مسائل لحساب مساحة الأسطوانة

تمارين على حساب المساحة الكلية للأسطوانة

يُمكن حساب المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة من خلال جمع المساحة الجانبية للأسطوانة، مع ضعفي مساحة القاعدة، كما في القانون الآتي:

المساحة الكلية للأسطوانة= المساحة الجانبية 2 × مساحة القاعدة

ومنه؛

المساحة الكلية للأسطوانة = (2 × π × نق) × ع 2 × (π× نق²)

المساحة الكلية للأسطوانة = (2 × π × نق) × (نق ع)

إذ إن:

• نق: نصف قطر الأسطوانة.
• ع: ارتفاع الأسطوانة.

مثال (1): احسب المساحة الكلية للأسطوانة إذا علمت أن المساحة الجانبية لها= 300 سم²، وأن مساحة القاعدة= 200 سم².

الحل:

1. يُعوّض في قانون مساحة الأسطوانة مباشرةً: المساحة الكلية للأسطوانة= المساحة الجانبية 2 × مساحة القاعدة
2. المساحة الكلية للأسطوانة = 300 2 × 200
3. المساحة الكلية للأسطوانة = 900 سم².

مثال (2): احسب المساحة الكلية للأسطوانة إذا علمت أنّ المساحة الجانبية= 200π سم²، وأن نصف القطر= 20 سم.

الحل:

1. يُعوّض في قانون مساحة الأسطوانة: المساحة الكلية للأسطوانة= المساحة الجانبية 2 × مساحة القاعدة
2. لكن مساحة القاعدة غير مُعطاة، ويُمكن إيجادها من خلال استخدام مساحة الدائرة، لأنّ القاعدة دائريّة الشكل.
3. مساحة الدائرة= π × نق² ، وبالتعويض: مساحة الدائرة= π × (20)²
4. إذًا مساحة القاعدة= π400 سم².
5. المساحة الكلية= المساحة الجانبية 2 × مساحة القاعدة
6. المساحة الكلية= π400 × 2 200π
7. المساحة الكلية= π(200 800)
8. المساحة الكلية= 1000π سم².

مثال (3): احسب المساحة الكلية للأسطوانة إذا علمت أن ارتفاعها= 10 سم، وأن نصف القطر= 8 سم.

الحل:

1. يُعوّض في قانون مساحة الأسطوانة مباشرةً: المساحة الكلية للأسطوانة= المساحة الجانبية 2×مساحة القاعدة
2. المساحة الكلية للأسطوانة= المساحة الجانبية 2 × مساحة القاعدة
3. المساحة الكلية= (2 × π × نق)× (نق ع)
4. المساحة الكلية= (2 × π × 8) × (8 10)
5. المساحة الكلية = 16π × 80
6. المساحة الكلية= 1280π سم².

مثال (4): احسب المساحة الكلية للأسطوانة إذا علمت أن المساحة الجانبية = 100π سم²، وأن ارتفاعها= 5 سم.

الحل:

1. يُعوّض في قانون مساحة الأسطوانة مباشرةً: المساحة الكلية للأسطوانة= المساحة الجانبية 2 × مساحة القاعدة
2. لكن ينقصنا نصف القطر، فنحصله من قانون المساحة الجانبية كما في الأسفل، ثم نكمل الحل.
3. المساحة الجانبية= 2 × π × نق × ع
4. (100π) = 2 × π × نق × 5
5. نق = 10
6. مساحة القاعدة = π × نق²
7. مساحة القاعدة = π × 10²
8. مساحة القاعدة = π 100
9. المساحة الكلية للأسطوانة= المساحة الجانبية 2 × مساحة القاعدة
10. المساحة الكلية للأسطوانة= (100π) 2 × (π100)
11. المساحة الكلية = 300π سم²

تمارين على حساب المساحة الجانبية للأسطوانة

يُمكن حساب المساحة الجانبية للأسطوانة باستخدام قانون المساحة الكلي، أو القانون الآتي:

المساحة الجانبية للأسطوانة = محيط القاعدة ×الارتفاع

ومنه؛

المساحة الجانبية للأسطوانة = 2 × π × نق ×ع

مثال (1): احسب المساحة الجانبية للأسطوانة إذا علمت أن محيط القاعدة= 50 سم، وأن الارتفاع= 80 سم.

الحل:

1. المساحة الجانبية للأسطوانة = محيط القاعدة × الارتفاع
2. المساحة الجانبية= 50 × 80
3. المساحة الجانبية= 400 سم².

مثال (2): احسب المساحة الجانبية للأسطوانة إذا علمت أن نق= 10سم، وأن الارتفاع= 55 سم.

الحل:

1. المساحة الجانبية للأسطوانة = محيط القاعدة × الارتفاع
2. المساحة الجانبية= 2 × π × نق × ع
3. المساحة الجانبية= 2 × π × 10 × 55
4. المساحة الجانبية= π1100 سم².

مثال (3): احسب المساحة الجانبية للأسطوانة إذا علمت أن المساحة الكلية للأسطوانة= 500 سم²، وأن مساحة القاعدة= 150 سم².

الحل:

1. المساحة الجانبية للأسطوانة = المساحة الكلية للأسطوانة - 2 × مساحة القاعدة
2. المساحة الجانبية= 500 - 2 × 150
3. المساحة الجانبية= 500 - 300
4. المساحة الجانبية= 200 سم².

مثال (4): احسب المساحة الجانبية للأسطوانة إذا علمت أن المساحة الكلية للأسطوانة= 700π م²، وأن نصف القطر= 9 م.

