خصائص المثلث متساوي الساقين

ما هي خصائص المثلث متساوي الساقين؟

المثلث متساوي الساقين يكون طول ضلعين من أضلاعه على الأقل متساويين، و قياس زاويتين من زواياه متساويتين أيضاً، ويُعتبر المثلث القائم الذي تكون قياس زواياه 90 - 45 - 45 حالة خاصة من المثلث متساوي الساقين، ويُطلق عليه اسم المثلث متساوي الساقين قائم الزاوية، ويتميز المثلث متساوي الساقين بالخصائص الآتية إضافة إلى الخصائص العامة للمثلث :

• في المثلث متساوي الساقين يكون طول ضلعين من أضلاعه متساويين، ويطلق عليهما اسم ساقي المثلث، أما الضلع الثالث فيُعرف بقاعدة المثلث.
• الزاوية المقابلة لقاعدة المثلث متساوي الساقين تعرف بزاوية رأس المثلث.
• تكون زاويتين من زوايا المثلث متساوي الساقين متساوية، ويطلق عليهما اسم زوايا قاعدة المثلث متساوي الساقين، أو زوايا متساوي الساقين، وهي دائماً متساوية.
• مجموع زوايا المثلث دائماً 180 درجة، وهذا يعني أنه يمكن إيجاد قياس الزاوية الثالثة بمعرفة قياس الزاويتين المتساويتين.
  • يُعرف ارتفاع المثلث بأنه المسافة العمودية بين القاعدة، ورأس المثلث، ويتميز ارتفاع المثلث بالخصائص الآتية:
  • يُنصّف الارتفاع قاعدة المثلث، ويصنع معها زاوية قائمة.
  • يُنصّف الارتفاع زاوية رأس المثلث.
  • يقسم الارتفاع المثلث إلى مثلثين متطابقين تماماً.

القوانين المتعلقة بالمثلث متساوي الساقين

يُمكن حساب قياس الضلع الثالث للمثلث متساوي الساقين عند معرفة قياس الضلعين الآخرين، وبما أنّ الارتفاع يصنع زاوية قائمة مع منتصف القاعدة فإنّه يُمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمة هذه الأبعاد، وفيما يأتي توضيح لكيفية إجراء ذلك:

حساب قاعدة المثلث

يُمكن حساب قاعدة المثلث في حال معرفة طول أحد الضلعين المتساويين (ل)، وارتفاع المثلث (ع) باستخدام العلاقة الآتية:

قاعدة المثلث = (مربع طول إحدى الساقين المتساويتين - مربع الارتفاع)√×2

وبالرموز:

ق=(ل²-ع²)√×2.

حساب طول أحد الضلعين المتساويين

يُمكن إيجاد طول أحد الضلعين المتساويين (ل) في حال معرفة طول قاعدة المثلث (ب)، وارتفاعه (ع) باستخدام العلاقة الآتية :

طول إحدى ساقي المثلث المتساويتين= (مربع الارتفاع مربع نصف طول القاعدة)√

وبالرموز:

ل = (ع² (ب/2)²)√.

حساب ارتفاع المثلث

يُمكن حساب ارتفاع المثلث المتساوي الساقين (ع) في حال معرفة طول أحد الضلعين المتساويين (ل)، و طول قاعدة المثلث (ب) باستخدام العلاقة الآتية:

الارتفاع= (مربع طول إحدى الساقين المتساويتين - مربع نصف طول القاعدة)√

وبالرموز:

ع = (ل² - (ب/2)²)√.

حساب قياس الزوايا الداخلية

يُمكن إيجاد قياس جميع زوايا المثلث متساوي الساقين في حال معرفة قياس زاوية واحدة فقط في المثلث، والمثالان الآتيان يوضحان ذلك:

المثال الأول:

مثلث متساوي الساقين قياس زاوية رأس المثلث 40 درجة، فما هو قياس الزوايا الأخرى؟

الحل:

• بما أن مجموع زوايا المثلث 180 درجة، فبالتالي 180 - 40 = 140.
• بما أن زوايا قاعدة المثلث متساوية، فإن قيمة كل من زاويتي القاعدتين تساوي 140/2، وتساوي 70 درجة.

المثال الثاني:

إذا كانت قيمة إحدى زوايا قاعدة المثلث متساوي الساقين تساوي 45 درجة، فما هو قياس الزوايا الأخرى؟

الحل:

• بما أن زوايا قاعدة المثلث متساوية فإن قياس الزاوية الأخرى 45 درجة أيضاً.
• بما أن مجموع زوايا المثلث 180 درجة، فإن قياس زاوية رأس المثلث يساوي (180 - 45 - 45)، وتساوي 90 درجة.

