الزاوية الحادة وقياسها
تعرف الزاوية الحادة بأنها الزاوية التي يكون قياسها أكثر من 0 وأقل من 90°، وتقاس الزوايا بوحدة الدرجات، ومن الأمثلة على الزوايا الحادة؛ زوايا المثلث متساوي الأضلاع حيث تكون زواياه متساوية وتساوي 60°، ويمكن رسم الزاوية الحادة عن طريق رسم شعاعين من نقطة مشتركة، بحيث يكونان قريبين من بعضهما البعض، ومن الجدير بالذكر أنه ينتج عن قسمة الزاوية القائمة زاويتين حادتين، وهناك أنواع أخرى للزوايا وهي:
- الزاوية القائمة: وهي الزاوية التي تكون على شكل حرف L، وقياسها دائماً ثابت وهو 90°.
- الزاوية المستقيمة: وهي الزاوية التي تُشكل خطاً مستقيماً وقياسها 180°.
- الزاوية المُنفرجة: وهي الزاوية التي يكون قياسها أكثر من 90° وأقل من 180°.
قياس الزوايا الحادة باستخدام النسب المثلثية
يمكن حساب قياس الزواية في المثلثات القائمة الزاوية إذا كان هناك ضلعين معروفين عن طريقة الجيب وجيب التمام والظل حسب القوانين التالية:
- جيب الزاوية (SIN) (جا) = المقابل/الوتر.
- جيب التمام (COS) (جتا) = المجاور/الوتر.
- ظل الزاوية (TAN ) =جا الزاوية /جيب التمام للزاوية، ويساوي جا /جتا، أي بما معناه المقابل /المجاور.
يمكن قياس الزاوية الحادة باستخدام نِسَب الجيب وجيب التمام والظل للزاوية في المثلثات ذات الزاوية القائمة، وعلى فرض أن هناك مثلث طول ضلعيه 3، 4، والمطلوب هو إيجاد قياس الزاوية الحادة في المثلث والمحصورة بين الضلعين، الخطوات الآتية توضح قياس هذه الزاوية:
- لإيجاد طول الوتر، يتم استخدام نظرية فيثاغورس، والتي تنص على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربع كلا الضلعين الآخرين للمثلث.
- (الوتر) = (الضلع الأول) (الضلع الثاني)
- (الوتر)= (4) (3)
- (الوتر)=25
- الوتر=5
ولقياس الزاوية الحادة الأولى المحصورة بين الوتر والضلع الذي قياسه 4، يتم استخدام قانون جيب الزاوية حسب المعادلة الآتية:
- جا(الزاوية)(SIN)= المقابل/الوتر
- جا(الزاوية)= 5/3
- جا(الزاوية)= 0.6
- باستخدام الآلة الحاسبة لإيجاد الزاوية التي يبلغ قيمة الجيب لها 0.6، تكون القيمة 36.87° للزاوية الأولى.
ولحساب قيمة الزاوية الثانية، يتم جمع قيمة الزاوية القائمة مع الزاوية التي يتم إيجادها وطرح القيمة من مجموع الزوايا الثلاث وهو 180°، لتكون قيمة الزاوية الثالثة تساوي 53.13°.
أمثلة على حساب قياس الزوايا الحادة باستخدام النسب المثلثية
وفيما يأتي أمثلة متنوعة على حساب قياس الزوايا الحادة باستخدام النسب المثلثية:
حساب قياس الزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية
مثال 1: مثلث قائم الزاوية طول الوتر فيه يساوي 12 سم، وطول الضلع المجاور للزاوية الحادة المراد معرفة قياسها يساوي 6 سم، جد قياس الزاوية؟
الحل:
- يمكن معرفة قياس الزاوية عن طريق جيب التمام: جيب التمام= المجاور /الوتر
- بالتعويض في القانون، جيب التمام =6/ 12=0.5
- إذًا قيمة الزاوية تساوي= 60°.
