مفهوم الهرم
يمكن تعريف الهرم (بالإنجليزية: Pyramid) بأنّه مضلع منتظم يحتوي على قاعدة، وأوجه مثلثة الشكل تجتمع في نقطة تُعرف برأس الهرم، ويشمل تعريف الهرم ما يأتي:
- الهرم قائم: (بالإنجليزية: Right Pyramid)؛ يُعرف الهرم بأنه قائم إذا كان فيه الخط الواصل بين الرأس والقاعدة عمودياً على القاعدة، والهرم القائم المنتظم هو هرم قائم قاعدته عبارة عن مضلع منتظم، وفي المقابل إذا كانت قاعدته غير منتظمة الشكل فإنّ الهرم يكون غير منتظم.
- الهرم المائل: (بالإنجليزية:Oblique Pyramid)؛ فهو الهرم الذي لا يتقابل فيه مركز قاعدته مع رأسه تماماً، وأوجهه المثلثة غير متطابقة.
ومن الجدير بالذكر هنا أنه إذا كانت قاعدة الهرم عبارة عن مضلع منتظم فإن جميع أوجهه الجانبية المثلّثة تكون متطابقة، ومتساوية الساقين، ولا يمكن لقاعدة الهرم أن تكون دائرية، أو بيضاوية الشكل، وإنما تكون دائماً عبارة عن مضلع؛ كالمربع، والمثلث، والشكل الخماسي، والسداسي.
أنواع الهرم
يمكن لأي مضلع أن يمثّل قاعدة الهرم، ويُسمّى الهرم عادة تبعاً لشكل قاعدته، وفيما يلي ذكر لبعض أنواع الهرم، وخصائص كل منها:
- الهرم الثلاثي: (بالإنجليزية: Triangular Pyramid)؛ يحتوي على أربعة أوجه كليّة تشمل القاعدة وجميعها مثلّثة الشكل، و4 زوايا، و6 حواف أو أضلاع.
- الهرم الرباعي: (بالإنجليزية: Square Pyramid)؛ يحتوي على خمسة أوجه، أربعة منها مثلثة الشكل، والوجه الخامس هو القاعدة مربعة الشكل، ويحتوي على 5 زوايا، و8 أضلاع أو حواف.
- الهرم الخماسي: (بالإنجليزية: Pentagonal Pyramid)؛ يحتوي على ستة أوجه، خمسة منها مثلثة الشكل، والوجه السادس هو القاعدة خماسية الشكل، ويحتوي على 6 زوايا، و10 أضلاع أو حواف.
قانون حساب مساحة الهرم
يمكن إيجاد المساحة الكلية للهرم القائم عن طريق حساب مساحة وجه واحد فقط من الأوجه المثلثة ثم ضربها بعددها؛ لأنها متساوية، ثم إضافة مساحة القاعدة إليها للحصول على المساحة الكلية للهرم القائم، ويمكن حساب مساحة الأوجه الجانبية ببساطة باستخدام قانون مساحة المثلث، أما بالنسبة لمساحة القاعدة فيتم استخدام القانون المناسب لشكلها وعليه يمكن إيجاد المساحة الكلية للهرم القائم من خلال تطبيق القانون الآتي :
المساحة الكلية للهرم القائم المنتظم = مساحة القاعدة 1/2×محيط القاعدة×الارتفاع الجانبي
ملاحظة: في حال كان الهرم مائلاً أو غير منتظم، فإن حساب المساحة يصبح أكثر تعقيداً ويتطلب حساب مساحة كل وجه من الأوجه على حدة ثم جمعها مع بعضها؛ لأن أوجهه غير متطابقة كالهرم القائم المنتظم.
