الأشكال الهندسية في الرياضيات

أشهر المُجسّمات الهندسيّة

تتعدد المجسمات الهندسية أي الأشكال ثلاثية الأبعاد في الرياضيات، ومن أشهرها:

الهرم

يُمكن تعريف الهرم (بالإنجليزية: Pyramid) على أنّه مجسّم يتكوّن من قاعدة مُضلّعة ومسطحة ذات حواف مستقيمة، إضافةً إلى ثلاثة أوجة مُثلثة أو أكثر تلتقي جميعها عند نقطة واحدة فوق القاعدة وتسمى بالقمّة (بالإنجليزية: the Apex)، كما أنّ الهرم لا يمتلك أيّة مُنحنيات، وهناك عدة أنواع من الأهرام هي:

• الهرم القائم: (بالإنجليزية: Right Pyramid) تكون قمة هذا النوع من الأهرامات على استقامة واحدة مع مركز القاعدة تماماً.
• الهرم المائل: (بالإنجليزية: Oblique Pyramid) لا تقع قمة هذا النوع من الأهرامات فوق مركز القاعدة تماماً بل تميل عنه، كما أنّ الأوجة المُثلّثة الجانبيّة تكون غير مُتطابقة.
• الهرم الثلاثي: (بالإنجليزية: Triangular Pyramid) لهذا النوع من الأهرامات قاعدة على شكل مُثلث.
• الهرم الرباعي: (بالإنجليزية: Square Pyramid) لهذا النوع من الأهرامات قاعدة على شكل مربع.
• الهرم الخماسي: (بالإنجليزية: Pentagonal Pyramid) لهذا النوع من الأهرامات قاعدة على شكل مُضلّع خماسي.
• الهرم المنتظم: (بالإنجليزية: Regular Pyramid) هو الهرم الذي تكون قاعدته مُضلّعاً مُنتظماً.
• الهرم غير المنتظم: (بالإنجليزية: Irregular Pyramid) هو الهرم الذي تكون قاعدته مُضلّعاً غير مُنتظماً.

قوانين هامّة للهرم  ومن أبرزها ما يأتي:

• حجم الهرم: يمكن تعريف الحجم على أنه إجمالي الفراغ أو المساحة التي يشغلها الشكل ثلاثي الأبعاد أو الجسم الصلب، ويتم قياسه باستخدام الوحدات المكعّبة، ويكون قانون حجم الهرم على النحو الآتي:

حجم الهرم= ⅓× (مساحة القاعدة) × الارتفاع

• مساحة سطح الهرم: يُمكن تعريف المساحة السطحية للهرم على أنّها المساحة الإجمالية لجميع الأسطح ، ويكون قانون مساحة سطح الهرم على النحو الآتي:

مساحة سطح الهرم= (مساحة القاعدة) ½× (محيط القاعدة)×(الارتفاع الجانبي أو طول المائل) .

الأسطوانة

يُمكن تعريف الأسطوانة (بالإنجليزية: Cylinder) على أنها مجسّم ثلاثي الأبعاد يتكوّن من دائرتين مُتطابقتين مُتّصلتين بسطح منحنٍ، وبذلك فهي تمتلك جانباً واحداً مُنحنياً، بينما تكون القاعدتان مُستويتين، ومُتطابقتين، ومُتوازيتين، ودائرتي الشكل أو بيضاويّتين.

قوانين هامّة للأسطوانة

ومن أبرزها ما يأتي:

• حجم الأسطوانة: و لحساب حجم الاسطوانة فإنّ:

حجم الأسطوانة= مساحة القاعدة×الارتفاع

وبالرموز:

حجم الأسطوانة = π×مربع نصف قطر القاعدة×ارتفاع الأسطوانة = ( π×نق²)×(ع)

حيثُ أنّ:

• • نق: نصف قطر القاعدة الدائريّة.
  • ع: ارتفاع الاسطوانة.

• مساحة الأسطوانة = وعند فرد الأسطوانة فإنّه يمكن ملاحظة أن شبكتها تتكوّن من دائرتين ومستطيل، وبالتالي عند حساب مساحة سطحها يجب جمع مساحات الأسطح ما يلي:

مساحة الأسطوانة= 2×مساحة القاعدة الدائرية مساحة المستطيل (المساحة الجانبية)

بالرموز:

مساحة الأسطوانة= 2×(π×نق²) 2×π×نق×ع

حيثُ إنّ:

• • نق: نصف قطر القاعدة الدائريّة.
  • ع: ارتفاع الأسطوانة.

