التحويل من كسر عادي إلى كسر عشري
يُمثل الكسر العادي (Fraction Number) الجزء من الكل، بحيث يتكون من البسط والمقام، ويُمثل البسط عدد الأجزاء ويوجد في الجزء العلوي من الكسر، بينما يُمثل المقام العدد الكلي للأجزاء ويوجد في الجزء السفلي من الكسر، ويُكتب على صورة (أ/ب)، مثال: 5/7.
يُعرّف الكسر العشري (Decimal Number) بأنّه العدد الذي يتكون من جزئين، وهما: الجزء الصحيح والجزء العشري، ويفصل بينهما فاصلة عشرية، بحيث يقع الجزء الصحيح على يسار الفاصلة العشرية، بينما يقع الجزء العشري على يمين الفاصلة، وتكون قيمته أقل من واحد، مثال: 0.65.
وتوضح الطرق الآتية كيفية تحويل كسرعادي إلى كسر عشري:
استخدام الآلة الحاسبة
تُعد الآلة الحاسبة من طرق التحويل لكسر عشري، وهي من أبسط الطرق المُستخدمة لتحويل العدد الكسري ، وذلك باتباع الخطوات الآتية:
- كتابة البسط على الآلة الحاسبة.
- اختيار إشارة القسمة.
- كتابة المقام.
- قراءة الناتج والذي يُمثل العدد العشري ببساطة.
استخدام القسمة الطويلة
يُمكن استخدام القسمة الطويلة لتحويل الكسر عادي إلى عشري، وذلك باتّباع الخطوات الآتية:
- تبسيط الكسر العادي إلى أبسط صورة مُمكنة، وذلك بقسمة البسط والمقام على المعامل المشترك الأكبر بينهما، بحيث يُمثل البسط العدد المقسوم والمقام العدد المقسوم عليه.
- وضع إشارة القسمة الطويلة، ثم وضع البسط داخل رمز القسمة الطويلة أي في جهة اليمين، يليه وضع المقام خارج إشارة القسمة الطويلة أي في جهة اليسار، والناتج يُكتب أعلى إشارة القسمة الطويلة.
- البحث في قابلية قسمة المقسوم (البسط) على العدد المقسوم عليه (المقام).
- إذا كان يقبل يُقسم المقسوم على المقسوم عليه، ثم توضع نتيجة القسمة أسفل المقسوم.
- إذا كان لا يقبل يُوضع 0 في ناتج القسمة وفاصلة عشرية مع إضافة صفر للمقسوم.
المثال:
حوّل العدد 2/5 إلى عدد عشري.
الحل:
- تبسيط الكسر إلى أبسط صورة ممكنة:
الكسر 2/5 مكتوب بأبسط صورة ممكنة.
- كتابة إشارة القسمة الطويلة وتوزيع الأرقام:
ـــــ
2 | 5
- البحث في قابلية قسمة المقسوم على المقسوم عليه:
العدد 2 لا يقبل القسمة على العدد 5 لأنه أقل منه، وبالتالي يُوضع الرقم 0 في ناتج القسمة مباشرةً فوق العدد 2 وتوضع الفاصلة العشرية على يمينه كالآتي:
.0
20 | 5
- 0
20
أخذ أول عددين في المقسوم (البسط) وهو 20، بحيث يُقسم العدد 20 على العدد 5، ويُلاحظ بأنّ العدد 20 يقبل القسمة على العدد 5، والناتج هو 4، يُكتب الناتج فوق العدد 0 مباشرةً.
0.4
20 | 5
- 0
20
- 20
00
2/5 = 0.4
استخدام الرقم 10 ومضاعفاته
يُمكن تحويل الكسر العادي إلى كسر عشري باستخدام الرقم 10 ومضاعفاته، وذلك باتباع الخطوات الآتية:
- البحث عن عدد ليُضرب في المقام ويكون ناتج الضرب من مضاعفات العدد 10، أي 10، 100، 1000، ... وهكذا.
- يُضرب البسط والمقام في هذا العدد.
- يُحول الكسر العادي إلى كسر عشري من خلال وضع فاصلة عشرية على يمين البسط، ثم تحريكها إلى اليسار بمقدار عدد الأصفار الموجودة في المقام.
