مساحة المثلث قائم الزاوية
يُعرف المثلث قائم الزاوية Right Angled Triangle بأنه مثلث يحتوي على زاوية بقياس 90ْ درجة أي زاوية قائمة، وتكون هذه الزاوية محصورة بين الضلع القائم وقاعدة المثلث، بينما يمثل ضلعه الثالث الوتر، ومن المعروف أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180ْ درجة، أي أن مجموع الزاويتين المتبقيتين يساوي 90ْ درجة، ويمتاز عن غيره من المثلثات بارتباط أضلاعه بصيغة رياضية تُدعى صيغة فيثاغورس وهي قانون المثلث قائم الزاوية، والصيغة التالية توضح صيغة مثلث قائم الزاوية على اعتبار أن المثلث س ص ع قائم الزاوية في ص:
(الوتر)^ 2 = (الضلع الأول)^ 2 (الضلع الثاني)^ 2
الصيغة العامة لحساب مساحة المثلث قائم الزاوية
تمثل مساحة المثلث المساحة المحصورة بداخله أو بين أضلاعه والتي تحسب بالوحدات المربعة، وفيما يلي الصيغة العامة لحساب مساحة مثلث قائم الزاوية على اعتبار وجود مثلث قائم الزاوية ذو قاعدة (س)، والضلع المعامد لها (ص)، والوتر الواصل بينهما (ع):
مساحة المثلث = (1/2) × طول القاعدة × الارتفاع
م (س ص ع) = (1/2) × س × ص
- س: ضلع القاعدة (سم، متر....).
- ص: الضلع المتعامد على القاعدة، ويمثل الارتفاع (سم، متر....).
- م: مساحة المثلث ووحدتها (سم^ 2، متر^2...... ).
صيغة هيرون لحساب مساحة المثلث قائم الزاوية
تستخدم صيغة هيرون لاحتساب مساحة المثلث قائم الزاوية في حال معرفة أطوال أضلاع المثلث القائم الثلاثة، فعلى اعتبار أن المثلث س ص ع قائم الزاوية، وذو أطوال معلومة س، ص، ع، ويُعبر عن نصف قيمة محيطه بالرمز ل، فإن صيغة هيرون تظهر حل مثلث قائم الزاوية على النحو الآتي:
مساحة المثلث = (نصف المحيط × (نصف المحيط - الضلع الأول)×(نصف المحيط - الضلع الثاني) × (نصف المحيط - الضلع الثالث))^( 1/2)
م = (ل) × (ل - س) × (ل - ص) × (ل - ع))^(1/2)
- م: مساحة المثلث وتٌاس بوحدة المتر المربع (سم^ 2 ).
- ل: نصف محيط المثلث، والذي يُحسب من خلال جمع أطوال أضلاعه وقسمة الناتج على 2؛ (س ص ع)/(2).
- س، ص، ع: أضلاع المثلث قائم الزاوية.
توجد هنالك العديد من الصيغ المستخدمة ك قانون مساحة المثلث قائم الزاوية أو لحل مثلث قائم الزاوية، بينما يبقى بكل تأكيد قانون فيثاغورس (الوتر)^ 2 = (الضلع الأول)^ 2 (الضلع الثاني)^ 2؛ الأشهر والأكثر استخدامًا كقانون المثلث القائم الزاوية.
أمثلة على حساب مساحة المثلث قائم الزاوية
فيما يلي بعض الأمثلة على حساب مساحة المثلث قائم الزاوية تحت عدة شروط.