المخروط

يُمكن تعريف المخروط (بالإنجليزية: Cone) على أنّه شكل هندسي مميز ذو سطح مستوِ يُعرف باسم القاعدة ، وسطح منحنِ مُوجّه نحو القمة أو الرأس (باللإنجليزية: Apex) وهي النهاية المُدببة للمخروط، وهناك ثلاثة خصائص رئيسية للمخروط، وهي على النحو الآتي:

• له وجه دائري واحد.
• لا حواف له.
• له زاوية واحدة.

يُطلق على المخروط اسم المخروط الدائريّ القائم (بالإنجليزية: Right Circular Cone) إذا كانت القمة تقع مُباشرة فوق مركز الدائرة، وعلى استقامة واحدة معها، ويُطلق عليه اسم المخروط المائل (بالإنجليزية: Oblique Cone) إذا كانت القمّة تميل عن مركز الدائرة، ولا تقع على استقامة واحدة معها.

قوانين هامّة للمخروط

من القوانين المُتعلقة بالمخروط ما يلي:

• المساحة الكليّة لسطح المخروط: يمكن حساب المساحة الكلية لسطح المخروط من خلال القانون التالي:

المساحة الكليّة لسطح المخروط= π×نصف قطر قاعدة المخروط× طول المائل

وبالرموز:

المساحة الكليّة لسطح المخروط= π×نق×ل.

إذ إن:

• • π: قيمة باي تساوي 3.14 أو 22/7.
  • نق: نصف قطر قاعدة المخروط.
  • ل: طول المائل.

• حجم المخروط: يمكن حساب حجم المخروط من خلال القانون التالي:

حجم المخروط= ⅓×π×مربع نصف قطر قاعدة المخروط× ارتفاع = ⅓× πنق²×ع.

وبالرموز:

حجم المخروط= ⅓× πنق²×ع

إذ إن:

• • π: قيمة باي تساوي 3.14 أو 22/7.
  • نق²: مربع نصف قطر قاعدة المخروط.
  • ع: الارتفاع.

• مساحة القاعدة: يمكن حساب مساحة قاعدة المخروط من خلال القانون التالي:

مساحة القاعدة = π×مربع نصف قطر قاعدة المخروط = π×نق²

وبالرموز:

مساحة القاعدة = π×نق²

إذ إنّ:

• • نق: نصف قطر القاعدة الدائريّة.
  • ل: الارتفاع الجانبي للمخروط، أو طول المائل؛ حيث: ل²= نق² ع².
  • ع: ارتفاع المخروط.

المكعّب

المكعب (بالإنجليزية: Cube) هو شكل هندسيّ ثلاثي الأبعاد، له 6 وجوه مربعة، و 8 رؤوس، و 12 حرف أو ضلع أو حافة، وللمُكعّب العديد من الخصائص ومنها ما يلي:

• جميع زوايا المُكعّب قائمة.
• يتساوى ارتفاع المُكعّب مع عرضه، وطوله.
• جميع وجوه المكعب مربعة الشكل، ولها نفس الطول والعرض.
• الأضلاع المُقابلة لبعضها البعض متوازية.

قوانين هامّة للمكعب ومن أبرزها ما يأتي:

• حجم المكعّب: ولأن جميع جوانب المُكعّب هي مُربعات مُتطابقة، فإنه إذا كان طول أحد أضلاعه= س، فإن حجم المكعّب يكون على النحو الآتي :

حجم المكعب= مكعب طول الضلع .

وبالرموز:

حجم المكعب = س³

إذ إن:

• • س³: مكعب طول الضلع.

• مساحة سطح المُكعّب: لحساب مساحة سطح المُكعّب يجب أولاً حساب مساحة كلّ وجه أو جانب وهي تساوي مربع طول الضلع= س²، ولأن جميع جوانب المُكعّب الستّة مُتطابقة فإنّ قانون مساحة سطح المُكعّب يكون على النحو الآتي:

مساحة سطح المكعب= 6× مربع طول الضلع

وبالرموز:

مساحة سطح المكعب = 6 × س²

إذ إن:

• • س²: مربع طول الضلع.

