ما هي خصائص الأعداد الحقيقية؟
يمكن تعريف الأعداد الحقيقية (بالإنجليزية: Real Numbers) بأنها جميع الأعداد التي تقع على خط الأعداد ، ويُرمز لها عادة بالرمز (R)، وتتضمن الأعداد الطبيعية التي تتضمن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة، والأعداد الصحيحة، والأعداد النسبية، والأعداد غير النسبية، وتتميز الأعداد الحقيقية بالخصائص الآتية:
خاصية الانغلاق
خاصية الانغلاق (بالإنجليزية: Closure Properties) تنص على أنه إذا كان أ، وب عددان حقيقيان فإن ناتج جمع أو طرح العددين (أ ب)، (أ-ب) يساوي عدداً حقيقياً أيضاً، وكذلك الحال بالنسبة لناتج ضرب العددين (أ×ب) فهو يساوي أيضاً عدداً حقيقياً؛ فمثلاً إذا كان العددان 3،11 حقيقيان فإنّ: 3 11 = 14، 3×11 = 33، والعددان 14، و33 يمثلان أعداداً حقيقية، لكن ذلك لا ينطبق على عملية القسمة، وذلك كما يلي:
- إن العددين 0، و5 يمثلان عددان حقيقيان، لكنّ ناتج قسمة 5/0 يعطي قيمة غير مُعرّفة وهو عدد غير حقيقي؛ حيث إن القسمة على صفر دائماً تعطي قيمة غير معرفة.
الخاصية التبديلية
تنطبق الخاصية التبديلية (بالإنجليزية: Commutative Properties) على عملية جمع الأعداد الحقيقية ، وضربها، وتعني أنّه: إذا كان أ، ب عددان حقيقيان فإنّ: أ ب = ب أ، و أ×ب = ب×أ، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:
- 3 4 = 4 3، وفي كلتا الحالتين الناتج يساوي 7.
- 4×8 = 8×4، وفي كلتا الحالتين الناتج يساوي 32.
الخاصية التجميعية
تنطبق الخاصية التجميعية (بالإنجليزية: Associative Properties) على عملية جمع، وطرح الأعداد الحقيقية، وتعني أنّه إذا كانت أ، ب، جـ أعداداً حقيقية فإنّ: (أ ب) جـ = أ (ب جـ)، و (أ×ب)×جـ = أ×(ب×جـ)، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:
- (2 6) 1 = 2 (6 1)، وبالتالي: 8 1 = 2 7، ومنه: 9 = 9؛ أي أنه في كلتا الحالتين تم الحصول على نفس النتيجة.
- (2×3)×5 = 2×(3×5)، وبالتالي: 6×5 = 2×15، ومنه: 30 = 30؛ أي أنه في كلتا الحالتين تم الحصول على نفس النتيجة.
الخاصية التوزيعية
تعد الخاصية التوزيعية (بالإنجليزية: Distributive Properties) من خصائص عملية الضرب ، وتعني أنّه يمكن توزيع عملية الضرب على عمليتي الجمع والطرح؛ فمثلاً: جـ×(أ ب) = جـ×أ جـ×ب، ويمكن إثبات ذلك كما يلي: إنّ 4×(أ ب) تعني أن هناك أربعة حدود من (أ ب)؛ أي (أ ب) (أ ب) (أ ب) (أ ب) = 4×أ 4×ب، وهي تعادل النتيجة التي يمكن الحصول عليها عند تطبيق الخاصية التوزيعية، ولتوضيح ذلك إليك الأمثلة الآتية:
- 2×(5 7) = 2×5 2×7 = 24.
- 6×(س 3) = 6×س 6×3 = 6س 18.