عندما يكون الوتر معلومًا
مثلث س ص ع مثلث قائم الزاوية في ص، طول الضلع س ص = 3 سم، والضلع ص ع = 4 سم، والوتر س ع = 5 سم، فما مساحة المثلث؟
الحل بالصيغة العامة
م (س ص ع) = (1/2) × س ص × ص ع
م = (1/2) × (3) × (4)
م = (1/2 ) × 12
م = 6 سم^ 2
الحل بصيغة هيرون
مساحة المثلث = (نصف المحيط × (نصف المحيط - الضلع الأول) × (نصف المحيط - الضلع الثاني) × (نصف المحيط - الضلع الثالث))^( 1/2)
م = (ل) × (ل - س ص) × (ل - ص ع) × (ل - س ع))^(1/2)
نصف المحيط = (3 4 5 ) / 2
نصف المحيط = 6 سم
- التطبيق في قانون مساحة المثلث قائم الزاوية؛ م = (ل) × (ل - س ص) × (ل - ص ع ) × (ل - س ع))^(1/2)
م = ((6) × (6-3) × (6-4) × (6-5))^(1/2)
م = (6 × (3 × 2 ×1))^(1/2)
م = (6 × 6)^(1/2)
م = 6 سم^ 2
عندما يكون الوتر مجهولًا
مثلث س ص ع مثلث قائم الزاوية في ص، طول الضلع (س ص= 13 سم)، والضلع (ص ع= 33 سم)، ما هي مساحة المثلث؟
الحل بالصيغة العامة
م (س ص ع) = (1/2) × س ص × ص ع
م = (1/2) × (13) × (33 )
م = (1/2)× 429
م = 214.5 سم^ 2
الحل بصيغة هيرون
م = (ل × (ل - س ص) × (ل - ص ع) × (ل - س ع))^(1/2)
- احتساب وتر المثلث؛ (الوتر)^ 2 = (الضلع الأول)^ 2 (الضلع الثاني)^ 2
س ع^2 = (س ص)^2 (ص ع )^2
س ع^2 = (13)^2 (33 )^2
س ع^2 = 169 1089
س ع = 1258^(1/2)
س ع = 35.47 سم
نصف المحيط = (13 35.468 33 ) / 2
نصف المحيط = 40.734 سم
م = (ل × (ل - س ص) × (ل - ص ع ) × (ل - س ع))^(1/2)
م = ((40.734) × (40.734-13) × (40.734-33) × (40.734-35.468))^(1/2)
م = (40.734 × (27.734 × 7.734 × 5.266))^(1/2)
م = (40.734 × 1129.53)^(1/2)
م = 214.5 سم^( 2 )
عندما تكون الأضلاع مجهولة
إذا كان المثلث س ص ع مثلث قائم الزاوية في ص، وكانت الزاوية س تساوي 45ْ، والضلع ص ع يساوي 7 سم، كم مساحة المثلث؟
الحل بالصيغة العامة؛ م (س ص ع) = (1/2) × س ص × ص ع
- احتساب طول الضلع المتعامد؛ مجموع زوايا المثلث 180= (45 90 ع)
الزاوية ع = 45ْ
تساوي زاويتين من قياس 45ْ في المثلث يعني تساوي الضلعين المتعامدين فيه.
طول الضلع (س ص ) = 7 سم
- احتساب مساحة المثلث؛ م (س ص ع) = (1/2) × س ص × ص ع
م = (1/2) × 7 × 7
م = 24.5 سم^2
الحل بصيغة هيرون؛ م = (ل)*(ل-س ص)*(ل-ص ع )*(ل-س ع))^(1/2)
- احتساب الضلع المتعامد؛ مجموع زوايا المثلث 180= (45 90 ع)
الزاوية ع = 45ْ
تساوي زاويتين من قياس 45ْ في المثلث يعني تساوي الضلعين المتعامدين فيه.
طول الضلع (س ص) = 7 سم
- احتساب وتر المثلث؛ (الوتر)^ 2 = (الضلع الأول)^ 2 (الضلع الثاني)^ 2
س ع ^2 = (س ص)^2 (ص ع )^2
س ع ^2 = (7)^2 (7)^2
س ع = 9.9 سم
نصف المحيط = (7 7 9.9 ) / 2
نصف المحيط = 11.95 سم
- مساحة المثلث؛ م = (ل × (ل - س ص) × (ل - ص ع ) × (ل - س ع))^(1/2)
م = ((11.95) × (11.95-7) × (11.95-7) × (11.95-9.9) )^(1/2)
م = 24.5 سم^2
يستنتج مما سبق أن جميع الصيغ المستخدمة في حساب مساحة المثلث فعالة ومنطقية جدًا وسهلة الاستخدام مع الممارسة بكل تأكيد.