المثال:
حوّل العدد 1/5 إلى عدد عشري.
الحل:
- ضرب البسط والمقام في العدد 2 ليُصبح المقام من مضاعفات العدد 10: (5×2)/(1×2) = 2/10.
- وضع فاصلة عشرية على يمين البسط: 2.0
- تحريك الفاصلة إلى اليسار بمقدار عدد الأصفار في المقام، وهنا يُوجد صفر واحد في المقالم (10)، ولذلك تُحرّك الفاصلة بمنزلة واحدة إلى اليسار: 0.2
- إيجاد الناتج:
1/5 = 0.2
حفظ بعض الكسور وما يعادلها
يُوضّح الجدول الآتي بعض الكسور العادية الشائعة، وما يُعادلها من كسور عشرية:
| الكسر العادي | الكسر العشري |
| 1/2 | 0.5 |
| 1/3 | 0.333 |
| 2/3 | 0.666 |
| 1/4 | 0.25 |
| 3/4 | 0.75 |
| 1/5 | 0.2 |
| 2/5 | 0.4 |
| 3/5 | 0.6 |
| 4/5 | 0.8 |
| 1/10 | 0.1 |
أمثلة متنوعة على التحويل من كسر عادي إلى كسر عشري
فيما يأتي أمثلة متنوعة على كيفية تحويل كسر عادي إلى كسر عشري:
تحويل كسر عادي إلى كسر عشري باستخدام القسمة الطويلة
المثال (1):
حوّل العدد 9/12 إلى كسر عشري.
الحل:
- تبسيط الكسر العادي إلى أبسط صورة ممكنة:
9/12 = 3/4
- كتابة إشارة القسمة الطويلة وتوزيع الأرقام:
ـــــ
3 | 4
- البحث في قابلية قسمة المقسوم على المقسوم عليه:
العدد 3 لا يقبل القسمة على العدد 4 لأنه أقل منه، وبالتالي يُوضع الرقم 0 في ناتج القسمة مباشرةً فوق العدد 3 وتوضع الفاصلة العشرية على يمينه كالآتي:
.0
30 |4
00
30
أخذ أول عددين في المقسوم (البسط) وهو 30، بحيث يُقسم العدد 30 على العدد 4، ويُلاحظ بأنّ العدد 30 يقبل القسمة على العدد 4، والناتج هو 7، يُكتب الناتج فوق العدد 0 مباشرةً.
0.7
30 |4
00
30
27
3
- إضافة 0 إلى جانب العدد 3 وإكمال عملية القسمة، لأنه لا يقبل القسمة على العدد 4 كونه أصغر منه.
0.7
30 |4
00
30
27
30
- يُلاحظ بأنّ العدد 60 يقبل القسمة على العدد 12، والناتج هو 5.
0.75
30 |4
00
30
27
30
30
00
9/12 = 0.75
ملاحظة: يُمكن استخدام الآلة الحاسبة لقسمة العدد 9 على العدد 12 وإيجاد الناتج وهو: 0.75.
المثال (2):
حوّل العدد 5/25 إلى كسر عشري.
الحل:
- تبسيط الكسر إلى أبسط صورة ممكنة:
تبسيط الكسر 5/25 = 1/5
- كتابة إشارة القسمة الطويلة وتوزيع الأرقام:
ـــــ
1 | 5
- البحث في قابلية قسمة المقسوم على المقسوم عليه:
العدد 1 لا يقبل القسمة على العدد 5 لأنه أقل منه، وبالتالي يُوضع الرقم 0 في ناتج القسمة مباشرةً فوق العدد 1 وتوضع الفاصلة العشرية على يمينه كالآتي:
.0
10 |5
00
10
أخذ أول عددين في المقسوم (البسط) وهو 10، بحيث يُقسم العدد 10 على العدد 5، ويُلاحظ بأنّ العدد 30 يقبل القسمة على العدد 5، والناتج هو 2، يُكتب الناتج فوق العدد 0 مباشرةً.
0.2
10 |5
00
10
10
0
9/12 = 0.75
ملاحظة: يُمكن استخدام الآلة الحاسبة لقسمة العدد 5 على العدد 25 وإيجاد الناتج وهو: 0.2.