مُتوازي المُستطيلات

يُمكن تعريف مُتوازي المُستطيلات (بالإنجليزية: Cuboid) على أنّه شكل ثلاثي الأبعاد ، له 6 جوانب على شكل مستطيلات تسمى وجوه، و8 رؤوس، و 12 حرفاً أو ضلعاً، وتكون جميع الزوايا في مُتوازي المُستطيلات زوايا قائمة، كما أنّ جميع الوجوه المُتقابلة في مُتوازي المُستطيلات مُتساوية، كما يختلف طوله، عن عرضه، عن ارتفاعه.

قوانين هامّة لمتوازي المستطيلات

ومن أبرزها ما يأتي:

• حجم متوازي المستطيلات: لإيجاد حجم مُتوازي المُستطيلات يمكن استخدام القانون الآتي:

الطول× العرض× الارتفاع

وبالرموز:

حجم متوازي المستطيلات= س×ل×ع

حيثُ إنّ:

• • س: عرض مُتوازي المُستطيلات.
  • ل: طول مُتوازي المُستطيلات.
  • ع: ارتفاع مُتوازي المُستطيلات.

• مساحة متوازي المستطيلات: لإيجاد مساحة متوازي المستطيلات يجب أولاً حساب مساحة الوجوه الجانبيّة، والعلويّة، والسفليّة على النحو الآتي:
• مساحة السطحين العلوي والسفلي = 2×(الطول×العرض).
• مساحة السطحين الأمامي والخلفي = 2×(الطول×الارتفاع).
• مساحة السطحين الجانبيين = 2×(العرض×الارتفاع)، وعليه:

مساحة متوازي المستطيلات الكلية = 2×(الطول×العرض) 2×(الطول×الارتفاع) 2×(العرض×الارتفاع)= 2×(الطول×العرض الطول×الارتفاع العرض×الارتفاع).

المنشور

يُمكن تعريف المنشور (بالإنجليزية: Prism) على أنّه شكل هندسيّ له قاعدتان مضلعتان، ومُتوازيتان ومُتطابقتان، تفصل بينهما مسافة تُسمّى الارتفاع، ويُسمى المنشور عادة باسم شكل القاعدة؛ فمثلاً إذا كانت القاعدة مُثلثاً فيُسمّى بالمنشور الثُلاثيّ (بالإنجليزية: Triangular Prism)، وإذا كانت القاعدة خُماسيّة فيُسمى بالمنشور الخُماسيّ (بالإنجليزية: Pentagonal Prism).

أما إذا كانت قاعدة المنشور مربعة الشكل وجميع وجوهه مربعة فيُعرف باسم المُكعّب (بالإنجليزية: Square Prism)، والمنشور ذو القاعدة المستطيلة يُعرف باسم متوازي المستطيلات (بالإنجليزية: Rectangular Prism)، أما المنشور السداسي (بالإنجليزية: Hexagonal Prism) فهو المنشور ذو القاعدة سداسية الشكل.

قوانين هامّة للمنشور

ومن أبرزها ما يأتي:

• حجم المنشور: يُحسب حجم المنشور باستخدام القانون الآتي:

حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع.

• مساحة المنشور: تُحسب مساحة سطح المنشور باستخدام القانون الآتي:

مساحة المنشور = 2×مساحة القاعدة محيط القاعدة×الارتفاع.

الكرة

يُمكن تعريف الكرة (بالإنجليزية: Sphere) على أنّها جسم هندسيّ دائري ثلاثي الأبعاد، وبعبارة أخرى يُمكن القول إنّها دائرة ثلاثية الأبعاد ذات سطح منحنٍ وليس لها زوايا، وكل نقطة على سطح الكرة تبعُد مسافة ثابتة عن مركزها، وهذه المسافة تُعرف باسم نصف القطر (نق)، فالكرة جسم مُتماثل تماماً.

قوانين هامّة للكرة

ومن أبرزها ما يأتي:

• مساحة سطح الكرة: تُحسب مساحة سطح الكرة باستخدام القانون الآتي:

مساحة سطح الكرة = 4×π× مربع نصف القطر

وبالرموز:

مساحة سطح الكرة = 4×π×نق²

أو

مساحة سطح الكرة = π×ق²

حيثُ إنّ:

• • نق: نصف قطر الكرة.
  • ق: قطر الكرة.