خاصية الهوية
تعني خاصية الهوية (بالإنجليزية: The Identity Properties) أن العنصر المحايد لعملية الجمع هو صفر، وهذا يعني أن إضافة أي عدد للصفر يعطي نفس العدد؛ مثل: 6 0 = 6، والعنصر المحايد لعملية الضرب هو 1، وهذا يعني أن ضرب أي عدد في 1 يُعطي العدد نفسه مثل: 6×1 = 6، وبشكل عام إذا كان أ عدد حقيقي فإنّ:
خاصية المعكوس
خاصية المعكوس (بالإنجليزية: Inverse Properties)، يمكن تعريف المعكوس الجمعي لأي عدد حقيقي بأنه العدد الذي عند إضافته إلى ذلك العدد يُعطي النتيجة (0)؛ فمثلاً المعكوس الجمعي للعدد 3 هو -3، وذلك لأنّ: 3 (-3) = 0، والمعكوس الجمعي للعدد 15- مثلاً هو 15، أما المعكوس الضربي فهو العدد الذي عند ضربه في أي عدد حقيقي يعطي النتيجة (1)، ويمثل مقلوب العدد دائماً المعكوس الضربي له؛ فمثلاً المعكوس الضربي للعدد 6 هو 1/6، وذلك لأنّ: 6×(1/6) = 1، والمعكوس الضربي للعدد 2/3 هو 3/2، وبشكل عام إذا كان أ عدد حقيقي فإنّ:
- المعكوس الجمعي له هو -أ، وذلك لأنّ: أ (-أ) = 0، و (-أ) أ = 0.
- المعكوس الضربي له هو مقلوب العدد؛ أي (1/أ)، وذلك لأنّ: أ×(1/أ) = 1.
أمثلة متنوعة حول خصائص الأعداد الحقيقية
وفيما يأتي أمثلة متنوعة حول خصائص الأعداد الحقيقية:
المثال الأول: باستخدام خصائص الأعداد الحقيقية ضع القيمة المناسبة في الفراغ لكل مما يأتي:
الحل:
| المسألة | الحل |
| 6 5 = () 6 | باستخدام الخاصية التبديلية فإنّ: 6 5 = (5) 6 |
| ل 12 = 12 () | باستخدام الخاصية التبديلية للجمع فإنّ: ل 12 = 12 (ل) |
| 4×(ع-5) = ()×4 | باستخدام الخاصية التبديلية للضرب فإنّ: 4×(ع-5) = (ع-5)×4 |
| (9×أ-1)×() = (2×ب 7)×(9×أ-1) | باستخدام الخاصية التبديلية للضرب فإنّ: (9×أ-1)×(2×ب 7) = (2×ب 7)×(9×أ-1) |
| (9 2) 5 = 9 () | باستخدام الخاصية التجميعية فإنّ: (9 2) 5 = 9 (2 5) |
| س (5 ص) = () ص | باستخدام الخاصية التجميعية فإنّ: س (5 ص) = (س 5) ص |
المثال الثاني: يريد أحمد إجراء عملية الطرح: 1273-497، ولكنه لا يمتلك آلة حاسبة، فقرر إجراء عملية الطرح باستخدام الخاصية التجميعية كما يلي: أ) الخطوة الأولى: 1273-497. ب) الخطوة الثانية: 1273 - (500-3) جـ) الخطوة الثالثة: (1273-500) - 3 د) الخطوة الرابعة: 773-3 هـ) الخطوة الخامسة (النتيجة): 770؛ فأخبره صديقه خالد أن إجابته خطأ، وأن الإجابة تساوي 776، فأي من الخطوات التي قام بها أحمد كانت خطأ؟
الحل: الخطوة الثالثة (جـ)، وذلك لأن الخاصية التجميعية تنطبق على عملية الجمع، والضرب فقط، ولا تنطبق على عملية الطرح.
المثال الثالث: تريد سارة إجراء عملية القسمة 40/9، ولكنها لا تملك آلة حاسبة فأجرت الخطوات الآتية: أ) الخطوة الأولى: 40/(5 4) ب) الخطوة الثانية: (40/4) (40/5) جـ) الخطوة الثالثة: 10 8 د) الخطوة الرابعة: 18، فأخبرتها صديقتها سلمى أن الإجابة خطأ، وأن الإجابة يجب أن تساوي 4.44، فأي من الخطوات التي قامت بها سارة تعتبر خطأ؟
الحل: الخطوة الثانية، وذلك لأن الخاصية التوزيعية تنطبق على حالة الضرب فقط، وليس القسمة.
