خصائص النهايات

ما هي خصائص النهايات؟

تعتبر النهاية (بالإنجليزية: Limit) في علم الرياضيات من المفاهيم الرياضية التي يتم استخدامها لإيجاد القيمة الناتجة عن اقتراب قيمة س للاقتران ق(س) من قيمة معينة أخرى، فمثلاً لنفرض أنّ لدينا الاقتران ق(س)؛ فإنّ هذا الاقتران يقترب من قيمة الثابت ل، عندما تقترب قيمة س من القيمة أ، ويعبّر عن ذلك بالصيغة الآتية: نها_س←أ ق(س) = ل، وتُقرأ كما يلي: نهاية الاقتران ق(س) تساوي ل عندما تؤول؛ أي تقترب قيمة س من القيمة أ.

هناك العديد من الخصائص المتعلقة بالنهايات، وهي كالآتي:

• نهاية مجموع اقترانين معاً، تساوي مجموع نهاية كل منهما لوحده؛ أي أنّ:
  • نها_س←أ (ق(س) ع(س)) = نها_س←أ ق(س) نها_س←أ ع(س).
• نهاية الثابت تساوي الثابت نفسه؛ أي أنّ:
  • نها_س←أ جـ = جـ، حيث جـ عدد ثابت.
• ناتج ضرب الثابت في نهاية الاقتران يساوي ناتج نهاية الثابت مضروباً بالاقتران؛ أي أنّ:
  • نها_س←أ جـ×ق(س) = جـ×نها_س←أ ق (س)؛ حيث جـ عدد ثابت.
• النهاية تتوزع على عملية الضرب، أي أنّ:
  • نها_س←أ ق(س)×ع(س) = نها _س←أ ق(س)×نها_س←أ ع(س).
• النهاية تتوزع على عملية القسمة، أي أنّ:
  • نها_س←أ ق(س)/ع(س) = نها _س←أ ق(س)/نها_س←أ ع(س)، بشرط أن لا تكون نها _س←أ ع(س) تساوي صفر.
• نهاية الاقتران المرفوع لأس ما، تساوي ناتج رفع نهاية الاقتران لنفس الأس:
  • نها_س←أ (ق(س)) = (نها _س←أ ق(س)).
• نها_س←أ س = أ؛ أي أن نهاية الاقتران ق(س)=س عندما تقترب قيمة س من القيمة أ تساوي القيمة أ.

طرق حساب النهايات

عند إيجاد قيمة النهاية فإنه يجب أولاً تعويض قيمة أ التي تقترب منها س في الاقتران، ليمثل الناتج قيمة النهاية، أما في حال الحصول على قيمة غير معرّفة؛ أي أن النتيجة عدد/صفر، أو صفر/صفر، فإنه يجب اللجوء إلى طرق حل أخرى لإيجاد قيمة النهاية، وفيما يلي توضيح لكل طريقة من هذه الطرق:

طريقة التعويض

وفيها يتم تعويض القيمة التي تقترب منها س في الاقتران كما ذُكر سابقاً؛ أي إيجاد قيمة ق(أ)؛ لإيجاد ناتج النهاية، وذلك مثل:

• جد قيمة: نها_س←5 (س²-6س 8)/(س-4).
• إيجاد النهاية كما يلي: ق(5)= ((5)²-(6×5) 8)/(5-4) = 3؛ أي أنّ: نها_س←5 (س²-6س 8)/(س-4) = 3.

طريقة التحليل إلى العوامل

في طريقة التحليل إلى العوامل يتم تحليل البسط، أو المقام، أو كليهما إلى عوامله ثم اختصار العوامل المشتركة من البسط مع المقام ، وذلك عند وجود كثير حدود في كل من البسط والمقام، ليتم الحصول على كثير حدود جديد، يمكن الحصول على قيمة النهاية من خلاله عن طريق التعويض فيه؛ مثل:

• جد قيمة: نها_س←4 (س²-6س 8)/(س-4).
• بتعويض العدد 4 في الاقتران نحصل على القيمة: صفر/صفر، وبالتالي يجب اللجوء إلى طريقة التحليل إلى العوامل كما يلي: نها_س←4 (س²-6س 8)/(س-4) = نها_س←4 (س-4)(س 2)/(س-4).
• باختصار الحد (س - 4) من البسط، والمقام نحصل على: نها_س←4 (س-2)، وبعد ذلك يتم إيجاد ق(4)؛ أي استخدام طريقة التعويض فنحصل على: ق(4)= 4-2 = 2، أي أن قيمة نها_س←4 (س²-6س 8)/(س-4)=2.

