مفهوم الجملة المفتوحة بالرياضيات وطرق حلها

مفهوم الجملة المفتوحة

تتميّز الجمل المفتوحة (بالإنجليزية: Open Sentences) باحتوائها على متغيّرات دائمًا، وبذلك لا يمكن الحكم عليها بالخطأ أو الصواب، وعمومًا يركّز معنى الجمل المفتوحة على كونها نوع من أنواع المعادلات الجبرية التي يمكن حلّها بتعويض ثوابت مكان متغيّراتها ويُرمز لهذه المتغيّرات عادةً بأحرف ما مثل: س أو ص، كما يمكن استخدام الأشكال بدلًا من المتغيرات للأطفال للدلالة على هذه المتغيّرات التي يمكن استبدالها بالأرقام لحلّ الجمل فيما بعد.

تحويل العبارة المكتوبة إلى جملة مفتوحة

ويمكن ترجمة التعابير اللفظية في الجمل الكاملة كما يأتي:

• ناتج جمع عدد ما إلى العدد 3: تعني 3 س، وتكافئ س 3.
• ناتج تقليل عدد ما بمقدار 3: تعني س-3، فالمجهول طُرح منه العدد.
• ناتج طرح عدد من 3: تعني 3-س، فالعدد 3 أُخذ منه (طُرح منه) قيمة مجهولة.
• ثلاثة أضعاف عدد ما: تعني 3×س.
• حاصل قسمة العدد 3 على عدد ما: تعني 3÷س وتكافئ 3/س.
• ملاحظة: يجب الانتباه إلى الفرق بين الأعداد التي تجري عليها العمليات وتمييز الثابت والمتغير الوارد في التعبير اللفظي أولًا، بالإضافة إلى تمييز النواتج في نهاية الجمل عادةً ويمكن الاستدلال عليها من خلال العبارات: يساوي، يصبح ، ينتج، النتيجة.

طرق حل الجملة المفتوحة

حل الجملة المفتوحة يعني إيجاد قيمة المتغير لجعل التعبير الرياضي صحيحًا، ويجب البدء أولًا بتحويل الجملة المفتوحة اللفظية إلى رياضيّة باستخدام العمليات (جمع، طرح، ضرب قسمة)، و تستطيع حل الجملة المفتوحة ذهنيًا وبالتخمين ، أو بالاعتماد على المثلث كما يأتي:

التخمين

يمكن حل الجملة المفتوحة بالتخمين أحيانًا بسهولة من خلال المعرفة الرياضية التراكمية السابقة، ويكون ذلك كما يأتي:

• التفكير في عدد ما يجعل الجملة المفتوحة صحيحة، ويمكن ترجمة الجملة ذهنيًا إلى بعض الأسئلة التي يخاطب فيها الطالب نفسه.
• كتابة الإجابة بالصورة الآتية: س=الجواب.

ومثال ذلك:

حل الجملة المفتوحة الآتية: ص 6=9.

الحل:

• ما هو العدد الذي يمكن إضافته للعدد 6 ليصبح 9؟ الجواب هو 3.
• تُكتب الإجابة على الصورة: ص=3.

رغم ذلك، يُمكن للتخمين أن يكون صعبًا عند حل بعض الجمل.

استخدام مثلث الجمع والطرح

يمكن حل الجملة المفتوحة باستخدام المثلث وهي من الطرق التي تعزز الحسابات الذهنية وتزيد من مهارة الطالب، يعتمد مثلث الجمع والطرح على فكرة أن عمليتي الجمع والطرح متعاكستان ، فتترابط الأعداد داخل المثلث بعدّة أساليب حسب هاتين العمليّتين، كما يأتي:

الجمع

تُصاغ جمل الجمع المفتوحة باستخدام مثلث الجمع والطرح كما يأتي:

