طرق حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الأولى

طرق حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الأولى

حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الأولى

تعرف المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى بأنها عبارة عن معادلة تحتوي على متغيرين (س,ص) حيث يكون فيها المشتقة الأولى (دص/ دس) ولا يوجد أي مشتقة أخرى برتبة أعلى منها في المعادلة، أما الشكل العام للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الأولى هو:دص/ دس ص×ط(س) = ق(س)؛ حيث أن ط(س), ق(س) هي دوال رياضية للمتغير س. وفي حالة إيجاد الحل للمعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الأولى يتم اللجوء إلى استخدام إحدى هاتين طريقتين وهما: الأولى هي استخدام العامل المكامل، أما الثانية فهي استخدام ثابت التباين؛ حيث سيتم شرح كل من الطريقتين بشكل مفصل فيما يلي:

باستخدام العامل المكامل (integrating factor)

يتم استخدام هذه الطريقة في حالة كتابة المعادلة على الشكل العام لها؛ حيث يتم حلها بما يسمى العامل المكامل ك(س) والذي تكتب صيغته على شكل:

ك(س) = ه ـ‍ ^ ( ∫ (ط(س) دس))، حيث أن هـ‍ هو العدد النيبيري والذي يساوي تقريباً 2.72.

وينتج منه الحل العام للمعادلة باستخدام العامل المكامل وهو:

ص = ( ∫ ( ك(س)×ق(س)×دس ج) / ك(س)

مثال: أوجد حل هذه المعادلة دص/دس - ص - س×هـ‍^س = 0، باستخدام العامل المكامل.

الحل:

  1. نعيد كتابة المعادلة على الصورة العامة لها: دص/دس - ص = س× هـ‍ ^س
  2. نقوم بإيجاد العامل المكامل لها، حيث يكون ط(س) = -1؛ أي معامل ص.
    1. ك(س) = هـ‍ ^ ( ∫ (ط(س)× دس))
    2. ك(س) = هـ‍ ^ ( ∫ (-1× دس))
    3. ك(س) = هـ‍ ^(- س)
  3. باستخدام الحل العام تصبح:
    1. ص = ( ∫ ( ك(س)×ق(س)×دس ج) / ك(س)؛ حيث أن ق(س) = س× هـ‍ ^س
    2. ص = ( ∫ ( هـ‍ ^(- س)× س× هـ‍ ^س ج) / هـ‍ ^(- س)
    3. ص= ( ∫ (س×دس ج )) / هـ‍ ^(- س)
    4. ص = هـ‍ ^( س)× (( س^2/ 2 ج))

باستخدام ثابت التباين (variation of constant)

في هذه الطريقة يتم كتابة المعادلة على الصورة العامة للمعادلات التفاضلية المتجانسة والتي هي:

دص/ دس ص×ط(س) = 0

حيث أن حل هذه المعادلة يتطلب إيجاد التكامل في خطوة من الخطوات والتي من خلالها نحصل على ثابت التكامل ج، فهذه الطريقة تقوم بتحويل ثابت التكامل إلى متغير غير معروفة قيمته ج(س) والذي يتم استبداله في المعادلة التفاضلية غير المتجانسة المعطاة في السؤال للوصول إلى الحل؛ هذا المثال التالي يشرح طريقة عمل طريقة ثابت التباين:

مثال: أوجد حل المعادلة التالية س×دص/دس = ص 2×س^(3)، باستخدام طريقة ثابت التكامل.