طريقة الضرب بالمرافق

يتم استخدام هذه الطريقة عند وجود جذر تربيعي في البسط، وكثير حدود في المقام، وفشل طريقة التعويض؛ أي الحصول على القيمة صفر في المقام، وفي هذه الطريقة يتم ضرب كل من البسط والمقام بمرافق الجذر، للاستفادة من الخاصية (عدد√×عدد√ = عدد بدون جذر)، والمثال الآتي يوضّح ذلك:

• جد قيمة: نها_س←13 ((س-4)√-3)/(س-13)
• ضرب البسط، والمقام بمرافق الكسر أي بالقيمة الآتية: ((س-4)√ 3)
• بتجميع الحدود وتبسيطها نحصل على: نها_س←13 (س-13)/ (س-13)×(س- 4)√ 3).
• باختصار الحد (س-13) من البسط والمقام نحصل على: نها_س←13 1/((س-4)√ 3).
• بتعويض العدد 13 في الاقتران الناتج نحصل على القيمة: 1/6؛ أي أنّ: نها _س←13 ((س-4)√-3)/(س-13) = نها_س←13 1/((س-4)√ 3) = 1/6.

طريقة توحيد المقامات

تُستخدم هذه الطريقة في حالة فشل طريقتي التعويض والتحليل إلى العوامل، وعدم وجود جذر تربيعي في المقام، ووجود كسر في البسط، والمثال الآتي يوضّح ذلك:

• جد قيمة: نها _س←0 [(1/(س 6))-(1/6)]/س.
• بتوحيد المقامات للكسر الموجود في البسط نحصل على: نها س←0 (6-(س 6))/(6×(س 6))÷س = نها_س←0 -س/6(س 6)÷س = نها_س←0 -1/ 6×(س 6)
• بتعويض قيمة س=0 نحصل على: نها _س←0 [(1/(س 6))-(1/6)]/س = نها_س←0 -1/ 6×(س 6) = -1/36.

قانون لوبيتال

يمكن حل النهايات كذلك عند فشل طريقة التعويض بطريقة تتمثل باشتقاق الاقتران كما يلي: نها_س←أ ق(س)/د(س) = نها_س←أ قَ(س)/دَ(س)، والمثال الآتي يوضّح ذلك:

• جد قيمة: نها س←0 هـ -1-س-س2/÷س.
• باشتقاق كل من البسط والمقام ينتج أن: نها س←0 هـ -1-س÷3س.
• باشتقاق كل من البسط والمقام ينتج أن: نها س←0 هـ ÷6.
• بتعويض قيمة س=0 نحصل على: نها س←0 هـ ÷6 = 1/6.

الفرق بين النهاية والاقتران

هناك فرق بين النهاية، وقيمة الاقتران عند النقطة س؛ فالنهاية تعني القيمة التي تقترب منها قيمة الاقتران ق(س) عندما تقترب قيمة المتغير س من قيمة معينة مثل أ مثلاً، أما قيمة الاقتران عند النقطة س فتعني العدد المقابل للمتغير س مباشرةً على منحنى الاقتران، فالنهاية لا تعني القيمة عند النقطة س=أ مباشرة، وإنما القيمة حول النقطة س=أ، ولتوضيح مفهوم النهاية إليك بشكل أكبر إليك المثال الآتي:

• مثال: الجدول الآتي يوضّح القيم التي تقترب منها قيمة الاقتران ق (س)= 4/3س-4، عندما تقترب قيمة س من القيمة 6؛ أي نها_س←6 4/3س-4، وذلك كما في الجدول الآتي:

• يُلاحظ من الجدول السابق أنّ قيم ق (س) تقترب من القيمة 4 كلما اقتربت قيمة المتغير س من القيمة 6، وبالتالي فإنّ: نها_س←6 4/3س-4 = 4.