• حجم الكرة: يُمكن حساب حجم الكرة باستخدام القانون الآتي :

حجم الكرة=4/3×π×مكعب نصف قطر الكرة

وبالرموز:

حجم الكرة= 4/3×π×نق³

حيثُ إنّ:

• • نق³: مكعب نصف قطر الكرة.

أشهر الأشكال الهندسيّة المستوية

الأشكال الهندسية المستوية هي الأشكال ذات البعدين ومن أهمها ما يأتي:

مُتوازي الأضلاع

يُمكن تعريف مُتوازي الأضلاع (بالإنجليزية: Parallelogram) على أنّه شكل هندسيّ يكون فيه كل ضلعين مُتقابلين مُتوازيان، كما تكون زواياه المُتقابلة مُتساوية، بينما تكون زواياه المُتجاورة مُتكاملة، وله قطران ينصّف كُلّ منهما الآخر، كما أنّ كُلّ قطر يُقسم مُتوازي الأضلاع إلى مُثلثين مُتطابقين، وإذا كانت إحدى زواياه قائمة فإنّ جميع الزوايا الأخرى تكون قائمة وبالتالي يُصبح الشكل مستطيلًا.

قوانين هامّة لمتوازي الأضلاع

ومن أبرزها ما يأتي:

• مساحة متوازي الأضلاع: يتمّ حساب مساحة مُتوازي الأضلاع باستخدام القانون الآتي :

مساحة مُتوازي الأضلاع= طول القاعدة× الارتفاع.

• محيط متوزاي الأضلاع: يمكن حسابه باستخدام القانون الآتي:

محيط متوازي الأضلاع= 2×(طول القاعدة طول الضلع الجانبي).

المُربّع

يُمكن تعريف المُربّع (بالإنجليزية: Square) على أنّه نوع خاص من المستطيل ، ومن المعين، حيث يمتلك المربع خصائص مشتركة مع كل منهما، وتكون جميع زواياه قائمة، وجميع أضلاعه متساوية في الطول، ويُمكن القول إنّ المُربّع هو شكل رُباعيّ الأضلاع، يتشكّل عن طريق رسم 4 خطوط مُتساوية في الطول لتلتقي مع بعضها وتكوّن زوايا قائمة، والفرق بينه وبين المُستطيل هو أنّ طول ضلعين في المُستطيل يكون أطول من طول الضلعين الآخرين.

وللمُربّع العديد من الخصائص ومنها ما يلي:

• تتساوى جميع أضلاعه، وتتساوى جميع زواياه.
• الأضلاع المُتقابلة مُتوازية.
• أقطاره مُتطابقة.
• تتعامد أقطاره وتُنصّف بعضها البعض عند نقطة التقاطع.
• يُعدّ المُربّع نوعاً خاصاً من متوازي الأضلاع؛ حيثُ تتساوى جميع أضلاعه، وتتساوى جميع زواياه، ويتحوّل متوازي الأضلاع إلى مُربّع عندما تتعامد أقطاره وتُنصّف بعضها البعض عند نقطة التقاطع.

قوانين هامّة للمربع

وفيما يلي بعض القوانين الخاصّة بالمُربع:

• طول قطر المُربّع: يمكن حساب طول قطر المربع باستخدام القانون الآتي:

طول قطر المُربّع= 2√× طول ضلع المربع

وبالرموز:

طول قطر المُربّع= 2√× ل

إذ إن:

• • ل: طول ضلع المربع.

• مساحة المُربّع: يمكن حساب مساحة المربع باستخدام القانون الآتي:

مساحة المُربّع = طول ضلع المربع²

وبالرموز:

مساحة المُربّع = ل²

• محيط المُربّع: يمكن حساب محيط المربع باستخدام القانون الآتي:

محيط المُربّع= 4× طول ضلع المربع

وبالرموز:

محيط المُربّع= 4× ل.