الحل:

  1. اكتب المعادلة المعطاة على صيغة معادلة تفاضلية متجانسة: دص/ دس ص×ط(س) = 0
  2. حل المعادلة عن طريق إيجاد قيمة ص؛ من خلال فصل المتغيرات.
  3. دص/ ص = دس/ س؛ وبتكامل الطرفين ينتج:
    1. لو هـ‍ (ص) = لوهـ‍ (س) لوهـ‍ (ج)
    2. ص = س×ج
  4. استبدل ج بدالة ج(س) لإيجاد حل المعادلة التفاضلية غير المتجانسة:
    1. ص = س×ج
    2. دص/ دس = جَ ًََ ً(س) ×س ج(س)
    3. س× (جَ(س)×س ج(س)) = ج(س)×س 2×س^(3)؛ تم استبدال (دص/ دس) و(ص) من المعادلة الأصلية المعطاة بالسؤال.
  5. جَ(س) = 2س؛ وبتكامل الطرفين ينتج: ج(س) = س^2 ج1
  6. وبذلك يكون الحل العام للمعادلة هو:
    1. ص = ج(س)×س
    2. ص = ( س^2 ج1)×س
    3. ص = س^3 س×ج1
2023-12-178تعليم
مزيد من المشاركات
تقشير البشرة بالليزر

تقشير البشرة بالليزر

تقشير البشرة بالليزر يُعرف الليزر على أنّه أضواء أحادية اللون، مُكثّفة جدّاً، تظهر ضمن شريط ضيّق من الطول الموجي، ويتم استخدامها على الجلد لتعزيز الخلايا الليفية التي تُكَوّن الأنسجة الضّامة في الجلد، وتُسهّل التئام الجروح، والتي تحلّ بدورها محلّ الكولّاجين، ويُستخدم الليزر للعناية بالعديد من أمور البشرة المُختلفة، مثل: علاج حبّ الشباب، وتقشير البشرة، وإزالة الشعر الزائد عن الجلد، بالإضافة لتفتيح لون البشرة ، وسيتم الحديث في هذا المقال عن الحالات المُختلفة التي يتم استخدام الليزر فيها للبشرة،
ما فوائد البردقوش للرجال

ما فوائد البردقوش للرجال

هل يوفر البردقوش فوائد خاصة للرجال بينت إحدى الدراسات التي أُجريت على الحيوانات ونشرتها مجلّة Egyptian Journal of Basic and Applied Sciences عام 2015، وجود احتمالية بأن يساعد نبات البردقوش على تعزيز الخصوبة لدى الذكور، وذلك عن طريق خفض تراكم دهون الخصية، ورفع هرمونات الأندروجين (بالإنجليزية: Androgen) وعدد الحيوانات المنويّة، بالإضافة إلى تحسين هيكل الخصية، ولكن يجدر التنبيه إلى أنّ هذه الدراسة أُجريت على الحيوانات، وما زال هذا التأثير بحاجةٍ الى مزيد من الدراسات لتأكيده على البشر. ويجدر
أين تقع مدينة مانيلا

أين تقع مدينة مانيلا

مدينة مانيلا مانيلا واحدة من المدن الست عشرة في البلاد الفلبينيّة، وتنقسم إلى العديد من المناطق التشريعيّة، والجغرافيّة وهي: أرميتا، وانتراموروس، ومالات، وباكو، وبانداكان، والميناء المنطقة، وتشوى بو، وسامبلوك، وسان اندريس، وسان ميغيل، وسان نيكولا، وسانتا آنا، وسانتا كروز، وسانتا ميسا، وتوندو، وبينودو؛ وتعدّ العاصمة السياسيّة والاقتصاديّة في الفلبيين، وموطناً للتجارة الواسعة في البلاد، وتحتوي على العديد من المؤسسات التعليميّة، والمراكز الرياضيّة، ويصل تعدادها السكانيّ إلى ما يزيد عن الملونين
ما جزاء عقوق الوالدين

ما جزاء عقوق الوالدين

برّ الوالدين جاءت الشريعة الإسلاميّة بنظام مُحكَم يهدف إلى صيانة المجتمع من الفوضى والفساد، ويسعى إلى تحقيق الأمن المجتمعيّ لحياة طيّبة؛ حتّى يتمكّن العباد من عمارة الأرض على منهج الإسلام السويّ، ومن المنهج الحكيم أداء الحقوق والواجبات، ولمّا كان الوالدان سبب وجود كلٍّ منّا بإرادة المولى سبحانه وسبباً في تكوين الأسرة ، فقد أولاهما الإسلام عناية خاصّة وأوجب لهما حقوقاً كثيرةً، وقد زخرت النصوص الشرعية بالدعوة إلى حفظ حقوق الوالدين ، وطاعة أوامرهما بكلّ خير وفضيلة، وتكريمهما، والعناية بهما،
أفضل مايقال في يوم عرفة