مثال 2: مثلث قائم الزاوية، طول أحد أضلاعه يساوي 3.3 سم، وطول الضلع الآخر(القاعدة) يساوي 3.4سم، جد قياس الزوايا للمثلث؟
الحل:
- بما أنه مثلث قائم الزاوية فالزاوية القائمة تساوي 90 °.
- يمكن معرفة قياس الزاوية المجاورة عن طريق ظل الزاوية: ظل الزاوية =المقابل /المجاور.
- بالتعويض في القانون، ظل الزاوية =3.3/ 3.4، إذًا قيمة الزاوية تساوي= 44.6°.
- يمكن حساب الزاوية الثالثة عن طريق جمع الزوايا وطرحها من 180°: 180- ( 90 44.6) = 45.4°
- إذًا زوايا المثلث الثلاث هي: (90 °، 44.6°، 45.4°).
مثال 3: مثلث قائم الزاوية طول الوتر فيه يساوي 8سم وطول الضلع المقابل للزاوية المراد معرفة قياسها يساوي 4 سم، جد قياس الزاوية؟
الحل:
- يمكن معرفة قياس الزاوية عن طريق الجيب: الجيب= المقابل /الوتر
- بالتعويض في القانون، جا الزاوية= 8/4= 0.5
- إذًا قيمة الزاوية تساوي= 30°
حساب قياس الزاوية الحادة في مثلث متساوي الساقين
مثلث متساوي الساقين، قياس زاوية أحد الأضلاع مع القاعدة يساوي 40°، كم قياس الزوايا المتبقية؟
الحل:
- في مثلث متساوي الساقين تكون زوايا القاعدة متساوية القياس، وبما أن قياس إحدى الزوايا تساوي 40° فإن الزاوية الأخرى تساوي 40°.
- يمكن قياس الزاوية الثالثة عن طريق جمع الزوايا وطرحها من 180 حيث إن مجموع زوايا المثلث تساوي 180.
- قياس الزاوية الثالثة= 180-( 40 40)
- 180 -120= °60
قياس الزاوية الحادة باستخدام المنقلة
المنقلة أداة سهلة الاستخدام مصنوعة من البلاستيك الشفاف، وعليها مجموعتان من الأرقام لقياس الزوايا الحادة والمُنفرجة، وفيما يأتي طريقة استخدام المنقلة لقياس الزاوية الحادة:
- تثبيت مركز المنقلة: وهي النقطة التي يلتقي فيها الخط العمودي والخط الأفقي الظاهر على المنقلة على رأس الزاوية الحادة المُراد قياسها.
- تثبيت أحد الضلعين الذين تقع الزاوية الحادة بينهما مع خط الأساس للمنقلة والواقع أسفلها: وهو الخط الذي له قيمة 0 على طرفي المنقلة، والتأكد من أن خط الأساس يتماشى مع ضلع المثلث.
- قراءة قيمة الزاوية الحادة باستخدام المقياس الصحيح على المنقلة: حيث تحتوي المنقلة على قوسين من الأرقام، ففي حال كانت الزاوية المُراد قياسها مفتوحة إلى اليسار يتم استخدام القوس الخارجي، وفي حال كانت الزاوية المراد قياسها مفتوحة إلى اليمين فيتم استخدام القوس الداخلي، والرقم الذي يقطعه الضلع الثاني للمثلث هو القيمة المطلوبة للزاوية الحادة.
يوجد ثلاثة أنواع رئيسية من الزوايا، وهي الحادة والقائمة والمنفرجة، تعرف الزاوية الحادة بقياسها الذي يكون أكبر من صفر وأقل من 90 درجة، وهناك أنواع عديدة للمثلثات التي تحتوي على الزاوية الحادة مثل مثلث قائم الزاوية ومثلث متساوي الساقين، يمكن قياس الزاوية الحادة باستخدام المنقلة وهي الطريقة الأسهل لذلك، كما يمكن استخدام النسب المثلثية وهي؛ (الجيب وجيب التمام وظل الزاوية) لإيجاد قياس زاوية إذا عرفت أطوال الأضلاع للمثلث.