حساب مساحة الهرم المنتظم الكلية تبعاً لشكل قاعدته
يمكن استخدام القوانين الآتية في حساب مساحة الهرم المنتظم الكلية تبعاً لشكل قاعدته:
- مساحة الهرم الثلاثي: إذا كان الهرم ثلاثياً؛ أي قاعدته مثلثة الشكل فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:
- مساحة الهرم الثلاثي = 1/2×(أ×ب) 3/2×(ب×ع)، حيث:
- أ: هو ارتفاع القاعدة المثلثة
- ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة المثلثة.
- ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.
- أما بالنسبة لمساحة القاعدة المثلثة فتساوي 1/2×أ×ب.
- مساحة الهرم الرباعي: إذا كان الهرم رباعياً؛ أي قاعدته مربعة الشكل فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:
- مساحة الهرم الرباعي = ب² 2×(ب×ع)، حيث:
- ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة.
- ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.
- أما بالنسبة لمساحة القاعدة مربعة الشكل فتساوي ب².
- مساحة الهرم الخماسي: إذا كان الهرم خماسياً؛ أي قاعدته خماسية الشكل، فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:
- مساحة الهرم الخماسي = 5/2×(أ×ب) 5/2×(ب×ع)، حيث:
- أ: هو المسافة العمودية من مركز القاعدة خماسية الشكل إلى أحد أضلاع القاعدة.
- ب: أحد أضلاع القاعدة الخماسية.
- ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.
- أما بالنسبة لمساحة القاعدة خماسية الشكل فتساوي 5/2×أ×ب
- مساحة الهرم السداسي: إذا كان الهرم سداسي الشكل؛ أي قاعدته سداسية، فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:
- مساحة الهرم السداسي= 3×(أ×ب) 3×(ب×ع)، حيث:
- أ: هو المسافة العمودية من مركز القاعدة السداسية إلى أحد أضلاع القاعدة.
- ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة السداسية.
- ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.
- أما بالنسبة لمساحة القاعدة سداسية الشكل فتساوي 3×أ×ب
قانون حساب حجم الهرم
يمكن إيجاد حجم الهرم من خلال تطبيق القانون الآتي:
- حجم الهرم= 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع.
ولكل نوع من أنواع الهرم قانون خاص به يمكن من خلاله حساب الحجم، وذلك كما يلي:
- حجم الهرم الثلاثي: إذا كان الهرم ثلاثياً فإنه يمكن إيجاد حجمه باستخدام القانون الآتي:
- حجم الهرم الثلاثي = 1/6×أ×ب×ل، حيث:
- أ: هو ارتفاع القاعدة المثلثة
- ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة المثلثة.
- ل: هو الارتفاع العمودي الهرم؛ أي الخط العمودي الواصل بين رأس الهرم، ومركز قاعدته.
- حجم الهرم الرباعي: إذا كان الهرم رباعياً فإنه يمكن إيجاد حجمه باستخدام القانون الآتي:
- حجم الهرم الرباعي = 1/3×ب²×ل، حيث:
- ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة.
- ل: هو الارتفاع العمودي للهرم .
- حجم الهرم الخماسي: إذا كان الهرم خماسياً فإنه يمكن إيجاد حجمه باستخدام القانون الآتي:
- حجم الهرم الخماسي = 5/6×أ×ب×ل، حيث:
- أ: هو المسافة العمودية من مركز القاعدة خماسية الشكل إلى أحد أضلاع القاعدة.
- ب: أحد أضلاع القاعدة الخماسية.
- ع: هو الارتفاع العمودي للهرم.
- حجم الهرم السداسي: إذا كان الهرم سداسي الشكل فإنه يمكن إيجاد حجمه باستخدام القانون الآتي:
- حجم الهرم السداسي= أ×ب×ل، حيث:
- أ: هو المسافة العمودية من مركز القاعدة السداسية إلى أحد أضلاع القاعدة.
- ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة السداسية.
- ل: هو الارتفاع العمودي للهرم.
