارتفاع العاموديّ)² (طول ضلع القاعدة /2)²
وبإعادة ترتيب القانون لإيجاد الارتفاع العاموديّ كالآتي:
الارتفاع العاموديّ = ((الارتفاع المائل)² - (طول ضلع القاعدة /2)²)√
وبالرموز:
ع = (ل² - (س/2)²)√
وبالإنجليزية:
h = √(H² (s/2)²)
حيثُ إنّ:
- ع (h): الارتفاع العاموديّ للهرم الرباعيّ القائم، وهو الخط الواصل بين رأس الهرم ومنتصف القاعدة ويكون قائمًا على القاعدة، ويُقاس بوحدة م.
- ل (H): الارتفاع المائل للهرم الرباعيّ القائم، وهو الخط الواصل بين رأس الهرم ومنتصف أحد أضلاع القاعدة، ويُقاس بوحدة م.
- س (s): طول ضلع قاعدة الهرم الرباعيّ القائم، ويُقاس بوحدة م.
أمثلة على حساب حجم الهرم الرباعي القائم
نُدرج فيما يأتي أمثلة على حساب حجم الهرم الرباعيّ القائم:
حجم هرم رباعيّ قائم معلوم مساحة القاعدة والارتفاع العاموديّ
مثال: جد حجم الهرم الرباعيّ القائم الذي مساحة قاعدته 62م² وارتفاعه العمودي 11سم.
الحل:
- التعويض في قانون حجم الهرم الرباعيّ القائم لإيجاد المساحة:
- حجم الهرم الرباعيّ القائم = ⅓ × مساحة قاعدة الهرم × ارتفاع الهرم
- حجم الهرم الرباعيّ القائم = ⅓ × 62 × 11
- حجم الهرم الرباعيّ القائم = 227.33سم³
حجم هرم رباعيّ قائم معلوم أبعاد القاعدة والارتفاع العاموديّ
مثال: جد حجم الهرم الرباعيّ القائم الذي طول ضلع قاعدته المربعة 9.2سم وارتفاعه العاموديّ 13سم.
الحل:
- التعويض في قانون حجم الهرم الرباعيّ القائم لإيجاد المساحة:
- حجم الهرم الرباعيّ القائم = ⅓ × الضلع² × ارتفاع الهرم
- حجم الهرم الرباعيّ القائم = ⅓ × 9.2² × 13
- حجم الهرم الرباعيّ القائم = 366.77سم³
حجم هرم رباعيّ قائم معلوم أبعاد القاعدة والارتفاع المائل
مثال: جد حجم الهرم الرباعيّ القائم الذي طول ضلع قاعدته المربعة 8.5 سم وارتفاعه المائل 10 سم.
الحل:
- أولًا: إيجاد ارتفاع الهرم المائل، وذلك باستخدام القانون الآتي:
- الارتفاع العاموديّ = ((الارتفاع المائل)² - (طول ضلع القاعدة /2)²)√
- الارتفاع العاموديّ = ((10)² - (8.5 /2)²)√
- الارتفاع العموديّ = (100 - 18.06)√
- الارتفاع العاموديّ = (81.93)√
- الارتفاع العاموديّ = 9.05 سم.
- ثانيًا: التعويض في قانون حجم الهرم الرباعيّ القائم لإيجاد المساحة:
- حجم الهرم الرباعيّ القائم = ⅓ × الضلع² × ارتفاع الهرم
- حجم الهرم الرباعيّ القائم = ⅓ × 8.5² × 9.05
- حجم الهرم الرباعيّ القائم = 217.95 سم³
