قانون مساحة وحجم الأسطوانة

قانون حجم الأسطوانة

يمكن تعريف حجم الأسطوانة (بالإنجليزية: Cylinder Volume) بأنه كمية المادة التي توجد داخلها؛ فمثلاً يمثّل حجم الماء في بركة أسطوانية الشكل ممتلئة بالماء حجم هذه الأسطوانة أو البركة، وبالتالي فإنه يُمكن التعبير عن حجم الأسطوانة بالسعة أيضاً، ففي المثال السابق يمكن القول إن سعة البركة تساوي كمية أو حجم المياه اللازمة لملئها، ويُمكن حساب حجم الأسطوانة من خلال إيجاد حاصل ضرب مساحة قاعدتها في ارتفاعها، وذلك كما يلي:

• حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة×الارتفاع= π×نق²×ع

حيث إنّ:

• ع: ارتفاع الأسطوانة.
• نق: نصف قطر قاعدة الأسطوانة.
• π: هو ثابت عددي له قيمة تقريبية تساوي 3.14، أو 22/7.

قانون مساحة الأسطوانة الجانبية 

(بالإنجليزية: Curved Surface Area) تعرف المساحة الجانبية للأسطوانة بأنها مساحة الأسطوانة الكلية باستثناء مساحة القاعدتين، ويُمكن التعبير عنها عن طريق تخيّل علبة أسطوانية الشكل يُراد تغطئتها من الخارج بملصق من الورق يلف جانبها بالكامل في المنطقة المحصورة بين القاعدتين، بحيث تشكل كمية الورق اللازمة لذلك المساحة الجانبية للأسطوانة.

وبما أن الأسطوانة هي عبارة عن مستطيل مُلتف بين القاعدتين الدائريتين، فإن المساحة الجانبية لها تتمثل بمساحة هذا المستطيل، وذلك على النحو الآتي:مساحة المستطيل = طول المستطيل× عرض المستطيل، وعرض المستطيل هو ارتفاع الأسطوانة (ع)، أما طوله فهو يتمثّل بمحيط إحدى القاعدتين الدائريتن = 2×π×نصف قطر القاعدة، وبالتالي فإن:

• المساحة الجانبية للأسطوانة = (2×π×نصف قطر القاعدة)×الارتفاع ، وبالرموز: المساحة الجانبية للأسطوانة= 2×π×نق×ع.

قانون مساحة الأسطوانة الكلية

بما أن الأسطوانة تتكون من قاعدتين دائريتي الشكل، ومستطيل مُلتف بين القاعدتين فإن مساحتها الكلية هي عبارة عن مساحة كل من المستطيل، والقاعدتين الدائريتين، أي أنها تساوي مجموع المساحة الجانبية، ومساحة القاعدتين، وذلك كما يلي:المساحة الكلية = المساحة الجانبية مساحة القاعدة الأولى مساحة القاعدة الثانية= π×نق² π×نق² 2×π×نق×ع = 2× π×نق² 2×π×نق×ع، وبإخراج 2×π×نق كعامل مشترك فإن:

• المساحة الكلية للاسطوانة = 2×π×نصف قطر الأسطوانة×(نصف قطر الأسطوانة ارتفاع الأسطوانة)، وبالرموز:
• المساحة الكلية للأسطوانة = 2×π×نق×(نق ع)

أمثلة على حساب مساحة وحجم الأسطوانة

• المثال الأول: أسطوانة قطرها 20 وحدة، وارتفاعها (ع) 9 وحدات، فما هي مساحتها الجانبية؟

الحل:

• لإيجاد المساحة الجانبية للاسطوانة فإننا نحتاج إلى نصف القطر، ويمكن إيجاده كما يلي: نصف القطر = القطر/2 = 20/2 = 10 وحدات.
• بالتعويض في القانون: المساحة الجانبية للأسطوانة = 2×π×نق×ع فإن:
  • المساحة الجانبية = 2×3.14×10×9 = 565.4 وحدة مربعة تقريباً.

• المثال الثاني: ما هي المساحة الجانبية لأسطوانة نصف قطرها (نق) يساوي 6 وحدات، وارتفاعها (ع) يساوي 10 وحدات؟

الحل:

• المساحة الجانبية للاسطوانة = 2×π×نق×ع = 2×3.14×6×10= 376.99 وحدة مربعة تقريباً.