ملاحظة: المثلث متساوي الساقين قائم الزاوية يمثل فيه الضلعان المتساويان ضلعي القائمة بحيث يمثّل أحد الضلعين قاعدة المثلث، والضلع الآخر ارتفاعه، وأما الضلع الثالث فيمثّل الوتر في المثلث القائم، وبالتالي فإنه يُمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمة كل من الأضلاع الثلاثة، وذلك كما يأتي:

الوتر² = (ل² ل²)√

ومنه:

• الوتر=2 × ل²√= ل×2√

حيث:

• ل: هو طول أحد الضلعين المتساويين.

أمثلة على خصائص المثلث متساوي الساقين

المثال الأول: مثلث أ ب جـ، فيه طول أب = أ جـ فإذا كان قياس الزاوية ب أ جـ يساوي 40 درجة، فما هو قياس ∠أ ب جـ؟

الحل:

• بما أن أ ب = أ جـ، فإن ∠أ ب جـ = ∠أ جـ ب؛ وفق خصائص المثلث متساوي الساقين.
• بما أن مجموع زوايا المثلث 180 فإن ∠أ ب جـ ∠أ جـ ب ∠ب أ جـ = 2∠أ ب جـ ∠ب أ جـ = 180.
• وبالتالي فإن 2∠أ ب جـ = 140، وبالقسمة على 2 فإن الزاوية أ ب جـ تساوي 70 درجة.

المثال الثاني: مثلث أ ب جـ متساوي الساقين، فإذا كان قياس الزاوية أ ب جـ يساوي 50 درجة فما هي احتمالات قياس الزاوية ب أ جـ؟

الحل:

• الاحتمال الأول: إذا كانت ∠أ ب جـ = ∠ ب أ جـ ؛ أي أن: ب جـ = أ جـ؛ فإنه يمكن معرفة قياس الزاوية أ ب جـ مباشرة، وتساوي 50 درجة.
• الاحتمال الثاني: إذا كانت ∠أ ب جـ = ∠ ب جـ أ؛ أي أن: أجـ = أب؛ فإنه يمكن إيجاد ∠ب أ جـ كما يلي: 50 50 ∠ب أ جـ = 180درجة، وبالتالي فإن ∠ب أ جـ = 80 درجة.
• الاحتمال الثالث: إذا كانت ∠ب أ جـ = ∠ب جـ أ؛ أي أن: ب جـ = أب؛ فإن 50 2∠ب أ جـ = 180، وبالتالي فإن ∠ب أ جـ = 65 درجة.
• هذا يعني أن هناك ثلاثة احتمالات لقياس ∠ب أ جـ وهي: 50، و65، و80 درجة.

المثال الثالث: مثلث متساوي الساقين أ ب جـ، وفيه الضلع د جـ يمثل المستقيم الواصل بين الرأس جــ، والقاعدة أ ب، وفيه أ د = د جـ = جـ ب، فإذا كانت قياس الزاوية د أ جـ يساوي 40 درجة، فما هو قياس ∠ د جـ ب؟

الحل:

• في المثلث أ د جـ فإن ∠ د جـ أ = ∠د أ جـ = 40، وبالتالي:
  • ∠ جـ د ب = 40 40 = 80 درجة، وذلك لأن الزاوية جـ د ب تمثل زاوية خارجية للمثلث أ د جـ، وقياس الزاوية الخارجية يساوي دائما مجموع الزاويتين البعيدتين عنها.
• في المثلث د جـ ب فإن ∠جـ ب د = ∠جـ د ب = 80 درجة، وبالتالي:
  • ∠د جـ ب = 180 - 80 - 80، ويساوي 20 درجة.

المثال الرابع: مثلث متساوي الساقين قياس إحدى زاويتي قاعدة المثلث (4س 12)، وقياس الزاوية الأخرى (5س-3)، فما هي قيمة س، وما هو قياس زوايا المثلث؟

الحل:

• بما أن زوايا قاعدة المثلث متساوية، فإنه يمكن إيجاد قيمة س كما يأتي:
  • 4س 12 = 5س-3
  • بحل هذه المعادلة فإن س = 15.
  • الزاوية الأولى: (4س 12)= (4×15) 12 = 72.
  • بما أن زاويتي القاعدة متساويتين فإن قياس الزاوية الأخرى 72 درجة أيضاً.
• بما أن مجموع زوايا المثلث 180 فإنه يمكن إيجاد زاوية رأس المثلث كما يلي:
  • 180 - 72 - 72، ويساوي 36 درجة.