المثال الرابع: بسّط ما يلي إلى أبسط صورة: 18×ب 6×ك 15×ب 5×ك؟
الحل: باستخدام الخاصية التجميعية فإنه يمكن جمع الحدود المتشابهة معاً كما يلي: 18×ب 6×ك 15×ب 5×ك= (18 15)×ب (6 5)×ك = 33×ب 11×ك.
المثال الخامس: بسّط ما يلي إلى أبسط صورة: ((5/13) (3/4)) (1/4)؟
الحل:
- لإجراء عملية الجمع فإنه يجب أولاً أن تكون المقامات متشابهة، ويمكن ملاحظة أن آخر حدين مقاماتهم متشابهة، وبالتالي يمكن باستخدام الخاصية التجميعية إعادة كتابة المسألة كما يلي لتسهيل حسابها: (5/13) ((3/4) (1/4))، لينتج أنّ:
- (5/13) (4/4) = (5/13) 1 =(5/13)1، وهو عدد كسري
- بتحويل العدد الكسري إلى كسر ينتج أنّ: (5/13)1= 18/13.
المثال السادس: ما هو المعكوس الجمعي للقيم الآتية:
الحل:
| المسألة | الحل |
| 5/8 | -5/8 |
| 0.6 | 0.6- |
| -8 | 8 |
| -4 / 3 | 4 / 3 |
المثال السابع: ما هو المعكوس الضربي لكل من القيم الآتية: أ) 9. ب) . جـ) .؟
الحل: المعكوس الضربي يمثل المقلوب، وبالتالي:
| المسألة | الحل |
| 9 | 1/9 |
| - 1/9 | -9 |
| 0.9 | العدد 0.9 عبارة عن 9/10، وبالتالي فإن المعكوس الضربي له: 10/9 |
المثال الثامن: هل ناتج ضرب (-6)×( 3) يساوي عدداً حقيقياً؟
الحل: نعم، وذلك لأنّ: -6×( 3) = -18، وهو عدد حقيقي وفق خاصية الانغلاق.
المثال التاسع: هل (-3×2)×2 تساوي -3×(2×2)؟
الحل: الطرفان وفق الخاصية التجميعية للضرب متساويان، ولإثبات ذلك:
- (-3×2)×2 = -6×2 = -12.
- -3×(2×2) = -3×4 = -12.
المثال العاشر: بناءً على معرفتك بخصائص الأعداد الحقيقية ما هي الخاصية التي تمثل كلاً مما يلي:
الحل:
| المسألة | الحل |
| 7 (-2) = (-2) 7 | الخاصية التبديلية للجمع |
| س (3 ص) = (س 3) ص | الخاصية التجميعية للجمع |
| أ ((ب جـ)×د) = أ د×(ب جـ) | الخاصية التبديلية للضرب |
| س×(ص (ع ل)) = س×ص س×(ع ل) | الخاصية التوزيعية |
| (س ص) (-(س ص)) = 0 | خاصية المعكوس الجمعي (العدد معكوسه = صفر) |
| (س ص)×1 = س ص | خاصية الهوية لعملية الضرب |
| إذا كانت س ص لا تساوي صفر؛ فإنّ (س ص)×(1/(س ص)) = 1 | خاصية المعكوس الضربي (العدد×مقلوبه = 1) |
يمكن تعريف الأعداد الحقيقية بأنها جميع الأعداد التي تقع على خط الأعداد، ويُرمز لها عادة بالرمز (R)، وتتميز الأعداد الحقيقية بالعديد من الخصائص؛ كخاصية الانغلاق، والخاصية التبديلية، والخاصية التجميعية، والخاصية التوزيعية، وخاصية الهوية، وخاصية المعكوس.