1. يوضع العدد الأكبر دائمًا عند نقطة أعلى المثلث، العدد 9 مثلًا.
2. يوضع العددين الآخرين أصغر من العدد الأول، عند زاويتي المثلث في الأسفل، ، 3 و6 مثلًا.
3. توضع الإشارات التي يعتمدها مثلث الحقيقة وهي: ( ،-)، مع الاهتمام بالجمع فقط في هذه الحالة.
4. يُغطّى العدد عند النقطة عند رأس المثلث بالإبهام.
5. تُصاغ عملية الجمع من الأعداد المتبقيّة ويكون الناتج هو العدد المغطّى، كما يأتي: 3 6=9 أو 6 3=9.

الطرح

تُصاغ جمل الطرح المفتوحة باستخدام مثلث الجمع والطرح كما يأتي:

1. يوضع العدد الأكبر دائمًا عند نقطة أعلى المثلث، العدد 9 مثلًا.
2. يوضع العددين الآخرين أصغر من العدد الأول، عند زاويتي المثلث في الأسفل، 3 و6 مثلًا.
3. توضع الإشارات التي يعتمدها مثلث الحقيقة وهي: ( ،-)، مع الاهتمام بالطرح فقط في هذه الحالة.
4. يُغطّى واحد من الأعداد عند النقطة عند زوايا المثلث في الأسفل بالإبهام.
5. تُصاغ عملية الطرح من الأعداد المتبقيّة ويكون الناتج هو العدد المغطّى، كما يأتي: 9-4= 5 أو 9-5= 4.

استخدام مثلث الضرب والقسمة

يمكن الاعتماد على مثلث الضرب والقسمة في الجمل المفتوحة التي تتضمّن هذه العمليات كما يأتي:

الضرب

تُصاغ جمل الضرب المفتوحة باستخدام مثلث الضرب والقسمة كما يأتي:

1. يوضع العدد الأكبر دائمًا عند نقطة أعلى المثلث، العدد 21 مثلًا.
2. يوضع العددين الآخرين أصغر من العدد الأول، عند زاويتي المثلث في الأسفل، 3 و7 مثلًا.
3. توضع الإشارات التي يعتمدها مثلث الحقيقة وهي: (×،÷)، مع الاهتمام بالضرب فقط في هذه الحالة.
4. يُغطّى العدد عند النقطة عند رأس المثلث بالإبهام.
5. تُصاغ عملية الضرب من الأعداد المتبقيّة ويكون الناتج هو العدد المغطّى، كما يأتي: 7×3=21 أو 3×7=21.

القسمة

تُصاغ جمل القسمة المفتوحة باستخدام مثلث الضرب والقسمة كما يأتي:

1. يوضع العدد الأكبر دائمًا عند نقطة أعلى المثلث، العدد 21 مثلًا.
2. يوضع العددين الآخرين أصغر من العدد الأول، عند زاويتي المثلث في الأسفل، 3 و7 مثلًا.
3. توضع الإشارات التي يعتمدها مثلث الحقيقة وهي: (×،÷)، مع الاهتمام بالقسمة فقط في هذه الحالة.
4. يُغطّى واحد من الأعداد عند النقطة عند زوايا المثلث في الأسفل بالإبهام.
5. تُصاغ عملية القسمة على الأعداد المتبقيّة ويكون الناتج هو العدد المغطّى، كما يأتي: 21÷7=3 أو 21÷3=7.

التخمين هي الطريقة المستخدمة في الحل للجمل المفتوحة السهلة بصورة مباشرة، كما يمكن استخدام طريقة المثلث لزيادة تمكّن الطالب منها.

أمثلة حسابية على حل المعادلة المفتوحة

مثال1: حلّ الجملة المفتوحة الآتية بالتخمين ثمّ طبّق طريقة المثلث المناسبة: 6÷س= 3.

الحل: يمكن تخمين العدد الذي يحل محل (س) في الجملة المفتوحة السابقة وهو 2، ومنه س=2.