تحويل كسر عادي إلى كسر عشري باستخدام الرقم 10 ومضاعفاته
المثال (1):
حوّل العدد 7/50 إلى كسر عشري.
الحل:
- ضرب البسط والمقام في العدد 2، ليُصبح المقام من مضاعفات العدد 10: (2×50)/(2×7) = 14/100.
- وضع فاصلة عشرية على يمين البسط: 14.0
- تحريك الفاصلة إلى اليسار بمقدار عدد الأصفار في المقام، وهنا يوجد صفرين، ولذلك تُحرك الفاصلة بمنزلتين إلى اليسار: 0.14
- إيجاد الناتج:
7/50 = 0.14
ملاحظة: يُمكن استخدام الآلة الحاسبة لقسمة العدد 7 على العدد 50 وإيجاد الناتج وهو: 0.14.
المثال (2):
حوّل العدد 3/125 إلى كسر عشري.
الحل:
- ضرب البسط والمقام في العدد 8، ليُصبح المقام من مضاعفات العدد 10: (8×125)/(8×3) = 24/1000.
- وضع فاصلة عشرية على يمين البسط: 24.0
- تحريك الفاصلة إلى اليسار بمقدار عدد الأصفار في المقام، وهنا يوجد 3 أصفار، ولذلك تُحرك الفاصلة بمقدار 3 منازل إلى اليسار: 0.024
- إيجاد الناتج:
3/125 = 0.024
ملاحظة: يُمكن استخدام الآلة الحاسبة لقسمة العدد 3 على العدد 125 وإيجاد الناتج وهو: 0.024.
يوجد عدة طرق يُمكن اتباعها لتحويل الكسر العادي إلى كسر عشري، بعضها لا يحتاج إلى خطوات حل كاستخدام الآلة الحاسبة وحفظ بعض الكسور وما يُعادلها، وبعضها الآخر يتطلب إجراء مجموعة عمليات حسابية كاستخدام القسمة الطويلة واستخدام الرقم 10 ومضاعفاته.
التحويل من كسر عشري إلى كسر عادي
يُمكن تحويل العدد العشري إلى كسر عادي، وفيما يأتي توضيح لطرق التحويل لكسر عادي:
كسر عشري بدون جزء صحيح
يُمكن تحويل كسر عشري بدون جزء صحيح إلى كسر عادي باتّباع الخطوات الآتية:
- تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي، بوضع الرقم 1 في المقام، مثال: 0.5 ← 0.5/1.
- ضرب البسط والمقام في العدد 10 أو مضاعفاته وذلك حسب عدد المنازل على يمين الفاصلة العشرية، فإذا كانت منزلة واحدة يُضرب بالعدد 10، وإذا كانت منزلتين يُضرب بالعدد 100، وهكذا.
- ضرب البسط والمقام في المثال السابق في العدد 10، لأنّه يوجد منزلة واحدة على يمين الفاصلة العشرية: (10×1)/(10×0.5) = 5/10.
- تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر بينهما وهو العدد 5 ← (5÷10)/(5÷5) = 1/2.
كسر عشري مع جزء صحيح
يُمكن تحويل كسر عشري مع جزء صحيح إلى كسر عادي باتّباع الخطوات الآتية:
- تحويل بدايةً الجزء العشري إلى كسر عادي، ويُوضع الجزء الصحيح جانبًا، مثال: 2.52 ← يُوضع الجزء الصحيح (2) جانبًا، ويحوّل الجزء العشري (0.52) إلى كسر عادي .
- تحويل الجزء العشري إلى كسر عادي بوضع الرقم 1 في المقام، مثال: 0.52 ← 0.52/1.
- يضرب البسط والمقام في المثال السابق في العدد 100، لأنّه يوجد منزلتين على يمين الفاصلة العشرية: (100×1)/(100×0.52) = 52/100.
- تبسيط الكسر إلى أبسط صورة بقسمة البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر بينهما، وهو العدد 4 ← (4÷100)/(4÷52) = 13/25.
