أنواع المعادلات الخطية

أنواع المعادلات الخطية

يوجد ثلاث أنواع رئيسية للمعادلة الخطية، وهي كالآتي:

المعادلة على الشكل القياسي

المعادلة على الشكل القياسي (بالإنجليزية: standard form) وهي معادلة خطية تأتي على صيغة:

أ س ب ص=ج؛ حيث أن أ، ب، ج غالبًا ما تكون أعدادًا صحيحة.

إيجاد الرسم البياني ونقاط التقاطع للمعادلة الخطية على الصورة القياسية:

عندما تكون المعادلة الخطية مكتوبة على الصورة القياسية، يمكننا إيجاد المقطع السيني والصادي لنقاط التقاطع مع المحاور، ومن ذلك يمكننا إيجاد الرسم البياني للاقتران.

والمثال التالي يوضح ذلك:

مثال 1: بفرض المعادلة الخطية الآتية: 2س 3ص=12

1. افرض أن س=0
2. ستحصل على (3 ص= 12)
3. ومنه؛ ص=12/3
4. ص=4
5. إذًا المقطع الصادي هو (0 ,4)
6. وبنفس الطريقة بفرض ص=0
7. ستحصل على 2س=12
8. س=12/2
9. س=6
10. إذًا المقطع السيني (6, 0)
11. وللحصول على الرسم البياني للإقتران، نرسم خطا مستقيما يصل بين النقطتين، (6 ,0) و (0 ,4).

مثال 2: ما المقطع السيني والصادي للمعادلة  5س-2ص=10؟

باتباع نفس الطريقة السابقة:

1. افرض ص=0
2. 5 س=10
3. س=2
4. افرض س=0
5. 2ص= 10
6. ص=5
7. ومن ذلك تجد أن:
   1. المقطع السيني:(0, 2)
   2. المقطع الصادي:(0,5)

التحويل للصيغة القياسية:

في بعض الأوقات عند حل المعادلات الخطية قد يستوجب علينا تحويل المعادلة لشكلها القياسي، والمثال الآتي يوضح ذلك:

مثال: كيف نحول المعادلة ص=3/8س 5 إلى الصيغة القياسية؟

1. اجعل جميع المتغيرات على جانب واحد: -3/8س ص=5
2. اضرب جميع حدود المعادلة ب8: -3س 8ص=40
3. وبذلك نكون حصلنا على الصيغة القياسية حيث أن أ=-3 و ب=8 و ج=40.

معادلة ميل ونقطة

معادلة ميل ونقطة (بالإنجليزية: point slope) وهي معادلة بمتغيرين تأتي على صيغة:

ص- ص1= م (س- س1)

حيث أن م ميل الخط المستقيم، و (س1، ص1) نقطة تقع على الخط.

إيجاد معادلة نقطة وميل من عناصرها:

فلنفرض أننا نريد أن نجد معادلة خط مستقيم يمر بالنقطة (1,5)، و ميله -2.

1. من المعطيات يمكننا ان ندرك من أن: م=-2، س1=1، ص1=5.
2. ومن ذلك، يمكننا تحديد معادلة الخط المستقيم وهي: ص- 5=-2 (س-1).

تحديد معادلة خط مستقيم يمر في نقطتين:

لإيجاد معادلة خط يمر بنقطتين، علينا في البداية أن نعرف قانون الميل ، وهو كالآتي:

م=(ص- ص1) /(س- س1)

حيث أن م الميل، و(س، ص) النقطة الثانية، و(س1, ص1) النقطة الأولى.

مثال: جد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (1 ,4)، و النقطة (6 ,19).

1. بتطبيق قانون الميل: م=(19-4)/(6-1)
   1. م=15/5
   2. م=3

1. وبعد إيجاد الميل نستخدم إحدى النقطتين لإيجاد المعادلة، ولتكن النقطة (1 ,4).
2. فنجد أن معادلة الخط المستقيم هي: ص-4=3 (س-1)

معادلة الميل والمقطع

معادلة الميل والمقطع (بالإنجليزية: slope-intercept) وهي معادلة خطية بمتغيرين، تأتي صيغتها على شكل:

ص= م س ب

حيث أن م الميل، و ب المقطع الصادي.

إيجاد معادلة ميل ومقطع من عناصرها:

مثال1: فلنفرض أننا نريد إيجاد معادلة الخط المستقيم الذي ميله - 1، والمقطع الصادي له (0 ,5).

1. اولًا يجب أن نحدد قيمة كل عنصر لكتابة المعادلة:
   1. م=-1
   2. ب=5

1. ومنه فإن شكل المعادلة كالآتي: ص=-1س 5

مثال2: فلنفرض أن لدينا خطًا مستقيمًا يمر بالنقطتين (0 ,4-) و(3 ,1-) كيف يمكننا إيجاد معادلته.

1. اولأ يمكننا أن نلاحظ بأن النقطة (0 ,4-) هي المقطع الصادي.
   1. ومن ذلك فإن ب=-4

1. بعد ذلك يجب أن نجد ميل الخط المستقيم:
   1. م=(-1-(-4))/(3-0)
   2. م=3/3
   3. م=1

1. إذًا معادلة الخط المستقيم هي: ص=1س-4

ما هي المعادلة الخطية؟

المعادلة الخطية هي معادلة تكون أعلى قوة للمتغير فيها دائمًا 1، ولا يمكن أن يكون أحد المتغيرات فيها مرفوعًا لقوة أكبر من 1، ومن هذا المفهوم تُسمى المعادلة الخطية أيضًا باسم المعادلة من الدرجة الأولى ، ويكون رسم المنحنى لها دائمًا على شكل خط مستقيم؛ وهذا السبب لتسميتها بالخطية.

ويمكن أن تكون المعادلة الخطية معادلة بمتغير واحد أو بأكثر من متغير بشرط أن تكون جميع المتغيرات فيها مرفوعة للأس 1.