• المثال الثالث: خزان مياه أسطوانيّ الشّكل قطره 4.2 م، وارتفاعه 2.5 م يراد طلاء سطحه الجانبي، وقاعدته العلوية، فإذا كان اللتر الواحد من الطلاء يغطي 8م² من مساحة الخزان، فكم عدد علب الطلاء التي نحتاجها لطلاء الخزان، علماً أن كل علبة تحتوي على 2 لتر من الطلاء؟

الحل:

• مساحة الخزان المراد طلاؤها تشكّل المساحة الجانبية له، إضافة إلى مساحة القاعدة العلوية دائرية الشكل، وبما أن الخزان أسطواني الشكل، فإن: مساحة الخزان المراد طلاؤها = المساحة الجانبية مساحة القاعدة العلوية، وعليه:
  • المساحة الجانبية= 2×π×نق×ع= 2×3.14×(4.2/2)×2.5 =33م².
  • مساحة القاعدة العلوية = π×نق² = 3.14ײ(4.2/2) = 13.86م².
  • مساحة الخزان المراد طلاؤها = 33 13.86 = 46.86م².
  • كمية الطلاء التي نحتاجها باللتر = 46.86/8 = 5.85 لتر.
• بما أن كل علبة تحتوي على 2 لتر، فإن:
  • عدد العلب التي نحتاجها = 5.85/2 = 2.9، أي ثلاث علب.

• المثال الرابع: ما هو حجم الأسطوانة التي نصف قطرها يساوي 3سم، وارتفاعها يساوي 6سم، على افتراض أن π تساوي 3.14؟

الحل:

• حجم الأسطوانة = π×نق²×ع = 3.14ײ3×6= 169.6 سم³.

• المثال الخامس: يخزّن مطعم الحليب داخل وعاء كبير أسطواني الشكل نصف قطره 30سم، وارتفاعه 60سم، ويتم بيع هذا الحليب عادة بواسطة علب صغيرة أسطوانية الشكل نصف قطرها 3سم، وارتفاعها 6سم، فإذا كان سعر كل علبة من هذه العلب الصغيرة 20 دولاراً، فكم تبلغ أرباح بيع الحليب بعد تفريغ الوعاء الكبير بالكامل؟

الحل:

• كمية الحليب داخل الوعاء الكبير= حجم الوعاء الكبير أسطواني الشكل= π×نق²×ع = π×30²×60، ومنه حجم الوعاء الكبير= 54000π سم³.
• حجم علب الحليب الصغيرة أسطوانية الشكل = π×نق²×ع = πײ3×6، ومنه حجم علب الحليب الصغيرة = 54 π سم³.
• عدد علب الحليب التي يجب بيعها لتفريغ الوعاء الكبير بالكامل= حجم الوعاء الكبير/حجم علب الحليب الصغيرة 54000π/54π = 1000 علبة.
• الأرباح التي يتم جنيها بعد تفريغ الوعاء الكبير بالكامل = عدد العلب التي تم بيعها× سعر العلبة الواحدة = 1000×20 = 20,000 دولار.

• المثال السادس: أسطوانة قطر قاعدتها 3م، وارتفاعها 5م، فما هي مساحتها، وحجمها؟

الحل:

• مساحة الأسطوانة الكلية = 2×π×نق×(نق ع) = 2×3.14×3×(3 5) = 150.72م².
• حجم الأسطوانة = π×نق²×ع = 3.14ײ3×5 = 141.3م³

• المثال السابع: أسطوانة قطرها 6سم، وارتفاعها 9سم، فما هو حجمها؟

الحل:

• نصف قطر الأسطوانة (نق) = 6/2 = 3سم.
• حجم الأسطوانة = π×نق²×ع= 3.14ײ3×9= 254.34 سم³.

• المثال الثامن: ما هو حجم الأسطوانة التي مساحتها الجانبية 2640 سم²، ومحيط قاعدتها يساوي 66 سم؟

الحل:

• حجم الأسطوانة = π×نق²×ع، وبالتالي فإنه لإيجاد حجم الأسطوانة فإننا نحتاج إلى نصف قطر قاعدة الأسطوانة (نق)، وارتفاع الأسطوانة (ع).
  • إيجاد نصف قطر قاعدة الأسطوانة من خلال محيطها، وذلك كما يلي:
  • • محيط القاعدة الدائرية =2×π×نق، وعليه: 66 = 2×3.14×نق، ومنه: نق = 10.5سم.
    • المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع، وعليه: 2640 = 66×ع، ومنه: ع = 40 سم.
• بعد معرفة نصف قطر الأسطوانة، وارتفاعها يمكن إيجاد حجمها، وذلك كما يلي:
  • حجم الأسطوانة = π×نق²×ع= 3.14ײ10.5×40= 13,854.4 سم³

• المثال التاسع: إذا كان ارتفاع الأسطوانة (ع) يساوي طول محيط قاعدتها الدائرية، فما هي مساحة الأسطوانة، وحجمها علماً أن ارتفاعها يساوي 125.66 سم؟

الحل:

• محيط قاعدة الأسطوانة = ارتفاعها، وبالتالي يمكن إيجاد نصف القطر كما يلي:
  • محيط قاعدة الأسطوانة الدائرية = 2×π×نق، ومنه: 125.66= 2×3.14×نق، وعليه: نق= 20سم.
• مساحة الأسطوانة الكلية = 2×π×نق×(نق ع) = 2×3.14×20×(20 125.66) = 18,304.18سم².
• حجم الاسطوانة = π×نق²×ع = 3.14 ×20²×125.66= 157,909.01 سم³