يجدر بالذكر هنا أن النهاية من جهة واحدة تعني ما يلي:

• النهاية من اليمين: يُرمز لها بالرمز نها _س←أ، وتعني قيمة النهاية عندما تكون قيم س أكبر من أ، أي القيم التي على يمين العدد أ.
• النهاية من اليسار: يُرمز لها بالرمز نها _س←أ، وتعني قيمة النهاية عندما تكون قيم س أقل من أ، أي القيم التي على يسار العدد أ.

ملاحظة: إنّ النهاية تكون موجودة فقط إذا كانت قيمة النهاية من اليمين تساوي قيمة النهاية من اليسار، وإذا كانت النهاية من اليمين لا تساوي النهاية من اليسار فإن النهاية تكون غير موجودة.

أمثلة متنوعة حول حساب النهايات

وفيما يأتي أمثلة متنوعة حول حساب النهايات:

• المثال الأول: ما هي قيمة النهاية الآتية: نها _س←2 (س² 4س-12)/ (س²-2س)؟

الحل:

• باستخدام طريقة التعويض يتم تعويض قيمة س في هذه النهاية كما يلي: 2² (4×2) - 12/2²-(2×2)= صفر/صفر.
• وبالتالي نحتاج إلى طريقة أخرى لحل هذه النهاية، وأنسب طريقة هي التحليل إلى العوامل، وذلك كما يلي:
  • نها _س←2 (س² 4س-12)/(س²-2س) = نها _س←2 (س-2)(س 6) / س×(س-2).
  • باختصار الحد (س-2) من البسط، والمقام نحصل على: نها _س←2 (س 6)/(س).
• بتعويض العدد 2 في النهاية نحصل على: نها _س←2 (س 6)/(س)= 8/2 = 4.

• المثال الثاني: ما هي قيمة النهاية الآتية: نها_س←0 1 -جتاس/س؟

الحل:

• يمكن حل هذا السؤال عن طريق كتابة جدول يوضّح العلاقة بين قيم س، وص ثم إيجاد قيم ص عندما تقترب س من الصفر؛ أي تعويض قيم مختلفة لـ س، مثل: -0.1، -0.01، -0.001، وحساب قيم ص لكل منها، وملاحظة القيمة التي تقترب منها ص كلما اقتربت قيمة س من الصفر، ولكن هذه الطريقة طويلة، وتحتاج إلى وقت.
• وبالتالي فإنه يمكن حل هذا السؤال بخطوة واحدة باستخدام قاعدة لوبيتال، والتي يتم من خلالها إيجاد مشتقة البسط/مشتقة المقام، ثم تعويض قيمة س كما يلي:
  • نها_س←0 جاس/1.
  • بتعويض قيمة س=0 في: نها_س←0 جاس/1، فإننا نحصل على الإجابة صفر؛ أي أن: نها_س←0 1 -جتاس/س =0.

• المثال الثالث: ما هي قيمة النهاية الآتية: نها _س←2 (س³ 2س² 4س-2)؟

الحل: يمكن حل هذا السؤال باستخدام طريقة التعويض كما يلي: 2³ (2×2²) (4×2)-2= 22.

• المثال الرابع: ما هي قيمة: نها _س←2 ق(س)، علما بأنّ: ق(س) اقتران متشعب قيمته ق(س) = س 3 إذا كانت قيم س أقل من أو تساوي 2، ق(س) = -س 7 إذا كانت قيم س أكبر من 2؟

الحل:

• لإيجاد قيمة النهاية فإنه يتم البحث عنها من اليمين، واليسار أي تعويض قيمة س عندما تكون قيمة س أكبر من 2، وعندما تكون قيمة س أقل من 2، وذلك كما يلي:
  • النهاية من اليمين = 2 3 = 5
  • النهاية من اليسار = -2 7 = 5
• بما أن النهاية من اليمين تساوي النهاية من اليسار فإن النهاية موجودة، وتساوي 5.

• المثال الخامس: ما هي قيمة النهاية الآتية: نها _س←∞ 1/(س-1)؟

الحل:

• يمكن حل هذا السؤال باستخدام قاعدة لوبيتال أي باشتقاق البسط، والمقام ثم تعويض قيمة س، وذلك كما يلي:
  • باستقاق البسط، والمقام نحصل على نها _س←∞ 1/(س-1)= 1/(1-0).
  • وهذا يعني أن قيمة النهاية تساوي 1.