- وضع الجزء الصحيح إلى جانب الكسر العادي ← 13/25 2؛ يُعرف هذا النوع من الكسور بالكسر المختلط، أو العدد الكسري.
- تحويل العدد الكسري إلى كسر عادي بضرب العدد الصحيح في مقام الكسر، ثم جمع الناتج مع بسط الكسر، ثم وضع البسط الجديد على مقام الكسر الأصلي:
- (13/25) 2 ← 25/(13 (2×25)) = 63/25.
أمثلة متنوعة على التحويل من كسر عشري إلى كسر عادي
ندرج فيما يأتي أمثلة متنوعة على التحويل من كسر عشري إلى كسر عادي:
تحويل كسر عشري بدون جزء صحيح إلى كسر عادي
المثال (1):
حوّل العدد 0.452 إلى كسر عادي.
الحل:
- وضع الرقم 1 في المقام، 0.452 ← 0.452/1.
- ضرب البسط والمقام في العدد 1000، لأنّه يوجد 3 منازل على يمين الفاصلة العشرية: (1000×1)/(1000×0.452) = 452/1000.
- تبسيط الكسر إلى أبسط صورة ممكنة، بقسمة البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر بينهما، وهو العدد 4 ← (4÷1000)/(4÷452) = 113/250.
- إيجاد الناتج:
0.452 ← 113/250
المثال (2):
حوّل العدد 0.68 إلى كسر عادي.
الحل:
- وضع الرقم 1 في المقام، 0.68 ← 0.68/1.
- ضرب البسط والمقام في العدد 100 لأنّه يوجد منزلتين على يمين الفاصلة العشرية: (100×1)/(100×0.68) = 68/100.
- تبسيط الكسر إلى أبسط صورة ممكنة، بقسمة البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر بينهما وهو العدد 4 ← (4÷100)/(4÷68) = 17/25.
- إيجاد الناتج:
0.68 ← 17/25
تحويل كسر عشري مع جزء صحيح إلى كسر عادي
المثال (2):
حوّل العدد 4.13 إلى كسر عادي.
الحل:
- تحويل الجزء العشري إلى كسر عادي ويوضع الجزء الصحيح جانبًا.
- تحويل الجزء العشري إلى كسر عادي بوضع الرقم 1 في المقام، مثال: 0.13 ← 0.13/1.
- ضرب البسط والمقام في العدد 100 لأنّه يوجد منزلتين على يمين الفاصلة العشرية: (100×1)/(100×0.13) = 13/100.
- وضع الجزء الصحيح إلى جانب الكسر العادي ← (13/100) 4.
- تحويل الكسر المختلط إلى كسر عادي: (13/100) 4 ← 100/(13 (4×100)) = 413/100.
- إيجاد الناتج:
4.13 ← 413/100
المثال (2):
حوّل العدد 7.6 إلى كسر عادي.
الحل:
- تحويل الجزء العشري إلى كسر عادي ويوضع الجزء الصحيح جانبًا.
- تحويل الجزء العشري إلى كسر عادي بوضع الرقم 1 في المقام، مثال: 0.6 ← 0.6/1.
- ضرب البسط والمقام في العدد 10، لأنّه يوجد منزلة واحدة على يمين الفاصلة العشرية: (10×1)/(10×0.6) = 6/10.
- تبسيط الكسر إلى أبسط صورة ممكنة، بقسمة البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر بينهما، وهو العدد 2 ← (2÷10)/(2÷6) = 3/5.
- وضع الجزء الصحيح إلى جانب الكسر العادي ← (3/5) 7.
- تحويل الكسر المختلط إلى كسر عادي: (3/5) 7 ← 5/(3 (7×5)) = 38/5.
- إيجاد الناتج:
7.6 ← 38/5
قد تكون الأعداد في الرياضيات صحيحة أو نسبية أو غيرها، ويُمكن التفريق بين الأعداد العشرية والأعداد الكسرية من خلال أن العدد الكسري يُكتب على صورة بسط ومقام (أ/ب)، بينما يُكتب العدد العشري مكونًا من جزء صحيح وجزء عشري يفصل بينهما فاصلة عشرية، وهناك عدة طرق يُمكن من خلالها التحويل بين هذين النوعين.
