كيفية حساب حجم المكعب

طرق حساب حجم المكعب

يعرف حجم المكعب (بالإنجليزية: Cube Volume) بأنه كمية الفراغ الموجودة داخل المكعب؛ فمثلاً عند القول بأن حجم صندوق من الحليب 1,728 سم، فإننا نحتاج إلى عدد من المكعبات طول ضلع كل منها 1سم، و عددها 1,728 لملء هذا الصندوق، وتجدر الإشارة إلى أن حجم المكعب يُقاس بوحدة المتر مكعب وفقاً للنظام العالمي للوحدات.

وبشكل عام فإن الحجم يقاس دائماً بوحدة مكعبة؛ فمثلاً عند التعبير عن حجم مكعب طول ضلعه 1سم، فإن الناتج يكون دائماً بالسنتيمتر المكعب، أي سم، وذلك ينطبق على جميع الوحدات. وهناك عدة قوانين يمكن من خلالها إيجاد حجم المكعب ، وهي:

باستخدام طول ضلع المكعب

يمكن إيجاد حجم المكعب من خلال ضرب الطول، والعرض، والارتفاع معاً للمكعب، وبما أن هذه الأطوال الثلاثة جميعها متساوية في الطول، فإنه يمكن إيجاد حجم المكعب عند معرفة أطوال أضلاعه باستخدام القانون الآتي:

حجم المكعب = طول الضلع×طول الضلع×طول الضلع، ومنه:

حجم المكعب = طول الضلع

وبالرموز:

ح= ل

حيث أن:

• ح: حجم المكعب.
• ل: طول ضلع المكعب.

فمثلاً لو كان هناك مكعب طول أحد أضلاعه 5سم، فإن حجمه هو: حجم المكعب=طول الضلع³= 5³= 5×5×5=125سم³.

باستخدام طول قطر المكعب

يمكن إيجاد حجم المكعب باستخدام طول أحد أقطاره، وذلك كما يأتي:

حجم المكعب=3√×(مكعب طول القطر/9)

وبالرموز:

ح= 3√×(ق³ /9)

حيث أن:

• ق: طول أحد أقطار المكعب.
• ح: حجم المكعب.

أمثلة على حساب حجم المكعب

وفيما يأتي أمثلة متنوعة على حساب حجم المكعب:

• المثال الأول: ما هو حجم المكعب الذي طول أحد أضلاعه 12.5 متر؟
  • الحل: حجم الكعب = طول ضلع المكعب³=12.5³= 1,953م³.

• المثال الثاني: مكعب طول أحد أضلاعه 13سم، فما هو حجمه؟
  • الحل: حجم المكعب = طول الضلع×طول الضلع×طول الضلع.
  • بما أن طول الضلع = 13سم، فإنه يمكن إيجاد الحجم كما يلي:
    • حجم المكعب=13×13×13= 2,197سم³.

• المثال الثالث: مفكرة ملاحظات مكعبة الشكل فإذا كان طول أحد أضلاعها 2سم، فما هو حجمها؟
  • الحل: بما أن جميع أطوال أضلاع المكعب متساوية، فإن حجم المكعب = (طول الضلع)³، وبالتالي فإنه يمكن إيجاد الحجم كما يلي:
  • حجم المكعب = 2³= 8 سم³، وهو حجم مفكرة الملاحظات.

• المثال الرابع: إذا كان طول كل ضلع من مكعب الروبيك 5.7سم، فما هو حجم هذا المكعب؟
  • الحل: حجم المكعب = طول الضلع³، وبالتالي: حجم المكعب = (5.7)³= 5.7×5.7×5.7= 185.19سم³، وبالتالي فإن حجم مكعب الروبيك يساوي 185.193سم³.