• المثال السادس: ما هي قيمة: نها _س←10( 2×س×لوس³)؟

الحل:

• بما أن النهاية تتوزع على الضرب فإن: نها _س←10 2 س×نها _س←10 لو س³.
• باستخدام طريقة التعويض فإنّ: 2×10×لو(1000)، وبالتالي نحصل على النتيجة: 2×10×3 = 60.

• المثال السابع: ما هي نهاية الاقتران الآتي: نها _س←0 1/س؟

الحل: باستخدام طريقة التعويض فإنّ: نها _س←0 1/س = 1/0، وعليه يمكن حل المسألة من خلال رسم منحنى 1/س ثم إيجاد قيمة ص عندما تؤول قيمة س إلى الصفر من اليسار، وهي تساوي ∞-.

• المثال الثامن: ما هي قيمة: نها_س←0 (س² 9)√-3/س²؟

الحل:

• باستخدام طريقة التعويض نحصل على: صفر/صفر، وبالتالي فإنه يجب اللجوء إلى طرق حل أخرى للنهاية، وبما أن المسألة تحتوي على جذر فإن أنسب طريقة هي الضرب بالمرافق.
• بضرب البسط، والمقام بالمقدار (س² 9)√ 3، وتجميع الحدود نحصل على:
  • نها_س←0 (س² 9-9)/ س²×((س² 9)√ 3)
  • باختصار المقدار س² في البسط، والمقام نحصل على: نها_س←0 1/((س² 9)√ 3).
• تعويض قيمة س في نها_س←0 = 1/((س² 9)√ 3) =1/6.

• المثال التاسع: ما هي قيمة نها _س←0 ((س 4)√-2)/س؟

الحل:

• بتعويض قيمة س نحصل على صفر/صفر، وهذا يعني أنه يجب اللجوء إلى طرق أخرى للحل، وهنا سيتم استخدام الضرب بالمرافق عن طريق ضرب كل من البسط، والمقام بالمقدار: (س 4)√ 2.
• بتجميع الحدود نحصل على: نها _س←0 ((س 4)-4)/س×((س 4)√ 2)، وباختصار المقدار س من البسط، والمقام نحصل على: نها _س←0 1/((س 4)√ 2)
• بتعويض قيمة س=0 يمكن إيجاد قيمة النهاية، وتساوي: نها _س←0 1/((س 4)√ 2)= 1/4.

• المثال العاشر: ما قيمة نها _ص←1.5-(8ص³ 27)/(2ص 3)؟

الحل:

• يمكن إيجاد قيمة النهاية باستخدام طريقة التعويض كما يلي:
  • بتعويض قيمة ص في الاقتران نحصل على: (8×(1.5)³ 27)/((2×1.5) 3) = 9.

• المثال الحادي عشر: ما هي قيمة نها _س←1/9 9س-1/(3×(س)√-1)؟

الحل:

• بتعويض قيمة س=1/9 نجد أن النهاية تساوي: صفر/صفر لذلك نلجأ إلى طريقة أخرى للحل تتمثل بالضرب بالمرافق، وذلك عن طريق ضرب كل من البسط، والمقام بالمقدار: (3×(س)√ 1).
• باختصار المقدار (9س-1) من كل من البسط والمقام نحصل على: نها _س←1/9 ((3س)√ 1)
• بتعويض قيمة س=1/9، نجد أنّ: نها _س←1/9 ((3س)√ 1)= 2.

• المثال الثاني عشر: ما هي قيمة النهاية الآتية: نها _س←0(2×(-3 س)²-18)/س؟

الحل:

• بتعويض قيمة س=0 نجد أن النهاية تساوي: صفر/صفر لذلك نلجأ إلى طريقة أخرى للحل تتمثل بما يلي:
• بفك التربيع نحصل على ما يلي: نها _س←0 (2×(6-9س س²)-18)/س
• بتجميع الحدود نحصل على: نها (18- 12س 2س²-18)/س
• بإخراج س عامل مشترك من البسط نحصل على: نها _س←0س(-12 2س)/س، وباختصار المقدار س من البسط، والمقام نحصل على: نها _س←0-12 2س
• بتعويض قيمة س=0 في النهاية: نها _س←0 -12 2س ينتج أنّ قيمتها= -12.