القانون العام لمحيط المثلث
يُعرف المحيط على أنّه مجموع أطوال جميع جوانب المضلع أو أيّ شكل آخر، ووحدة قياس المحيط هي نفس وحدة القياس المستخدمة لقياس المسافة الخطية لأحد جوانب الشكل، ويتم حساب محيط المثلثات باتباع القانون الآتي:
محيط المثلث= أ ب ج
حيث إنّ:
- أ= طول الضلع الأول.
- ب= طول الضلع الثاني.
- ج= طول الضلع الثالث.
أمثلة على حساب محيط المثلث باستخدام القانون العام
مثال:
مثلث طول ضلعه الأول 203سم والثاني 208سم والثالث 145سم، جد محيطه.
الحل: - بتعويض قيم الأضلاع المعطاة في قانون محيط المثلث كالآتي: المحيط= أ ب ج
- المحيط= 203 208 145= 556سم
مثال:
تبلغ قيمة محيط مثلث ما 40سم، وطول كلّ من ضلعيه 10سم، جد طول الضلع الثالث.
الحل: - لإيجاد طول الضلع الثالث، من الممكن استخدام قانون محيط المثلث متساوي الساقين كالآتي: محيط المثلث متساوي الساقين=2*أ ب
- 40= 2*10 ب
- ب= 40-20= 20سم.
مثال:
يقع منزل كلّ من بوب وتوم وفريد داخل مضلع هندسي على شكل مثلث، فإذا كان منزل توم يبعد 7 أقدام عن منزل بوب، بينما يبعد منزل بوب عن منزل فريد 9 أقدام، والمسافة بين منزل فريد وتوم هي 5 أقدام، جد محيط المثلث الذي يقع ضمنه منازل الأشخاص الثلاث.
الحل: - بما أنّ محيط المثلث يُساوي مجموع أطوال أضلاعه الثلاث، فإنّ: المحيط = 5 7 9= 21 قدم.
قانون محيط المثلث متساوي الأضلاع
في حال كان المثلث متساوي الأضلاع أي أنّ أضلاعه الثلاثة متساوية في القياس، فيُمكن قياس محيطه من خلال القانون الآتي:
محيط المثلث = أ*3
حيث أنّ:
أمثلة على حساب محيط المثلث متساوي الأضلاع
مثال:
مثلث متساوي الأضلاع، طول الضلع الواحد يُساوي 18سم، جد محيطه.
الحل: - لحساب محيط مثلث متساوي الأضلاع، فإنّ القانون ينص على أنّ المحيط يُساوي أحد هذه الأضلاع مضروباً في 3، أيّ أنّ: المحيط = 3*أ
- المحيط= 3*18= 54سم.
مثال:
تبلغ مساحة مثلث متساوي الأضلاع 10سم، وارتفاعه يُساوي 10سم، جد محيطه.
الحل: - لإيجاد مساحة مثلث فإنّ القانون المتبع هو كالآتي: المساحة= 0.5* القاعدة*الارتفاع
- 10=0.5*القاعدة*10
- القاعدة=5/10=2
وبما أنّ المثلث متساوي الأضلاع، فإنّ المحيط= 3*أ=3*2=6سم.
قانون محيط المثلث قائم الزاوية
هناك حالة خاصة من أنواع المثلثات، وهي المثلثات قائمة الزاوية، والتي تُعرف على أنّها المثلثات التي يكون قياس أحد زواياها الثلاثة 90 درجة، حيث يخضع المثلث قائم الزاوية لنظرية فيثاغورس والتي تنص على أنّ مربع الوتر يُساوي حاصل مجموع مربعي قاعدة المثلث وضلعها القائم، وبالتالي يُمكن حساب و حل محيط المثلث قائم الزاوية كالآتي:
محيط المثلث= القاعدة القائم الوتر
وبصيغة أخرى:
محيط المثلث= القاعدة القائم (القاعدة^2 القائم^2)^(1/2)
حيث أنّ:
- الوتر^2= القاعدة^2 القائم^2 حسب نظرية فيثاغوروس.
أمثلة على حساب محيط المثلث قائم الزاوية
مثال:
مثلث قائم الزاوية، طول قاعدته 3سم، وارتفاعه 4سم، جد محيطه.
الحل: - لإيجاد طول وتر المثلث بحسب نظرية فيثاغورس فإنّ: الوتر= (القاعدة² الارتفاع²)^(1/2)
- الوتر= (²3 ²4)^(1/2)
- الوتر= 5سم.
وبما أن محيط المثلث قائم الزاوية= القاعدة الارتفاع الوتر، فإنّ: المحيط= 3 4 5= 12سم.
مثال:
مثلث قائم الزاوية، طول الوتر فيه يُساوي 91م، وطول القائم يُساوي 35م، جد محيطه.
الحل: - لإيجاد طول قاعدة المثلث فإنّه وبحسب نظرية فيثاغورس فإنّ: الوتر²= القاعدة² الارتفاع²
- القاعدة²=الوتر²-الارتفاع²
- القاعدة =(²91-²35)^(1/2)
- القاعدة=(7056)^(1/2)
- القاعدة=84م.