• المثال الخامس: صندوق مكعب الشكل أبعاده الداخلية 1م×1م×1م، يراد صنعه من الخشب بسمك 5سم، فإذا كانت تكلفة المتر المكعب الواحد 18,600 عملة نقدية، فما هي تكلفة صناعة هذا الصندوق من الخشب علما أن الصندوق مفتوح من الأعلى؟
  • الحل: تكلفة صندوق الخشب = حجم الصندوق مكعب الشكل× تكلفة المتر المكعب من الخشب.
  • لإيجاد حجم الصندوق المكعب فإنه يتم إيجاد الأبعاد الثلاثة الخارجية (الطول، والعرض، والارتفاع) لهذا الصندوق، وذلك كما يلي:
    • الطول الخارجي=الطول الداخلي سمك الخشب=1م (2×5سم)، ويساوي 1.10م، وتجدر الإشارة أنه تم ضرب سمك الصندوق بالرقم 2، وذلك لأن الخشب محيط به من الجانبين.
    • العرض الخارجي = 1م (2 × 5سم)، ويساوي 1.10م.
    • الارتفاع الخارجي=1م 5سم؛ وذلك لأن الصندوق مفتوح من الأعلى، ويساوي 1.05م.
  • بما أن الصندوق سيكون فارغاً من الداخل فإنه يمكن حساب الحجم كما يأتي:
    • حساب حجم المكعب الخارجي، وهو: حجم المكعب الخارجي=طول ضلع المكعب³=(1.10)×(1.10)×(1.05)=1.2705م³.
    • حساب حجم المكعب الداخلي، وهو: حجم المكعب الداخلي=طول ضلع المكعب³=1×1×1=1م³.
    • حجم الخشب المستخدم=حجم المكعب الخارجي - حجم المكعب الداخلي=1.271-1=0.2705م³.
  • حساب تكلفة الخشب المستخدم= 0.2705×18,600= 5,031.30 عملة نقدية.

• المثال السادس: ما هو حجم الماء الذي يمكن وضعه داخل وعاء مكعب الشكل طول أحد أضلاعه 2م؟
  • الحل: حجم المياه التي يمكن وضعها داخل الصندوق = حجم الوعاء المكعب، ويمكن حساب حجم الوعاء المكعب باستخدام القانون:
  • حجم الوعاء=طول ضلع المكعب³ =2م×2م×2م= 8م³، وبالتالي فإن كمية المياه التي يمكن وضعها داخل الوعاء تساوي 8 متر مكعب.

• المثال السابع: ما هو طول ضلع المكعب الذي حجمه يساوي 125 سم³؟
  • الحل: حجم المكعب = (طول الضلع)³، وبالتالي فإنه يمكن إيجاد طول الضلع كما يلي:
    • 125=(طول الضلع)³، وبأخذ الجذر التكعيبي للطرفين ينتج أن: طول الضلع= 5سم.

• المثال الثامن: مكعب طول قطره 3سم، فما هو حجمه؟
  • الحل: يمكن إيجاد حجم المكعب باستخدام العلاقة الآتية: حجم المكعب= 3√×(مكعب طول القطر/9)، ويساوي: 3=3√×(3³/9)= 3√3سم³.

• المثال التاسع: إذا كان طول ضلع مكعب ثلاثة أضعاف طول ضلع مكعب آخر أصغر منه، فما هو الفرق بين حجم كلا المكعبين؟
  • لحل هذا السؤال يتم اتباع الخطوات الآتية:
    • نفرض طول ضلع المكعب الصغير س، وبالتالي فإن حجمه يساوي س³.
    • نفرض طول ضلع المكعب الكبير 3س، وبالتالي فإن حجمة (3س)³، ويساوي 27س³.
  • الفرق بين حجم كلا المكعبين= حجم المكعب الكبير/حجم المكعب الصغير، وبالتالي فإن:
    • الفرق في الحجم= 27س³/ س³، ويساوي 27.
  • وهذا يعني أن المكعب الكبير أكبر بـ 27 ضعف من المكعب الصغير.

• المثال العاشر: إذا كانت مساحة أحد أوجه المكعب 16سم، فما هو حجمه؟
  • الحل: حجم المكعب = طول الضلع³، وبالتالي فإنه لإيجاد الحجم يجب معرفة طول الضلع، ويمكن إيجاده كما يلي:
    • المكعب له سته وجوه كل وجه منها مربع الشكل، ومساحة المربع تساوي طول الضلع، وعليه: 16= طول الضلع، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين يمكن إيجاد طول الضلع، ويساوي 4سم.
  • بعد إيجاد طول الضلع يمكن إيجاد الحجم كما يلي:
    • حجم المكعب= 4³، وبالتالي فإن حجم المكعب= 64سم³.