أمثلة متنوعة حول الهرم
وفيما يأتي أمثلة متنوعة حول الهرم:
- المثال الأول: ما هو حجم الهرم الثلاثي القائم الذي قاعدته عبارة عن مثلث متساوي الساقين أطوال أضلاعه الثلاثة 15سم، 15سم، 18سم، وارتفاع الهرم 20سم؟
- الحل: حجم الهرم الثلاثي = 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع
- بما أن القاعدة مثلثة الشكل فإنه يمكن إيجاد مساحتها باستخدام قانون مساحة المثلث، وهو: مساحة المثلث = 1/2×طول القاعدة×الارتفاع، وبالتالي:
- بما أن ارتفاع المثلث الذي يمثّل القاعدة غير معروف، فإنه يمكن حساب ارتفاعه وهو ارتفاع القاعدة باستخدام نظرية فيثاغورس كما يلي: طول أحد الضلعين المتساويين في المثلث الذي يمثّل القاعدة² = طول نصف قاعدة المثلث الذي يمثل القاعدة² ارتفاع المثلث وهو ارتفاع القاعدة²، وبالتالي فإنّ: ارتفاع القاعدة = (15²-9²)√ = 12سم.
- وبالتالي فإن مساحة القاعدة المثلثة = 1/2×18×12= 108 سم².
- بعد إيجاد مساحة القاعدة المثلثة يمكن إيجاد حجم الهرم كما يلي:
- حجم الهرم الثلاثي = 1/3×108×20 = 720 سم³.
- المثال الثاني: ما هو حجم الهرم الرباعي الذي ارتفاعه 9م، وطول أحد أضلاع قاعدته 4م؟
- الحل: حجم الهرم = 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع
- بما أن القاعدة مربعة الشكل فإنه يمكن إيجاد مساحتها باستخدام قانون حساب مساحة المربع، وذلك كما يلي:
- مساحة المربع = طول الضلع²= 4²= 16م².
- إيجاد حجم الهرم الرباعي كما يلي:
- حجم الهرم الرباعي = 1/3×16×9= 48 م³.
- المثال الثالث: يريد مهندس معماري بناء هرم رباعي الشكل، وتعبئته بكمية من الرمل تساوي 12,000 قدم³، فإذا كانت طول قاعدة الهرم تساوي 30 قدم، فما هو ارتفاع الهرم المطلوب؟
- الحل: كمية الرمل = حجم الهرم الرباعي= 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع
- بما أن القاعدة مربعة الشكل فإن مساحتها = طول الضلع²، وبالتالي:
- مساحة القاعدة = 30²= 900 قدم.
- التعويض في قانون حجم الهرم لإيجاد الارتفاع كما يلي:
- حجم الهرم = 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع، وبالتالي:
- 12000 = 1/3×900×ارتفاع الهرم، وبالتالي فإن ارتفاع الهرم = 40 قدم.
- المثال الرابع: هرم رباعي طول أحد اضلاع قاعدته المربعة 10م، وطول أحد أضلاع الأوجه المثلثة للهرم 13م، فما هو حجمه؟
- الحل: حجم الهرم الرباعي = 1/3×مساحة القاعدة×الارتفاع
- بما أن ارتفاع الهرم غير موجود فإنه يمكن إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس، وذلك لأن ضلع وجه الهرم الجانبي يشكّل مع نصف قاعدته مثلثاً قائم الوتر فيه هو أحد أضلاع الأوجه المثلثة الجانبية، وارتفاع الهرم الجانبي (ع)، ونصف طول القاعدة هما ضلعا القائمة، وذلك كما يلي:
- طول ضلع الوجه الجانبي² = (طول نصف ضلع القاعدة)² (ارتفاع الهرم الجانبي)²
- 13² = (5)² ع²، ومنه: ع² = 144، ع = 12م.