المثال الخامس: مثلث متساوي الساقين قياس إحدى زاويتي القاعدة 47، فما هو قياس زاوية رأس المثلث؟

الحل: بما أن المثلث متساوي الساقين فإن زوايا القاعدة متساوية، وبالتالي فإن قياس زاوية القاعدة الأخرى 47 درجة أيضاً.

• بما أن مجموع زوايا المثلث 180 فإنه يمكن إيجاد زاوية الرأس (س) كما يأتي:
  • 47 47 س = 180
  • س = 180 - 47 - 47= 86 درجة.

المثال السادس: مثلث متساوي الساقين فيه قياس زاوية الرأس 116، فما هو قياس زاويتي القاعدة؟

الحل:

• بما أن مجموع زوايا المثلث 180، فإنه يمكن إيجاد زاويتي القاعدة المتساويتين (ب) كما يأتي:
  • 116 ب ب = 180 درجة.
  • 2 × ب = 64
  • ب = 32 درجة.

المثال السابع: مثلث متساوي الساقين فيه طول أحد الضلعين المتساويين 19س 3، وطول الضلع الآخر 8س 14، فما هي قيمة س؟

الحل:

• بما أن الضلعين متساويين، فإنه يمكن إيجاد قيمة س كما يأتي: 19س 3 = 8س 14، ومنه: 11س = 11، ومنه: س = 1.

المثال الثامن: مثلث متساوي الساقين فيه طول أحد الضلعين المتساويين 5ص - 2، وطول الضلع الآخر 13، فما هي قيمة ص؟

الحل:

• بما أن المثلثين متساويين فإنه يمكن إيجاد قيمة ص كما يأتي: 5ص - 2 = 13، ومنه: 5ص = 15، ومنه: ص = 3.

المثال التاسع: مثلث متساوي الساقين فيه قياس زاويتي القاعدة 8ص - 16، والزاوية الأخرى 72، وقياس زاوية الرأس 9س، فما هي قيمة س، وص؟

• الحل:
• بما أن المثلث متساوي الساقين فإن قياس زاويتي القاعدة متساوي، وبالتالي فإنه يمكن إيجاد قيمة ص كما يأتي:
  • 8ص - 16 = 72، ومنه: 8ص = 88، ومنه: ص = 11.
• بما أن مجموع زوايا المثلث 180 درجة، فإنه يمكن إيجاد قياس الزاوية الرأس كما يلي:
  • 180 - 72 - 72 = زاوية الرأس، ومنه: زاوية الرأس = 36 = 9س، وبالتالي فإن س = 4.

المثال العاشر: مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية طول ضلعيه المتساويين اللذين يمثلان ضلعي القائمة 6.5 سم، فما هو طول الوتر؟

الحل:

• بما أن المثلث قائم الزاوية فإنه يمكن إيجاد طول الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس، وذلك كما يأتي:
  • الوتر = الضلع1 الضلع 2؛ حيث إن الضلع الأول، والثاني (ل) هما ضلعي القائمة.
  • الوتر² = (ل² ل²)√، وبإدخال الجذر التربيعي على الطرفين فإن الوتر = ل×2√، وبالتالي فإن الوتر = 6.5×2√.

المثال الحادي عشر: مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية فإذا كان طول الوتر فيه 10√ سم، فما هو طول ضلعي القائمة المتساويين؟

الحل:

• بما أن المثلث قائم الزاوية فإنه يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول ضلعي القائمة، وذلك كما يأتي:
  • الوتر = الضلع1 الضلع2، ومنه: الوتر² = (ل² ل²)√، وباخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن:
  • الوتر = طول ضلعي القائمة المتساويين×2√، ومنه: 10√= طول ضلعي القائمة المتساويين×2√ ومنه: الضلع = 2√/10√، وبالتالي فإن طول كل من ضلعي القائمة 5√ سم.

يتكون المثلث المتساوي الساقين من ضلعين وزاويتين متساويتين، ويُمكن حساب الضلع الثالث للمثلث المتساوي الساقين بمعرفة قيمة أحد الضلعين المتساويين وبمعرفة ارتفاع المثلث، وباستخدام نظرية فيثاغوروس، كما يُمكن حساب زوايا المثلث المتساوي الساقين بمعرفة قيمة إحدى زواياه.