مقارنة الأعداد النسبية وترتيبها وأمثلة عليها

مقارنة الأعداد النسبية

تُعرّف مقارنة الأعداد (بالإنجليزية: Comparing Numbers) بأنّها عملية تُوضح علاقة الأرقام ببعضها والخصائص المُتشابهة وغير المُتشابهة بينهما، وفي الرياضات توضّح عملية المُقارنة الاختلافات بين القيم لكل عدد، بحيث تُحدد إذا كانت قيمة ما أكبر أو أصغر أو تساوي قيمة أخرى، ويُستخدم لمقارنة الأعداد النسبيّة إشارات ورموز وهي كالتالي:

• الإشارة (=): وتُستخدم للدلالة عن قيمتين متساويتين في المقدار؛ مثال: (1/2 = 1/2).
• إشارة أكبر من (>): تُستخدم للدلالة على أنّ القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية؛ مثال: (1/3 > 1/8).
• إشارة أصغر من ( تُستخدم للدلالة على أنّ القيمة الأولى أصغر من القيمة الثانية؛ مثال: (1/3

يمكن تعريف العدد النسبي على أنه العدد الذي يُكتب على صور كسر (أ/ب)؛ حيث أنّ (أ) البسط وهو عدد صحيح، و(ب) المقام وهو عدد صحيح ويجب أن لا يساوي صفر، وقد يكون عددًا نسبيًا موجبًا أو عددًا نسبيًا سالبًا، وتُسمى الأعداد التي لا يُمكن كتابتها على صورة كسر بالأعداد غير النسبية، ويكون ناتج العدد الكسري عددًا عشريًا و قد يخطئ البعض في التمييز بين العدد النسبي والعشري حيث أنّ العدد العشري هو العدد الذي يتكوّن من الجزء الصحيح والجزء العشري ويُفصل بينهما بالفاصلة العشرية.

مقارنة الأعداد النسبية الموجبة

الأعداد النسبية الموجبة هي الأعداد التي يكون فيها البسط والمقام عددان صحيحان موجبان، ويُمكن المقارنة بين الأعداد النسبية الموجبة بالخطوات اللآتية:

على سبيل المثال: قارن بين العدد 2/3 والعدد 5/7.

• نوحّد مقامات الأعداد النسبية.
• نُحدّد المُضاعف المشترك الأصغر للمقامات، حيث أنّ المضاعف المشترك الأصغر للعددان 3، 7 هو العدد 21
• نضرب البسط والمقام للعدد 2/3 في الرقم 7 ليُصبح المقام 21، ونضرب بسط ومقام العدد 5/7 بالرقم 3 ليُصبح المقام 21.
• نجد أنّ : 14/21 = (7×3)/(7×2) = 2/3
• نجد أنّ : 15/21 = (3×7)/(3×5) = 5/7
• تُصبح المقارنة بين العددان 14/21 والعدد 15/21.
• نُقارن بين البسط لكل عدد بعد توحيد المقامات والعدد ذو البسط الأكبر هو العدد الأكبر، وبما أنّ البسط عدد صحيح يُقارَن بنفس طريقة المقارنة بين الأعداد الصحيحة.
• نجد أنّ العدد العدد 15 أكبر من العدد 14.
• إذًا العدد15/21 > 14/21، وبالتالي العدد 5/7 > 2/3.

مقارنة الأعداد النسبية السالبة

الأعداد النسبيّة السّالبة هي الأعداد التي يكون فيها البسط أو المقام عددًا صحيحًا سالبًا، ويُمكن المقارنة بين الأعداد النسبية السّالبة بالخطوات الآتيه:

• نُوحّد مقامات الأعداد النّسبية بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.
• بعد توحيد المقامات نُقارن بين أرقام البسط لكل عدد بنفس طريقة مقارنة الأعداد الصحيحة السّالبه، والعدد الذي يمتلك في البسط الرقم الأكبر هو العدد الأصغر، لأنّ الأعداد السّالبة عكس الأعداد الموجبة في قيمها.
• عند المقارنة بين الأعداد النسبية الموجبة والأعداد النسبية السالبة فإن العدد النّسبي الموجب يكون دائمًا أكبر من العدد النّسبي السالب.