- بعد إيجاد الارتفاع الجانبي (ع) يمكن إيجاد ارتقاع الهرم باستخدام نظرية فيثاغورس أيضاً، وذلك لأن الارتفاع الجانبي يشكل الوتر في مثلث قائم، فيه نصف طول القاعدة، وارتفاع الهرم هما ضلعا القائمة، وذلك كما يلي:
- (ارتفاع الهرم الجانبي)² = (طول نصف ضلع القاعدة)² (ارتفاع الهرم)²، ومنه: 5² (ارتفاع الهرم)² = 12²، ومنه: ارتفاع الهرم العمودي = 119√.
- إيجاد مساحة قاعدة الهرم كما يلي:
- مساحة القاعدة = مساحة المربع = طول الضلع²= 10²= 100 م²
- إيجاد حجم الهرم الرباعي كما يلي:
- حجم الهرم = 1/3×100×119√= 364 م³ تقريباً.
- المثال الخامس: ما هي مساحة الهرم الرباعي الذي طول أحد أضلاع قاعدته 10م، وطول أحد أضلاع أوجهه المثلثة يساوي 13م؟
- الحل: مساحة الهرم الرباعي = ب² 2×(ب×ع)، حيث ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم، وب: أحد أضلاع الأوجه المثلثة.
- بما أن ارتفاع الهرم الجانبي غير موجود فإنه يمكن إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس، وذلك لأن ضلع الوجه المثلث الجانبي يشكّل مع نصف قاعدته مثلثاً قائماً، الوتر فيه هو أحد أضلاع الوجه المثلث الجانبيين، وارتفاع الهرم الجانبي ، ونصف طول القاعدة هما ضلعا القائمة، وذلك كما يلي:
- طول ضلع الوجه الجانبي² = (طول نصف ضلع القاعدة)² (ارتفاع الهرم الجانبي)²
- 13² = (5)² ع²، ومنه: ع² = 144، ع = 12م.
- إيجاد مساحة الهرم الرباعي، وذلك كما يلي:
- مساحة الهرم الرباعي = ب² 2×(ب×ع)= 10² 2×(10×12)= 340 م².
- المثال السادس: ما هي المساحة الكلية للهرم الثلاثي علماً أن قاعدة الهرم عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع طول كل ضلع 6سم، وأن كل وجه من أوجه المثلث طول قاعدته 6سم، وارتفاعه 10 سم؟
- الحل: المساحة الكلية = مساحة القاعدة 1/2×محيط القاعدة×الارتفاع الجانبي.
- إيجاد مساحة القاعدة ومحيط القاعدة كما يلي:
- بما أن القاعدة عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع فإن مساحتها تساوي 4 /3√× طول الضلع²=4 /3√×6² = 3√9 سم².
- محيط القاعدة = مجموع أطوال أضلاعها = 6 6 6 = 18سم.
- المساحة الكلية = 3√9 1/2×18×10 =3√9 90 سم².
- المثال السابع: هرم ثلاثي مائل وغير منتظم، قاعدته أ ب جـ قائمة الزاوية في جـ، وفيه النقطة د تقع مباشرة فوق النقطة جـ بحيث يشكّل العمود جـ د زاوية قائمة مع الضلعين أجـ، ب جـ، جد مساحة الهرم الكلية علماً أن مساحة الوجه د ب أ = 20.9 سم².
- الحل: مساحة الهرم الكلية = مجموع مساحات أوجهه الأربعة = مساحة المثلث (أ ب جـ) مساحة المثلث (د جـ ب) مساحة المثلث (د جـ أ) مساحة المثلث (د ب أ).
- تطبيق قانون مساحة المثلث على كل وجه من وجوه الهرم، كما يلي: مساحة المثلث = 1/2×طول القاعدة×الارتفاع.
- مساحة المثلث (أب جـ) = 1/2×3×4 = 6سم².
- مساحة المثلث (د جـ ب) = 1/2×4×8 = 16سم².
- مساحة المثلث (د جـ أ) = 1/2×3×8 = 12سم².
- مساحة الهرم الكلية = 6 16 12 20.9 = 54.9 سم².
