حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع
تُعد طريقة إكمال المربع أحد طرق حل المعادلات التربيعية التي تتطلب الحصول على الصيغة ((س ± هـ)²= د) من الصيغة العامة للمعادلة التربيعية وهي:
(أ س² ب س جـ = 0)، حيث (أ) لا يساوي صفر.
خطوات حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع
يُمكن حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع باتباع الخطوات الآتية:
- وضع المتغيرات في الطرف الأيمن ووضع الأرقام في الطرف الأيسر، أي نقل الثابت جـ من الطرف الأيمن إلى الطرف الأيسر ليُصبح المتغير س في الطرف الأيمن بمفرده، كما يأتي:
- أ س² ب س جـ = 0
- أ س² ب س = جـ
- قسمة جميع أطراف المعادلة على معامل الحد التربيعي وهو المتغير (س²)، وبالتالي يجب أن يكون المتغير س² في المعادلة التربيعية بدون أي معامل آخر يُرافقه:
- أ س² ب س = جـ
- س² ب/أ س = جـ/أ
- قسمة معامل المتغير (س) على العدد 2 فيُصبح معامل س يساوي (ب/أ)/2، ثم تربيع المعامل (ب/أ)/2 فيُصبح ((ب/أ)/2)²، ثم إضافته إلى طرفي المعادلة التربيعية الأيمن والأيسر، كما يأتي:
- س² (ب/أ) س ((ب/أ)/2)² = جـ/أ ((ب/أ)/2)²
- تحويل المعادلة التربيعية الناتجة إلى صيغة تربيعية، ثم تُبسط المعادلة لأبسط صورة من خلال تجميع الحدود المتشابهة، كما يأتي:
- س² (ب/أ) س ((ب/أ)/2)² = جـ/أ ((ب/أ)/2)²
- (س (ب/أ)/2)² = جـ/أ ((ب/أ)/2)²
يُلاحظ بأنّه عند كتابة الصيغة التربيعية تُكتب قيمة معامل س مقسوم على 2 بدون تربيعه مُضافة إلى المتغير س.
- أخذ الجذر التربيعي للطرفين، وعند أخذ الجذر التربيعي فإنّ الناتج سيكون له قيمتان وهما قيمة موجبة وقيمة سالبة، وذلك على النحو الآتي:
- (س (ب/أ)/2)² = جـ/أ ((ب/أ)/2)²
- (س (ب/أ)/2)² √ = (جـ/أ ((ب/أ)/2)²) √
- س (ب/أ)/2 = ± (جـ/أ ((ب/أ)/2)²) √
- وبما أنّ الناتج له قيمتان هناك معادلتان يجب حلهما، المعادلة الأولى للقيمة الموجبة والمعادلة الثانية للقيمة السالبة، وبحل هاتين المعادلتين يتم إيجاد قيمتي المتغير (س) وحل المعادلة التربيعية، كما يأتي:
- س (ب/أ)/2 = (جـ/أ ((ب/أ)/2)²) √
س = (جـ/أ ((ب/أ)/2)²) √ - (ب/أ)/2
- س (ب/أ)/2 = - (جـ/أ ((ب/أ)/2)²) √
س = - (جـ/أ ((ب/أ)/2)²) √ - (ب/أ)/2
مثال على حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع
ندرج مثال للتدريب على حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع:
استخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلة الآتية: 2 س² 6 س - 4 = 0
الحل:
- يُنقل العدد 4 إلى جهة اليسار:
- 2 س² 6 س - 4 = 0
- 2 س² 6 س = 4
- تُقسم جميع أطراف المعادلة على معامل س وهو العدد 2:
- 2 س² 6 س = 4
- س² 3 س = 2
- يُقسم معامل س وهو العدد 3 على 2 فيُصبح 3/2، ثم يُربع فتُصبح قيمته 9/4، ثم تُضاف القيمة 9/4 لطرفي المعادلة:
- س² 3 س = 2
- س² 3 س 9/4 = 2 9/4
- س² 3 س 9/4 = 8/4 9/4
- س² 3 س 9/4 = 17/4
- تُحول المعادلة إلى الصيغة التربيعية:
- (س 3/2 )² = 17/4
- (س 3/2 )²√ = (17/4)√
- (س 3/2 ) = ± 17/2√
- تُحل المعادلة الموجبة لإيجاد القيمة الأولى للمتغير س:
- س 3/2 = 17/2√
- س = 17/2√ - 3/2
- س = 1.123/2 = 0.5615
- تُحل المعادلة السالبة لإيجاد القيمة الثانية للمتغير س:
- س 3/2 = - 17/2√
- س = - 17/2√ - 3/2
- س = - 7.123/2 = - 3.5615