أمثلة متنوعة على مقارنة الأعداد النسبية

العدد النسبي هو العدد الذي يُكتب على صورة كسر حيث أنّ البسط والمقام عددان صحيحان والمقام لا يساوي صفر، وقد يكون عددًا نسبيًا موجبًا أو سالبًا، ويُمكن المقارنة بين الأعداد النسبية بتوحيد المقامات أولًا، ثم المقارنة بين أرقام البسط لكل عدد، والعدد الذي يكون بسطه أكبر يكون هو العدد الأكبر، ويجب الانتباه إلى أنّ العدد النسبي الموجب أكبر من العدد النسبي السالب.

ترتيب الأعداد النسبية

ترتيب الأعداد هي المقارنة بين الأعداد حسب قيمها ووضعها في تسلسل؛ بحيث إمّا أن يكون ترتيبًا تصاعديًا؛ أي ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر، أو ترتيبها تنازليًا أي من الأكبر إلى الأصغر، وفيما يأتي شرح لترتيب الأعداد النسبيّة:

ترتيب الأعداد النسبية تنازليًا

تُرتّب الأعداد النسبية تنازليًا حسب قيمتها من العدد الأكبر إلى العدد الأصغر، وفيما يأتي شرح الترتيب التنازلي للأعداد النسبية:

• نوحد المقامات بين جميع الأعداد النسبيّة بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر بينها.
• نُقارن بين أرقام البسط بعد توحيد المقامات بنفس طريقة مقارنة العدد الصحيح.
• العدد الذي يمتلك أكبر رقم في البسط يكون العدد الأكبر.
• ترتب الأعداد حسب نتيجة مقارنة أرقام البسط، من العدد الأكبر إلى العدد الأصغر.
• وبما أنّ الأعداد الموجبة أكبر من الأعداد السالبة تُوضع الأعداد الموجبة في البداية، ثم الأعداد السالبة.

ترتيب الأعداد النسبية تصاعديًا

تُرتّب الأعداد تصاعديًا حسب قيمتها من العدد الأصغر إلى العدد الأكبر، وفيما يأتي شرح الترتيب التصاعدي للأعداد النسبية:

• نوحد المقامات بين جميع الأعداد النسبيّة بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر بينها.
• نُقارن بين أرقام البسط بعد توحيد المقامات بنفس طريقة مقارنة العدد الصحيح.
• العدد الذي يمتلك أصغر رقم في البسط يكون العدد الأصغر.
• ترتب الأعداد حسب نتيجة مقارنة أرقام البسط، من العدد الأصغر إلى العدد الأكبر.
• وبما أنّ الأعداد الموجبة أكبر من الأعداد السالبة تُوضع الأعداد السالبة في البداية، ثم الأعداد الموجبة.

أمثلة متنوعة على ترتيب الأعداد النسبية

كيف يُمكن ترتيب الأرقام الآتية ترتيبًا تصاعديًا: 1/2، 1/4، 7/3-؟

1. العدد السالب هو أصغر عدد وهو العدد 7/3-.
2. نوحد مقامات العددان 1/2 و 1/4.
3. نلاحظ أنّ المقام 4 من مضاعفات المقام 2، لذا نحتفظ بالعدد النسبي 1/4 ونضرب مقام وبسط العدد 1/2 في 2 للحصول على نفس المقام الموحد (4).
4. يُصبح العددان بعد الضرب: 2/4، 1/4.
5. نقارن بين البسط نجد أنّ العدد 2 أكبر من العدد 1.
6. إذًا العدد 7/3- أصغر من العدد 1/4 أصغر من العدد 2/4.
7. وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر: 7/3-