المُستطيل

يُمكن تعريف المُستطيل (بالإنجليزية: Rectangle) على أنّه شكل هندسيّ له أربعة أضلاع، وأربع زوايا قائمة، وللمُستطيل العديد من الخصائص، ومنها ما يلي:

• أضلاعه المُتقابلة مُتوازية ومتطابقة.
• أقطاره مُتطابقه وتنصّف بعضها البعض.
• تتطابق الزوايا المُتقابلة التي تتشكّل عند نقطة تقاطع الأقطار.
• يُعدّ المستطيل نوعاً خاصاً من مُتوازي الأضلاع حيثُ جميع زواياه قائمة.

قوانين هامّة للمستطيل

وفيما يلي بعض القوانين الخاصّة بالمُستطيل :

• طول قطر المستطيل: يمكن حساب طول قطر المستطيل باستخدام القانون الآتي:

طول قطر المستطيل = (الطول² العرض²)√

بالرموز:

طول قطر المستطيل = (ط² ع²)√

إذ إن:

• • ط: طول المستطيل.
  • ع: عرض المستطيل.

• مساحة المُستطيل: يمكن حساب مساحة المستطيل باستخدام القانون الآتي:

مساحة المُستطيل= الطول×العرض

بالرموز:

مساحة المُستطيل= ط×ع

• مُحيط المُستطيل: يمكن حساب محيط المستطيل باستخدام القانون الآتي:

مُحيط المُستطيل=2×(الطول العرض)

بالرموز:

مُحيط المُستطيل=2×(ط ع)

المعين

يُمكن تعريف المعين (بالإنجليزية: Rhombus) على أنّه شكل هندسيّ يتكون من 4 خطوط مستقيمة ومُتساوية في الطول، وزواياه المُتقابلة مُتساوية، وللمعين العديد من الخصائص، ومنها ما يلي:

• تتعامد أقطاره وتُنصّف بعضها البعض عند نقطة التقاطع.
• الزوايا المُتجاورة مُتكاملة؛ أي أنّ مجموعها يساوي 180 درجة.
• يُعدّ المعين متوازي أضلاع أقطاره متعامدة مع بعضها البعض، وأضلاعه متساوية.

قوانين هامّة للمعين

وفيما يلي بعض القوانين الخاصّة بالمعين:

• مساحة المعين: يمكن حساب مساحة المعين باستخدام القانون الآتي:

مساحة المعين=½(طول القطر الأول×طول القطر الثاني) = طول الضلع× الارتفاع.

• مُحيط المعين: يمكن حساب محيط المعين باستخدام القانون الآتي:

مُحيط المعين=4×طول صلع المعين.

شِبه المُنحرف

يُمكن تعريف شِبه المُنحرف (بالإنجليزية: Trapezoid) على أنّه شكل هندسيّ له أربعة أضلاع، وله ضلعان مُتوازيان فقط بينما الضلعان الآخران غير مُتوازيين، ويتميّز شِبه المُنحرف بأنّ أضلاعه وزواياه وأقطاره لا تتطابق.

وفيما يلي بعض القوانين الخاصّة بشِبه المُنحرف:

• مساحة شِبه المُنحرف: يمكن حساب مساحة شبه المنحرف باستخدام القانون الآتي:

مساحة شِبه المُنحرف=½(طول القاعدة الأولى طول القاعدة الثانية)

• مُحيط شِبه المُنحرف: يمكن حساب محيط شبه المنحرف باستخدام القانون الآتي:

مُحيط شِبه المُنحرف = مجموع أطوال أضلاعه = طول القاعدة الأولى طول القاعدة الثانية طول الضلع الجانبي الأول طول الضلع الجانبي الثاني.

الدائرة

يُمكن تعريف الدائرة (بالإنجليزية: Circle) على أنّها شكل من الأشكال الهندسيّة لا يمتلك خطوطاً مستقيمةً، ولا زوايا، فهي عبارة عن مجموعة من المُنحنيات التي ترتبط مع بعضها البعض لتشكّل حلقة مغلقة في النهاية.

