قانون مساحة متوازي الأضلاع

حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام طول القاعدة والارتفاع

تعرف مساحة متوازي الأضلاع (بالإنجليزية: Area of Parallelogram)، بأنها الفضاء ثنائي الأبعاد الذي يُشغله متوازي الأضلاع أو عدد الوحدات المربعة التي يغطيها متوازي الأضلاع، كما يمتلك متوازي الأضلاع العديد من الخصائص التي تميزه عن باقي الأشكال الهندسية، فهو أحد الأشكال الرباعية التي يكون فيها كل ضلعين متقابلين متساويين ومتوازيين، وكلّ زاويتين متقابلتين قياسهما متساوٍ أيضًا.

يمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع من خلال معرفة كل من طول قاعدته وارتفاعه المرسوم كخط وهمي عموديّ على القاعدة بالضرورة، حسب القانون الآتي:

مساحة متوازي الأضلاع= طول القاعدة × الارتفاع

وبالرموز:

(م= ل × ع) 

إذ إنّ:

• م: مساحة متوازي الأضلاع، بوحدة سنتيمتر مربع (سم).
• ل: طول قاعدة متوازي الأضلاع، بوحدة السنتيمتر (سم).
• ع: ارتفاع متوازي الأضلاع، بوحدة السنتيمتر (سم).

ملاحظة: تتشابه هذه الصيغة مع قانون حساب مساحة المستطيل المتعارف عليه، وسبب ذلك هو التشابه بين هذين الشكلين الرباعيين، فكل متوازي أضلاع يمكن تحويله إلى مستطيل بتحريكه باتّجاه ما.

حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام الأقطار وزاوية محصورة بينهما

يعرف قطرا المستطيل بأنهما خطّين متقاطعين داخله، يقسم كل منهما متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين تمامًا بالمساحة، كما ينصّف كل منهما الآخر، ويمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع عند معرفة القطرين شرط معرفة قياس الزاوية المحصورة بينهما، من خلال القانون الآتي:

مساحة متوازي الأضلاع= 1/2× حاصل ضرب القطرين× جا (الزاوية المحصورة بينهما)

وبالرموز:

م= 1/2× ق1× ق2× جا(θ) 

إذ إنّ:

• م: مساحة متوازي الأضلاع، بوحدة سنتيمتر مربع (سم).
• ق1: طول القطر الأول لمتوازي الأضلاع، بوحدة السنتيمتر (سم).
• ق2: طول القطر الثاني لمتوازي الأضلاع، بوحدة السنتيمتر (سم).
• θ: الزاوية المحصورة بين القطرين (ق 1 ، ق 2 ) المتقاطعين عند مركز متوازي الأضلاع، ويجب التنويه إلى أنّ الزاوية (θ) المستخدمة في القانون هي أي زاوية متكوّنة عند نقطة تقاطع أقطار متوازي الأضلاع.

حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام ضلعين وزاوية محصورة بينهما

تُحسب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام علم المثلثات من خلال معرفة أطوال ضلعين فيه والزاوية المحصورة بينهما، وذلك من خلال اتّباع عدد من الخطوات:

• تقسيم متوازي الأضلاع إلى مثلّثين من خلال رسم قطر يصل بين زاويتين متقابلتين فيه.
• اختيار أي مثلث لاستخدام ضلعيه والزاوية المحصورة بينهما لحساب مساحة متوازي الأضلاع من خلال القانون الآتي:

مساحة متوازي الأضلاع= طول ضلعين متجاورين فيه× جا (الزاوية المحصورة بينهما)

وبالرموز:

م= أ× ب× جا(θ)

إذ إنّ:

• م: مساحة متوازي الأضلاع، بوحدة سنتيمتر مربع (سم).
• أ: طول أحد أضلاع متوازي الأضلاع (أحد أضلاع المثلث الذي تمّ اختياره في الخطوة الثانية)، بوحدة السنتيمتر (سم).
• ب: طول الضلع المجاور للضلع أ، بوحدة السنتيمتر (سم).
• θ: الزاوية المحصورة بين الضلعين أ، ب.