الحل:

1. المساحة الجانبية للأسطوانة = المساحة الكلية للأسطوانة - 2 × مساحة القاعدة
2. المساحة الجانبية= π × 2-700π × نق²
3. المساحة الجانبية= π × 2 × 81-700π
4. المساحة الجانبية= π×162-700π
5. المساحة الجانبية = 538π م².

تمارين على حساب مساحة قاعدتي الأسطوانة

يُمكن حساب مساحة قاعدة الأسطوانة يكون من خلال القانون الآتي:

مساحة قاعدة الأسطوانة= π × نق²

كما يُمكن حسابها بالاعتماد على قانون المساحة الكلية:

المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 2 × مساحة القاعدة المساحة الجانبية

ومنه؛

مساحة قاعدة الأسطوانة= 2/(المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة - المساحة الجانبية)

مثال (1): احسب مساحة قاعدة الأسطوانة إذا علمت أن نصف قطرها= 6 سم.

الحل:

1. مساحة قاعدة الأسطوانة= π × نق²
2. مساحة قاعدة الأسطوانة= π × ²6
3. مساحة قاعدة الأسطوانة= 36π سم².

مثال (2): احسب مساحة قاعدة الأسطوانة إذا علمت أن المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 666 سم²، وأن المساحة الجانبية= 222 سم².

الحل:

1. مساحة قاعدة الأسطوانة= 2/ (المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة - المساحة الجانبية)
2. مساحة قاعدة الأسطوانة= 2/ (666- 222)
3. مساحة قاعدة الأسطوانة= 444/2
4. مساحة قاعدة الأسطوانة = 222 سم².

مثال (3): احسب مساحة قاعدة الأسطوانة إذا علمت أن محيط القاعدة= 100π سم.

الحل:

1. محيط القاعدة= 2×π×نق
2. 100π = نق×2×π
3. نق= 100π/2π
4. نق= 50 سم.
5. مساحة قاعدة الأسطوانة= π×نق²
6. مساحة قاعدة الأسطوانة= π× ²50
7. مساحة قاعدة الأسطوانة= 2500π سم².

مثال (4): احسب مساحة قاعدة الأسطوانة إذا علمت أن المساحة الجانبية= π100 سم²، وأن ارتفاعها= 5 سم.

الحل:

1. المساحة الجانبية = 100π
2. (2×π×نق)×ع = 100π
3. (2×π×نق)×5 = 100π
4. نق= 100π/10π
5. نق= 10 سم.
6. مساحة قاعدة الأسطوانة= π×نق²
7. مساحة قاعدة الأسطوانة= π× ²10
8. مساحة قاعدة الأسطوانة= 100π سم².

مسائل كلامية على حساب مساحة الأسطوانة

وفيما يأتي بعض المسائل الكلامية على حساب مساحة الأسطوانة:

مثال (1): اشترى أحمد علبة فول، وأراد أن يجد مساحتها الكليّة، فأحضر مسطرة، وأوجد قياس طول نصف قطر العلبة ليكون 10 سم، ثم أوجد الارتفاع وكان 20 سم، جد مساحة علبة الفول الكليّة.

1. المساحة الكلية لعلبة الفول= (2 × π × نق) × (نق ع)
2. المساحة الكلية لعلبة الفول= (2 × π × 10) × (10 20)
3. المساحة الكلية لعلبة الفول= (20π) × (30)
4. المساحة الكلية لعلبة الفول= 600π سم².

مثال (2): زعمت سلمى أن المساحة الجانبية لأسطوانة ارتفاعها= 5 سم، ونصف قطرها= 10 سم، تساوي المساحة الجانبية لأسطوانة ارتفاعها= 10 سم، ونصف قطرها= 5 سم، فما تقول في ذلك؟

الحل:

1. الطريقة الصحيحة للتأكد من صحة قول سلمى أن ستخدام قانون المساحة الجانبية للأسطوانة، وهو:
2. المساحة الجانبية للأسطوانة = (2 × π × نق) × ع
3. يُحسب مساحة الأسطوانة الجانبية الاولى، كالآتي:
4. المساحة الجانبية= (2×π×10)×5
5. المساحة الجانبية= 100π سم².
6. يُحسب مساحة الأسطوانة الجانبية الاولى، كالآتي:
7. المساحة الجانبية = (2×π×5)×10
8. المساحة الجانبية= π100 سم².

نستنج أنّ قول سلمى صحيح، لأن قانون المساحة الجانبية لا يوجد فيه جمع أو طرح أو قسمة، بل كله ضرب، والضرب عملية تبديلية، فلن تختلف الإجابة لو حصل تبديل في القانون.

مثال (3): إذا علمت أنّ نصف قطر برميل ماء 0.5 م، وارتفاعه 2 م، جد مساحة البرميل الجانبية.

الحل:

1. المساحة الجانبية= 2 × π × نق × ع
2. المساحة الجانبية= 2 × π × 0.5 × 2
3. المساحة الجانبية= π2 م²

مثال (4): صنع أحمد أسطوانة بالكرتون لمادة الرياضيات، وكان نصف قطرها يساوي 30 سم، جد مساحة قاعدة الأسطوانة.

الحل:

1. مساحة قاعدة الأسطوانية كرتونية الشكل = π × نق²
2. مساحة قاعدة الأسطوانية كرتونية الشكل = π × 30²
3. مساحة قاعدة الأسطوانية كرتونية الشكل = π900 سم²