- المحيط= القاعدة القائم الوتر
- المحيط= 84 35 91
- المحيط=210م.
قانون محيط المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين
في حال كان المثلث قائم الزاوية متساوي الساقين، فإنّه من الممكن حساب محيطه باستخدام القانون الآتي:
محيط المثلث=أ (2 (2)^(1/2))
حيث إنّ:
- أ= أحد ضلعي المثلث المتساويين.
توصّل علماء الرياضيات إلى اشتقاق القانون بدءاً من محيط المثلث العام، حيث إنّ محيط المثلث يُساوي مجموع أطوال أضلاع المثلث، وعلى فرض أنّ (أ) تُعبّر عن أحد ضلعي المثلث متساوي الساقين ذي الزاوية القائمة، فإنّه وباستخدام نظرية فيثاغورس فإنّ:
الوتر^2= أ^2 أ^2
أيّ أنّ الوتر= أ* 2^(1/2) ومن هنا فإنّ:
- المحيط = أ أ (أ* 2^(1/2))
- المحيط=2*أ (أ* 2^(1/2))
- المحيط=أ* (2 2^(1/2))
أمثلة على حساب محيط المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين
مثال:
مثلث قائم الزاوية، يبلع طول كلا الضلعين الأصغرين فيه 12سم و 5سم على التوالي، جد محيطه.
الحل: - لإيجاد طول وتر المثلث بحسب نظرية فيثاغورس فإنّ: الوتر= (القاعدة² الارتفاع²)^(1/2)
- الوتر= (²5 ²12)^(1/2)
- الوتر= 13سم
وبما أنّ محيط المثلث قائم الزاوية= القاعدة الارتفاع الوتر، فإنّ: المحيط= 5 12 13= 30سم.
قانون محيط المثلث المعلوم منه ضلعين وزاوية محصورة بينهما
قد لا تكون الأطوال الثلاث للمثلث معلومةً، ومن هنا جاءت الحاجة إلى اشتقاق معادلات أخرى في علم المثلثات تُستخدم للوصول إلى قيمة محيط المثلث بناءً على المعطيات المتاحة، فمثلاً، في حال كان ضلعا المثلث وقياس الزاوية الواقعة بينهما معروفاً، فإنّه من الممكن حساب محيط المثلث من خلال استخدام قانون جيب تمام الزاوية لإيجاد طول الضلع الثالث، ثمّ حساب محيط المثلث باستخدام قيمة الجيب تمام كالآتي:
محيط المثلث= أ ب (أ² ب²-2*أ*ب*جتاس)^0.5
حيث إنّ:
- أ= طول الضلع الأول المجاور للزاوية س.
- ب= طول الضلع الثاني المجاور للزاوية س.
- جتاس= جيب تمام الزاوية المحصورة بين الضلعين أ و ب.
أمثلة على حساب محيط المثلث المعلوم منه ضلعين وزاوية محصورة بينهما
مثال:
مثلث طول ضلعيه 10سم و 12سم على التوالي، وقياس الزاوية المحصورة بينهما هو °97، جد محيطه.
الحل: - باستخدام قانون محيط جيب تمام الزاوية والذي ينص على أنّ: محيط المثلث= أ ب (أ² ب²-2*أ*ب*جتاس)^0.5.
- محيط المثلث= 10 12 (²10 ²12-2*10*12*جتا(97))^0.5
- محيط المثلث=22 (100 144-(240*-0.12)^0.5
- محيط المثلث=22 16.52
- محيط المثلث=38.52سم
قانون محيط المثلث المعلوم منه زاويتين وضلع محصور بينهما
في حال كانت المعطيات المتاحة عبارة عن زاويتين والضلع المحصور بينهما، فمن الممكن استخدام قانون جيب الزاوية للوصول إلى محيط المثلث كالآتي:
محيط المثلث= أ (أ/ جا(س ص))*(جاس جاص)
حيث إنّ:
- أ= الضلع المحصور بين الزاويتين س وص.
- جا س= جيب الزاوية س.
- جاص= جيب الزاوية ص.
أمثلة على حساب محيط المثلث المعلوم منه زاويتين وضلع محصور بينهما
مثلث قياس إحدى زواياه °30، وقياس الزاوية الأخرى °60، وقياس الضلع المحصور بينهما 12سم، جد محيطه.
الحل: - باستخدام قانون محيط جيب تمام الزاوية والذي ينص على أنّ: محيط المثلث= أ (أ/ جا(س ص))*(جاس جاص)
- محيط المثلث= 12 (12/ جا(30 60))*(جا30 جا60)
- محيط المثلث=12 (12/ جا(90))*(0.5 0.87)
- محيط المثلث=28.39سم
إنّ المحيط دائماً يُساوي مجموع أضلاع المثلث أيّاً كان نوعه، فالمثلث حاد الزاوية؛ وهو المثلث الذي يحتوي على زاوية داخلية قياسها أقل من 90 درجة، أو المثلث منفرج الزاوية؛ وهو المثلث الذي يحتوي على زاوية داخلية قياسها أكبر من 90 درجة، أو المثلث قائم الزاوية، فجميعها تخضع لنفس القانون المستخدم لحساب المحيط.