تدريبات على حساب مساحة متوازي الأضلاع

فيما يأتي بعض الأمثلة على حساب مساحة متوازي الأضلاع:

إذا كان طول القاعدة والارتفاع معلومين

ومن الأمثلة على هذه الحالة:

مثال 1: إذا كان طول قاعدة متوازي أضلاع 5 سم، وارتفاعه 3 سم، احسب مساحته.

• الحل:
  • باستخدام القانون م= ل× ع، وتعويض ل= 5، ع= 3.
  • ومن ذلك، م= 5× 3= 15سم
  • إذًا، مساحة متوازي الأضلاع هي 15سم.

مثال 2: إذا علمت أنّ طول قاعدة متوازي الأضلاع تساوي مثلي ارتفاعه، وكان ارتفاعه يساوي 2 سم، فاحسب مساحته.

• الحل:
  • بما أن طول قاعدة متوازي الأضلاع يساوي مثلي ارتفاعه، فطول القاعدة يساوي 2×2= 4 سم.
  • باستخدام القانون؛ م= ل× ع، وتعويض ل= 2، ع= 2.
  • ومن ذلك م= 2× 2= 4 سم.
  • إذًا، مساحة متوازي الأضلاع= 4 سم.

إذا كان قطراه والزاوية المحصورة بينهما معلومين

ومن الأمثلة على هذه الحالة:

مثال 1: إذا كانت أطوال أقطار متوازي أضلاع 6 سم، و3 سم، وكانت الزاوية المحصورة بينهما 60 درجة، احسب مساحة متوازي الأضلاع.

• الحل:
  • باستخدام القانون م= 1/2× ق1× ق2× جا(θ).
  • بتعويض: ق 1 = 6، ق 2 =3، θ= 60.
  • ومن ذلك: م= 6× 3× جا(60)= 15.6 سم.
  • إذًا، مساحة متوازي الأضلاع= 15.6 سم.

مثال 2: إذا كانت طول القطر الأطول في متوازي أضلاع 4 سم، والأقصر 3 سم، وكانت الزاوية المحصورة بينهما 150 درجة، احسب مساحة متوازي الأضلاع.

• الحل:
  • باستخدام القانون م= 1/2× ق1× ق2× جا(θ).
  • بتعويض: ق 1 = 4، ق 2 =3، θ= 150.
  • ومن ذلك: م= 4× 3× جا(150)= 6 سم.
  • إذًا، مساحة متوازي الأضلاع= 6 سم.

إذا كان ضلعاه والزاوية المحصورة بينهما معلومين

ومن الأمثلة على هذه الحالة:

مثال 1: إذا كان طول أحد ضلعي متوازي الأضلاع 7 سم، وطول الضلع المجاور له 3 سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 30 درجة، احسب مساحة متوازي الأضلاع.

• الحل:
  • باستخدام القانون م= أ× ب× جا(θ).
  • بتعويض أ= 7، ب= 3، θ= 30.
  • ومن ذلك: م= 7× 3× جا(30)= 10.5 سم.
  • إذًا، مساحة متوازي الأضلاع= 10.5 سم.

مثال 2: إذا كان طول الأضلاع المتوازية في متوزاي الأضلاع: 4 سم، و3 سم، وكانت الزاوية المحصورة بين كل ضلعين متجاورين تساوي 90 درجة، احسب مساحة متوازي الأضلاع.

• الحل:
  • باستخدام القانون م= أ× ب× جا(θ).
  • بتعويض أ= 4، ب= 3، θ= 90.
  • ومن ذلك: م= 4× 3× جا(90)= 12 سم.
  • إذًا، مساحة متوازي الأضلاع= 12 سم.

متوازي الأضلاع هو أحد الأشكال ثنائية الأبعاد رباعية الأضلاع، يتميز بعدد من الخصائص ومنها أن فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين ومتساويين، وفيه كل زاويتين متقابلتين متساويتين، كما يمكن حساب عدد الوحدات المربعة التي يغطيها من خلال استخدام واحد من ثلاثة قوانين حسب المعطيات التي يقدمّها السؤال؛ أولها قانون يتطلب وجود طول القاعدة والارتفاع لمتوازي الأضلاع، وثانيها يتطلب إعطاء أقطار متوازي الأضلاع والزاوية المحصورة بينهما، وثالثها يتطلّب إعطاء طول ضلعي متوازي الأضلاع بالإضافة إلى الزاوية المحصورة بينهما.