كيفية حساب حجم الأسطوانة

كيفية حساب حجم الأسطوانة

نظرة عامة حول حجم الأسطوانة

يُعرف الحجم بشكلٍ عامّ بأنه عبارة عن مقدار الحيِّز الذي يشغله الشّكل ثلاثيّ الأبعاد في الفراغ، ويُقاس بوحدات مختلفةٍ، مثل: المتر المُكعَّب، والسّنتيمتر المُكعّب، والليتر، وغيرها من الوحدات المكعبة، كما يُطلق أحياناً عليه اسم السعة، وطريقة حساب حجم الأسطوانة تُشبه إلى حدٍّ كبير طريقة حساب حجم المنشور؛ وذلك نظراً للتّشابه الكبير في خصائص كلا الشّكلَين؛ فحجم الأسطوانة هو حاصل ضرب مساحة القاعدة الدائرية الشكل، والذي يساوي مُربَّع نصف القطر مضروباً في الثابت (π)؛ الذي تُقدَّر قيمته بـ (3.142)، بارتفاع الأسطوانة، ويمكن التّعبير عن قانون حجم الأسطوانة رياضياً كالآتي:

  • حجم الأسطوانة= مساحة القاعدة×الارتفاع، ومنه: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، وبالرموز: ح= π×نق²×ع؛ حيث:
    • π: ثابت عددي، قيمته (3.14، 22/7).
    • نق: نصف قطر الأسطوانة.
    • ع: ارتفاع الأسطوانة.

يجدر بالذكر هنا أن الأسطوانة المائلة (بالإنجليزية: Oblique Cylinder)، وهي التي لا يقع مركز قاعدتها العلوية على استقامة واحدة مع مركز قاعدتها السفلية يُحسب ارتفاعها بنفس القانون السابق، وهو القانون المختص بالأسطوانة القائمة (بالإنجليزية: Right Cylinder) التي يقع مركز قاعدتيها على استقامة واحدة.

لمزيد من المعلومات حول مساحة وحجم الأسطوانة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة وحجم الأسطوانة .

أمثلة على حساب حجم الأسطوانة

  • المثال الأول: أسطوانة معدنيّة ارتفاعها 12سم، ونصف قطر قاعدتها 7سم، جِد حجمها.
    • الحلّ:
    • بتعويض الارتفاع ونصف قطر القاعدة في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الناتج سيكون كما يأتي:
    • حجم الأسطوانة= 7²×12×3.142= 1847.5سم.
  • المثال الثاني: أسطوانة نصف قطرها 2سم، وارتفاعها 5سم، جِد حجمها.
    • الحلّ:
    • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
    • حجم الأسطوانة= ²2×5×3.14= 62.8سم
  • المثال الثالث: أسطوانة ارتفاعها 8م، وقطرها 8م، جِد حجمها.
    • الحلّ:
    • يجب الانتباه هنا إلى أنَّ المُعطَى هو القُطر وليس نصف القُطر، ولذلك يجب إيجاد نصف القطر عن طريق قسمة القطر على 2، ومن ثُمَّ تعويض الناتج في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، ويتمّ ذلك كما يأتي:
      • نصف القطر=2/8=4م.
    • وبالتّعويض في قانون حجم الأسطوانة، ينتج أن: حجم الأسطوانة= 4²×8×3.14= 401.92م
  • المثال الرابع: إذا كان ارتفاع تنك لتخزين الزيت 30م، ونصف قطره 10م جد كمية الزيت التي يمكنه احتواؤها.
    • الحلّ:
    • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
    • حجم الأسطوانة= ²10×30×3.14= 9,420م، وهي كمية الزيت التي يمكنه احتواؤها.
  • المثال الخامس: إذا كان ارتفاع أسطوانة ضعف محيط قاعدتها وكان نصف قطرها 10سم، جد حجمها.
    • الحلّ:
    • حساب ارتفاع الأسطوانة باستخدام قانون محيط الدائرة (2×π×نق)؛ لأن قاعدة الأسطوانة دائرة الشكل، ومنه: الارتفاع=2× محيط القاعدة= 2×2×π×نق=2×2×3.14×10= 125.6سم.
    • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
    • حجم الأسطوانة= ²10×125.6×3.14= 39,438.4 سم.
  • المثال السادس: احسب كمية الماء الموجودة داخل قارورة مياه صغيرة الحجم، إذا كان الماء يملؤ 75% منها، علماً أن نصف قطرها الداخلي هو 2سم، وارتفاعها هو 6سم.
    • الحلّ:
    • حساب ارتفاع الماء داخل القارورة= 0.75×6= 4.5سم؛ لأن الماء يملؤ 75% من القارورة.
    • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
    • حجم الأسطوانة= ²2×4.5×3.14= 56.52 سم، وهي كمية الماء الموجودة داخلها.
  • المثال السابع: إذا كان حجم الأسطوانة 54π م، وارتفاعها 6 م، جد قيمة نصف قطرها.
    • الحلّ:
    • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
    • نق²×6×π×54 =π ، وبقسمة الطرفين على (6π)، وأخذذ الجذر التربيعي للناتج، فإن: نق= 3 م.
  • المثال الثامن: قطعة حجم على شكل ربع أسطوانة نصف قطرها 8سم، وارتفاعها 5سم، جد حجمها.
    • الحلّ:
    • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
    • حجم الأسطوانة= ²8×5×3.14= 1005 سم، ولحساب حجم قطعة الجبن يجب قسمة الحجم كاملاً على (4)؛ لأن قطعة الجبن تمثل ربع الأسطوانة كاملة، ومنه:
    • حجم قطعة الجبن= 1005/4= 251.2 سم.
  • المثال التاسع: جد حجم الأسطوانة التي يبلغ ارتفاعها 6سم، ومساحة قاعدتها 30 سم.
    • الحلّ:
    • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة:
    • حجم الأسطوانة= مساحة القاعدة×الارتفاع=30×6= 180 سم.
  • المثال العاشر: إذا كان هناك أنبوب معدني مجوّف من الداخل وأسطواني الشكل، نصف قطره الداخلي 2سم، ونصف قطره الخارجي 2.4سم، وطول الأنبوب 10سم، جد حجم المعدن المستخدم في صناعته.
    • الحلّ:
    • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
      • حجم الأسطوانة الخارجية= 3.14× 2.4²×10= 180.9 سم.
      • حجم الأسطوانة الداخلية= 3.14× 2²×10= 125.6 سم.
    • حجم المعدن المستخدم في صناعتها= حجم الأسطوانة الخارجية-حجم الأسطوانة الداخلية= 180.9-125.6= 55.3 سم، وهو حجم المعدن المستخدم في تصنيع هذا الأنبوب المعدني.
  • المثال الحادي عشر: إذا كان حجم الأسطوانة 440 م، وارتفاعها 35 م، جد قيمة نصف قطرها.
    • الحلّ:
    • بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
    • 440= نق²×35×3.14 ، وبقسمة الطرفين على (35×3.14)، وأخذ الجذر التربيعي للناتج، فإن: نق= 2م.
  • المثال الثاني عشر: إذا كان قطر أسطوانة ما يساوي ضعف ارتفاعها، وكان حجمها 64π سم، جد قيمة نصف قطرها.
    • الحلّ:
    • قطر الأسطوانة وفق معطيات السؤال هو: قطر الأسطوانة= 2 ×نصف القطر= 2×الارتفاع؛ وبقسمة الطرفين على (2) ينتج أن نصف قطر الأسطوانة= ارتفاع الأسطوانة، وبتعويض القيم قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
    • π×نق×نق² = 64×π ، وبقسمة الطرفين على (π)، وأخذ الجذر التربيعي للناتج فإن، نق= 4سم.