كيف يُمكن ترتيب الأرقام الآتية ترتيبًا تنازليًا: 100/8، 77/8، 42/8-؟

1. نُلاحظ أنّ جميع المقامات موحدة.
2. العدد السالب هو أصغر عدد وهو العدد 42/8-.
3. نقارن بين البسط، نجد أنّ العدد 100 أكبر من العدد 77، إذًا العدد 100/8 أكبر من العدد 77/8.
4. وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر للأصغر: 100/8 > 77/8 > 42/8-.

كيف يُمكن ترتيب الأرقام الآتية ترتيبًا تنازليًا: 7/8، 7/2، 5/8؟

1. نُلاحظ أنّ مقامات العددان 7/8 و 5/8 موحدة.
2. نوحد مقام العدد 7/2 بضرب البسط والمقام بالرقم 4 ليصبح المقام يساوي 8.
3. يُصبح العدد 7/2 بعد توحيد المقام 28/8.
4. نقارن بين البسط، نجد أنّ الرقم 28 أكبر من 7 أكبر من 5.
5. إذًا العدد 28/8 أكبر من العدد 7/8 أكبر من العدد 5/8.
6. وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر للأصغر: 7/2 > 7/8 > 5/8.

كيف يُمكن ترتيب الأرقام الآتية ترتيبًا تصاعديًا: 5/3، 5/6، 1/12؟

1. نُوحّد المقامات، نجد أنّ المقام 12 من مضاعفات الأرقام 3 و 6
2. نحتفظ بالعدد النسبي 1/12 ونضرب مقام وبسط العدد 5/3 في 4 للحصول على نفس المقام الموحد (12)، ونضرب مقام وبسط العدد 5/6 في 2 للحصول على نفس المقام الموحد (12).
3. تُصبح الأعداد بعد توحيد المقامات: 20/12، 10/12، 1/12.
4. نقارن بين البسط نجد أنّ العدد 20 أكبر من العدد 10 وأكبر من العدد 1.
5. إذًا العدد 20/12 أكبر من 10/12 أكبر من 1/12.
6. تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر: 1/12

كيف يُمكن ترتيب الأرقام الآتية ترتيبًا تصاعديًا: 2/5-، 9/5-، 7/5-؟

1. نُلاحظ أنّ جميع المقامات موحدة.
2. نقارن بين البسط، نجد أنّ العدد 9- أصغر من العدد 7- أصغر من العدد 2-.
3. نُرتّب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر: 9/5-

كيف يُمكن ترتيب الأرقام الآتية ترتيبًا تنازليًا: 1/3-، 5/6-، 7/6-؟

1. نُوحّد المقامات، نجد أنّ المقام 6 من مضاعفات الرقم 3
2. نحتفظ بالعددين النسبيين 5/6- و 7/6- ونضرب مقام وبسط العدد 1/3- في 2 للحصول على نفس المقام الموحد (6).
3. تُصبح الأعداد بعد توحيد المقامات: 2/6- و 5/6- و 7/6-.
4. نقارن بين البسط، نجد أنّ العدد 2- أكبر من العدد 5- أكبر من العدد 7-.
5. إذًا العدد 2/6- أكبر من 5/6- أكبر من 7/6-
6. نُرتّب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر إلى لأصغر كالآتي: 1/3- > 5/6- > 7/6-.

تُرتّب الأعداد النسبية بالتحقق من أنّ المقامات مُوحّدة بين جميع الأعداد بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر بينها، ثم المقارنة بين أرقام البسط لكل عدد، ويكون العدد الأكبر العدد هو العدد الذي يمتلك البسط الأكبر، وتُرتب الأعداد النسبية إما ترتيبًا تصاعديًا أي من الأصغر إلى لأكبر، أو تنازليًا من الأكبر إلى لأصغر.