أفضل مايقال في يوم عرفة

خير ما يقال في يوم عرفة من الدعاء ثبت عن النبي -صلى الله عليه وسلم- أنَ يوم عرفة يعد أحد الأيام الفضيلة، وثبت كذلك أنَّ خير الدعاء ما كان فيه؛ فقال النبي -صلى الله عليه وسلم-: (خيرُ الدُّعاءِ دعاءُ يومِ عرفةَ، وخيرُ ما قلتُ أَنا والنَّبيُّونَ من قبلي: لا إلَهَ إلَّا اللَّهُ وحدَهُ لا شريكَ لَهُ، لَهُ الملكُ ولَهُ الحمدُ وَهوَ على كلِّ شَيءٍ قديرٌ). وقال بعض العلماء إنَّ عبارة هذا الحديث لا تقتضي أن يكون الدعاء قوله: (لا إلَهَ إلَّا اللَّهُ وحدَهُ لا شريكَ لَهُ، لَهُ الملكُ ولَهُ الحمدُ وَهوَ
كلمات عن شعور الأمومة

كلمات عن شعور الأمومة

كلمات عن الأمومة الأم نبع الحب والحنان والدفيء، الأم التي تعد مصدر الطمأنينة والسعادة والأمان، الأم كلمة عدد حروفها قليل لكن معناها عظيم لا تكفيه بضعة سطور من أجل شرحه، ولا توجد كلمات معبرة تكفي لتوضيح ذلك المعنى. أنعم الله على الإنسان بنعم كثيرة إلا أن أجل واعظم تلك النعم هي الأم، ذلك المخلوق العظيم، الملاك الطاهر، وعندما نتكلم عنها فإننا نتكلم عن أجمل المشاعر والأحاسيس، عن الحب والخير والطيبة والأمان والحنان والتضحية. الأمومة هو ذلك الشعور الذي تطمح له كل أنثى ، ولو علا شأنها ومكانتها في
الماموث المتجمد في سيبيريا

الماموث المتجمد في سيبيريا

ما هو الماموث المتجمد في سيبيريا؟ الماموث (بالإنجليزية: Woolly Mammoth) هو من الثديات الضخمة، والتي عاشت في المناطق المتجمدة والشمالية قبل أن تنقرض في 1700 قبل الميلاد تقريباً، ويعتقد العلماء أن حيوان الماموث والفيلة الحديثة جاءا من نفس السلالة. اكتشف الباحثون اثنين من جثث صغار الماموث متجمدتين في الجليد، يعود تاريخهما إلى حوالي 40 ألف عام حيث تم العثور عليهما في منطقتين مختلفتين من سيبيريا، ولمعرفة سبب الوفاة، قام العلماء بعمل صورة مقطعية لهذه الحيوانات، فوجدوا أنها قد اختنقت بالطين، مع
عدد السور في القرآن

عدد السور في القرآن

القرآن الكريم القرآن الكريم هو الكتاب المقدّس والكتاب الرئيسي في الإسلام؛ حيث يُعظّمه المسلمون في كل مكان على مر العصور، وهو كلام الله المعجز المنزل على سيّدنا محمد عليه السلام للبيان والإعجاز، وهو منقول بالتواتر محفوظ في الصدور والسطور، تعهّد الله بحفظه من التحريف والضياع. يُعتبر القرآن الكريم آخر الكتب السماويّة بعد التوراة والإنجيل وصحف إبراهيم والزبور، وتميّز عن جميع الكتب الدنيويّة بفصاحته وبلاغته وبيانه حيث يعتبره الكثير من فلاطحة العربيّة مرجعاً لهم كسيبويه وأبو الأسود الدؤلي، ولم ينزل