لمزيد من المعلومات حول مساحة الأسطوانة يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون المساحة الجانبية للأسطوانة ، قانون مساحة الإسطوانة .

7رياضيات
مزيد من المشاركات
فوائد الطماطم

فوائد الطماطم

فوائد الطماطم هناك مجموعةٌ من الفوائد الصحيّة للطماطم تُقسّم وفقاً لمحتواها الغذائي، وفوائد أخرى حسب درجة فعاليتها في الحالات المَرَضيّة، وهي كالآتي: محتواها من العناصر الغذائية فيتامين ج: تزوّد الطماطم الجسم بفيتامين ج ؛ الذي يُعدّ مُهماً لشفاء الجروح، وبناء العظام، والأسنان بشكلٍ قوي، والمحافظة على وظيفة جهاز المناعة، كما يُساعد هذا الفيتامين على زيادة امتصاص الحديد. الكاروتينات: تُوفّر الطماطم الأنواع الأربعة الرئيسيّة للكاروتينات، والتي تعمل مع بعضها البعض لتُزوّد الجسم بالفوائد الصحيّة،
ايشواريا راي (ممثلة وعارضة أزياء هندية)

ايشواريا راي (ممثلة وعارضة أزياء هندية)

ما هي جنسية الفنانة آيشواريا راي؟ تمتلك آيشواريا راي الجنسية الهندية. ما هو تاريخ ولادة الفنانة آيشواريا راي؟ يعد اليوم الأول من شهر نوفمبر لعام 1973 هو يوم ولادة الفنانة آيشواريا راي. ما هو مسقط رأس الفنانة آيشواريا راي؟ تعد ولاية ماهاراشترا في مومباي بالهند هي مسقط رأس الفنانة آيشواريا راي. ما هي المجالات التي تشتهر بها الفنانة آيشواريا راي؟ تعمل آيشواريا راي بالعديد من المجالات، إذ إنها تعمل في مجال عرض الأزياء ، بالإضافة إلى كونها ممثلة مسرحيات وأفلام ومسلسلات عالمية. كيف كانت بدايات
أدعية لتسهيل الولادة وحفظ الجنين