ويُمكن القول أيضاً بأنّها مجموعة من النقاط التي تبعُد مسافة مُتساوية عن نقطة معيّنة تسمى المركز (بالإنجليزية: Centre)، ويُسمى الخطّ الذي يمرّ بمركز الدائرة ويمسّ نقطتين على المُحيط بالقطر (ق) (بالإنجليزية: Diameter)، ويُسمى الخط المرسوم من مركز الدائرة إلى مُحيطها بنصف القطر (نق) (بالإنجليزية: Radius)، وللدائرة العديد من الخصائص منها ما يلي:

• تتطابق الدوائر إذا كان لها نصف قطر متساوٍ.
• قطر الدائرة هو أطول وتر فيها.
• تتساوى الأوتار في الطول إذا كانت تبعُد عن المركز نفس المسافة.
• كُلّما زاد طول الوتر قلّت المسافة العموديّة بينه وبين مركز الدائرة.

قوانين هامّة للدائرة

وفيما يلي بعض القوانين الخاصّة بالدائرة:

• مساحة الدائرة : يمكن حساب مساحة الدائرة باستخدام القانون الآتي:

مساحة الدائرة= π×نصف القطر²

وبالرموز:

مساحة الدائرة=π×نق²

إذ إن:

• • نق²: مربع نصف قطر الدائرة.

• مُحيط الدائرة: يمكن حساب محيط الدائرة باستخدام القانون الآتي:

مُحيط الدائرة=2×π× نصف القطر

وبالرموز:

مُحيط الدائرة=2×π×نق

• قطر الدائرة: يمكن حساب قطر الدائرة باستخدام القانون الآتي:

قطر الدائرة= 2 × نصف القطر

وبالرموز:

ق =2×نق

حيثُ إنّ:

• • ق: قطر الدائرة.
  • نق: نصف قطر الدائرة.
  • π: ثابت عددي قيمته 3.14 أو 22/7.

المُثلث

يُمكن تعريف المُثلث (بالإنجليزية: Triangle) على أنّه شكل هندسيّ يتكوّن من ثلاثة خطوط متصلة، ويُمكن أن تكون قياسات زوايا المُثلث مُختلفة عن بعضها البعض خلافاً للمستطيل أو المربع، فهي ليست قائمة، وتتمّ عادة تسمية المُثلثات اعتماداً على نوع الزوايا الموجودة داخله على النحو الآتي:

• المُثلث قائم الزاوية: (بالإنجليزية: Right-Angled Triangle) المثلث الذي له زاوية واحدة قائمة.
• المُثلث حادّ الزاوية: (بالإنجليزية: Acute-Angled Triangle) المثلث الذي تكون جميع زواياه أقل من 90 درجة.
• المثلث مُنفرج الزاوية: (بالإنجليزية: Obtuse Angled Triangle) المُثلث الذي تكون إحدى زواياه أكبر من 90 درجة.

كما تتمّ تسمية المُثلثات اعتماداً على طول أضلاعهاعلى النحو الآتي:

• المُثلث مُتساوي الأضلاع: (بالإنجليزية: Equilateral Triangle) المُثلث الذي تكون جميع زواياه تُساوي 60 درجة، وله ثلاثة أضلاع مُتطابقة
• مثلث مُختلف الأضلاع: (بالإنجليزية: Scalene Triangle) تكون جميع أضلاعه وزواياه ذات قياسات مُختلفة.
• مثلث متساوي الساقين: (بالإنجليزية: Isosceles Triangle) المُثلث الذي له ضلعان متطابقان.

قوانين هامّة للمثلث

وفيما يلي بعض القوانين الخاصّة بالمُثلث:

• مجموع زوايا المُثلث=180

• مساحة المثلث: يمكن حساب قطر الدائرة باستخدام القانون الآتي:

مساحة المثلث=½×طول القاعدة×الارتفاع

• محيط المثلث: يمكن حساب قطر الدائرة باستخدام القانون الآتي:

محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه

وبالرموز:

محيط المثلث = أ ب ج

حيثُ إنّ:

• • أ: طول القاعدة.
  • ب، ج: طول الضلعين الآخرين.

تتعدد المجسمات الهندسية أي الأشكال ثلاثية الأبعاد في الرياضيات، ومن أشهرها؛ الهرم، والأسطوانة، والمخروط، والمكعب، ومتوازي المستطيلات، والمنشور، والكرة، أما الأشكال الهندسية المستوية هي الأشكال ذات البعدين ومن أهمها؛ متوازي الأضلاع، والمربع، والمستطيل، وشبه المنحرف، والدائرة، والمثلث.