كما يمكن رسم مثلث الضرب والقسمة للتعبير عن الجملة المفتوحة كما يأتي:

• بعد رسم المثلث، يوضع العدد 6 عند النقطة أعلاه، والعددين س،3 عند زوايا المثلث السفلية.
• يغطّى العدد المجهول وهو (س) في هذا المثال وتصاغ العلاقة 6÷3 من الأعداد المتبقية، ويكون الناتج هو (2) بالتأكيد.

مثال2: ما هو العدد الذي إذا أضيف له 5 أصبح 7؟

الحل:

• لا بدّ من تحويل الجمل الكلامية إلى جملة رياضية مفتوحة أولًا، لتصبح: س 5=7.
• وبالتخمين يمكن التوصّل إلى النتيجة: س=2.

يمكن رسم مثلث الجمع والطرح للتعبير عن الجملة المفتوحة كما يأتي:

• يوضع العدد 7 عند النقطة، والعددين 5، س في الأسفل.
• يغطّى المجهول (س)، وتصاغ العلاقة من الأعداد المتبقية وهي 7-5 للحصول على الناتج (2).

مثال3: ما عدد مرات مضاعفة العدد 3 للحصول على العدد 9؟

الحل:

• لا بدّ من تحويل الجمل الكلامية إلى جملة رياضية مفتوحة أولًا، لتصبح: س×3= 9.
• وبالتخمين يمكن التوصّل إلى النتيجة: س=3.

يمكن رسم مثلث الضرب والقسمة للتعبير عن الجملة المفتوحة كما يأتي:

• يوضع العدد 9 عند النقطة، والعددين س، 3 في الأسفل.
• يغطّى المجهول (س)، وتصاغ علاقة من الأعداد المتبقية وهي 9÷3 للحصول على الناتج (3).

مثال4: ما هو العدد الذي إذا طرح منه 4 أصبح 8؟

الحل:

• لا بدّ من تحويل الجمل الكلامية إلى جملة رياضية مفتوحة أولًا، لتصبح: س-4=8.
• وبالتخمين يمكن التوصّل إلى النتيجة: س=12.

يمكن رسم مثلث الجمع والطرح للتعبير عن الجملة المفتوحة كما يأتي:

• يوضع العدد س عند النقطة، والعددين 4، 8 في الأسفل.
• يغطّى المجهول (س)، وتصاغ العلاقة من الأعداد المتبقية وهي 8-4 للحصول على الناتج (4).

مثال5: ما هو العدد الذي إذا ضاعفته أصبح 10؟

الحل:

لا بدّ من تحويل الجملة الكلامية إلى جملة رياضية مفتوحة أولًا، لتصبح: س×2= 10.

وبالتخمين يمكن التوصّل إلى النتيجة: س=5.

يمكن رسم مثلث الضرب والقسمة للتعبير عن الجملة المفتوحة كما يأتي:

• يوضع العدد 10 عند النقطة، والعددين س، 2 في الأسفل.
• يغطّى المجهول (س)، وتصاغ علاقة من الأعداد المتبقية وهي 10÷2 للحصول على الناتج (5).

يسهّل المثلث من عملية التخمين بإعادة ترتيب العمليات الحسابية المترابطة كالجمع والطرح أو الضرب والقسمة، وبذلك يمكن استخدامه عند الحيرة في تخمين حل الجملة المفتوحة فيكون أسهل ويعطي جوابًا مباشرًا للعدد المجهول إلا أنّ التخمين أسرع ولا يتطلّب خطوات وهذا من أبرز إيجابياته.

الجمل المفتوحة هي جمل تتكون من مجاهيل يمكن إيجادها بطرق مختلفة منها التخمين أو المثلث، ولكل طريقة أسلوب محدد وإيجابيات تختلف عن الأخرى، يختار الطفل الطريقة الأسهل وقد يجمع بين الطريقتين لزيادة التمكّن.