أدعية لتسهيل الولادة وحفظ الجنين

أدعية قبل الولادة هناك بعض الأدعية الموجودة في القرآن الكريم و السنة النبوية وبعض الأدعية العامة التي تستطيع كل أنثى ترديدها أثناء الحمل وقبل الولادة لتسهيل مشقة وتعب الحمل علماً أنَّه لم يرد دعاءً خاصاً لتسهيل الولادة وحفظ الجنين، وبيان تلك الأدعية فيما يأتي: (حَسْبِيَ اللّهُ لا إِلَهَ إِلاَّ هُوَ عَلَيْهِ تَوَكَّلْتُ وَهُوَ رَبُّ الْعَرْشِ الْعَظِيمِ). (لَّا إِلَهَ إِلَّا أَنتَ سُبْحَانَكَ إِنِّي كُنتُ مِنَ الظَّالِمِينَ). (اللَّهمَّ لا سَهلَ إلَّا ما جَعَلتَه سَهلًا، وأنتَ تَجعَلُ الحَزْنَ
تقبيل اليد في المنام

تقبيل اليد في المنام

تفسير تقبيل اليد في المنام يجدر بالذّكر في البداية أنّ دلالات الرؤى والأحلام وتفسيراتها علم قائمٌ على الاجتهاد، فهو أمرٌ ظنّي يحتمل الصواب والخطأ، كما أنّ تفسير الرؤى يختلف من شخصٍ إلى آخر لعدّة اعتبارات، وقد ذكر معبّرو الأحلام عدّة دلالات محتملة لرؤيا تقبيل اليد، ومن أهمّها ما يأتي: ذكر الملّا الإحسائي أنّ تقبيل اليد في المنام قد يدلّ على التواضع للشخص الذي قبّله الرائي في المنام. فسّر ابن شاهين رؤيا تقبيل يد المحبوب بالخضوع والذلّة له. يرى بعض المفسّرين أنّ رؤيا تقبيل اليد في المنام تُفسّر
ما يقال للعروسين

ما يقال للعروسين

الزواج الزواج هو سنة الله لإعمار الكون واستمرار الحياة، وهو التحام جسدين في روح واحدة، وفي هذا المقال سنقدم لكم كلمات جميلة عن العروسين. كلمات للعروسين أكتب والفرحة تغمرني ونسيم الحب يحضرني والكلمات تتراقص على أوراقي لترسم أحلى لوحة مكتوبة، ألف مبارك للعروسين. بهجة وفرحة وسعادة فوق العادة ونقول للعروسين بارك الله لكما وبارك عليكما وجمع بينكما في خير. أسعدك الله قلبك وهدّأ سرك وجمعك بزوجك، وبمن أحبه قلبك وأقر عينك، ورُزقت السعادة وراحة البال في منزلك الجديد ورُزقت الذرية الصالحة. تشابكت أناملي
كيف أنظم وقت نومي

كيف أنظم وقت نومي

النوم يُعدّ النوم الجيد في الليل من الأمور المهمة لصحة الإنسان، تماماً مثل التمارين الرياضية والأكل الصحي، وقد بينت الدراسات أنّ النومَ السيء له أثرٌ سلبيٌ مباشرٌ في الهرمونات ، والأداء الرياضي، ووظائف الدماغ ، وقد يؤدي إلى زيادة الوزن، وزيادة احتمالية الإصابة بالأمراض عند كلّ من الأطفال والبالغين، بينما يساعد النوم الجيد على الأكل بكمية أقل، وممارسة التمارين بشكل أفضل، والتمتع بصحة جيدة، وتجدر الإشارة إلى أنّ العقود الأخيرة من الزمن شهدت تراجعاً في كمية وجودة النوم لدى الأفراد، ويعاني العديد
كم طول برج إيفل

كم طول برج إيفل

طول برج إيفيل يبلغ ارتفاع برج إيفل 324 متراً شاملاً الهوائيّ الموجود في الأعلى، ومن دون الهوائيّ يصل إلى 300 متر، يزن حوالي عشرة آلاف طن، يرتفع الطابق الأول عن سطح الأرض بمقدار 57 متراً، بينما الطابق الثاني فيرتفع 114 متراً، ويرتفع الطابق الثالث 274 متراً، يحتوي البرج على 108 طابق مع 1710 درجة، يستطيع الزوار صعود درج الطابق الأول فقط، ثمّ عليهم استخدام المصاعد، علماً أنّ عدد المصاعد في برج إيفل هو اثنان، ويشار إلى أنّ برج إيفل يعدّ أحد الأمثلة على العمارة الحديثة كونه مصنوع من حديد. سبب بناء
ما هو الطول الموجي

ما هو الطول الموجي

ما هو الطول الموجي يعبّر مفهوم الطول الموجيّ عن المسافة الواقعة بين النقاط المتماثلة بين موجتين متتابعتين، ويُشير مفهوم النقاط المتماثلة إلى نقطتين أو جسيمين يوجدان في نفس الطور؛ كالنقاط التي أكملت كسوراً متماثلة خلال حركتها الدّوريّة، وغالباً ما يرمز للطّول الموجي بالرمز اليونانيّ (λ). غالباً ما يُقاس الطول الموجي للموجات العرضيّة؛ "وهي الموجات التي تتذبذب على الزوايا المستقيمة باتّجاه حركتها"، من القمّة للقمّة أو من القاع للقاع، أمّا في الموجات الطوليّة؛ "وهي الموجات التي تهتز في اتجاهاً