قوانين حساب ارتفاع المثلث
فيما يأتي قوانين حساب ارتفاع المثلث:
حساب ارتفاع المثلث باستخدام قانون المساحة
يُمكن حساب مساحة المثلث باستخدام قانونه، حيث: مساحة المثلث = (2/1) × طول القاعدة × الارتفاع، وبالتالي فإن ارتفاع المثلث يساوي:
(2 × مساحة المثلث) / طول القاعدة.
المثال الأول: مثلث طول قاعدته 56 م، ومساحته 987 م مربع فما هو ارتفاعه؟
لحل هذا السؤال يتم اتباع الخطوات الآتية:
- ارتفاع المثلث = (2 × 987)/56.
- ارتفاع المثلث = 2 × (17.625).
- وبالتالي فإن ارتفاع المثلث = 35.25 م.
المثال الثاني: مثلث قائم مساحته 20، وطول قاعدته 1، فما هو ارتفاعه؟
لحل هذا السؤال يتم اتباع الخطوات الآتية:
- مساحة المثلث = (2/1) × طول القاعدة × الارتفاع
- 2 × مساحة المثلث = طول القاعدة × الارتفاع.
- وبالتالي فإن الارتفاع = 2 × مساحة المثلث/طول القاعدة.
- وبالتالي فإن الارتفاع = 2 × 1/20 ويساوي 40.
المثال الثالث: مثلث قائم مساحته 16، وطول قاعدته 4، فما هو ارتفاعه؟
لحل هذا السؤال يتم اتباع الخطوات الآتية:
- مساحة المثلث = 1/2 × طول القاعدة × الارتفاع
- 2 × مساحة المثلث = طول القاعدة × الارتفاع.
- وبالتالي فإن الارتفاع = 2 × مساحة المثلث/طول القاعدة.
- وبالتالي فإن الارتفاع = 2 × 4/16 ويساوي 8.
حساب ارتفاع المثلث باستخدام نظرية فيثاغورس
يُمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد ارتفاع المثلث القائم، والمثلث متساوي الساقين، والمثلث متساوي الأضلاع بينما لا يصلح للمثلث مختلف الأضلاع، والمثال الآتي يوضح ذلك:
مثال: مثلث قائم أب جـ طول أحد أضلاعه 12سم، والوتر فيه 24 سم، فما هو ارتفاعه؟
لحل هذا السؤال يتم اتباع الخطوات الآتية:
- نظرية فيثاغورس هي أ ب = جـ.
- 12 ب = 24.
- 144 ب = 567.
- وبالتالي فإن ب = 432 سم.
- بأخذ الجذر التربيعي للطرفين فإن ب، وهي الارتفاع 20.78سم.
إيجاد ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع من طول ضلعه
المثلث متساوي الأضلاع هو المثلث الذي تكون جميع أضلاعه متساوية، وزواياه قياسها 60°، وقياسات الارتفاع الثلاثة لها نفس الطول، وبالتالي فإنه يمكن حسابها باستخدام الصيغة الآتية:
ارتفاع المثلث = (طول ضلع المثلث × 3√)/2.
إيجاد ارتفاع المثلث باستخدام الاقترانات المثلثية
يُمكن استخدام الاقترانات المثلثية لحساب ارتفاع المثلث، كالآتي:
- يُمكن حساب ارتفاع المثلث مختلف الأضلاع والزوايا، أو مثلث متساوي الساقين بعد إسقاط عمود من رأسه نحو قاعدته ليتكون مثلثان قائما الزاوية، بحيث يكون الوتر إحدى ساقي المثلث ويكون معلومًا، وقياس الزاوية المقابلة للارتفاع معلومة باستخدام الصيغة الآتية:
- جيب الزاوية المقابلة للارتفاع = المقابل/الوتر، وبالتالي:
- جاθ = الارتفاع/الوتر.
- الارتفاع = جاθ × الوتر.
- يُمكن حساب ارتفاع المثلث قائم الزاوية إذا كانت قياس الزاوية المقابلة للارتفاع معلومة والوتر معلوم باستخدام الصيغة الآتية:
- جيب الزاوية المقابلة للارتفاع = المقابل/الوتر، وبالتالي:
- جاθ = الارتفاع/الوتر.
- الارتفاع = جاθ × الوتر.
أمثلة على إيجاد ارتفاع المثلث باستخدام الاقترانات المثلثية
فيما يأتي بعض الأمثلة على حساب ارتفاع المثلث باستخدام الاقترانات المثلثية:
- مثلث أ ب جـ قائم الزاوية في ب، طول الوتر أ جـ =12سم، وطول القاعدة ب جـ =8 سم، والزاوية جـ = 60، فما هو ارتفاع المثلث.
الحل:
- باستخدام الاقترانات المثلثية فإنّ:
- جا∠جـ = الارتفاع/ الوتر
- جا∠جـ = الضلع (أ ب) / الضلع (أ جـ)
- الضلع (أ ب) = جا∠جـ × الضلع (أ جـ)
- الضلع (أ ب) = جا60 × 12
- الضلع (أ ب) = 3/2√ × 12
- الضلع (أ ب) = 10.39 سم، وبالتالي فإنّ:
- الارتفاع = 10.39 سم.
- مثلث أ ب جـ متساوي الساقين، طول أ ب = أ جـ = 15 سم، إذا علمتَ أنّ قياس الزاوية ب = 30، فما هو ارتفاع المثلث.
الحل:
- باستخدام الاقترانات المثلثية نسقط عمود من الزاوية أ إلى النقطة هـ التي تُنصّف قاعدة المثلث ليتكون الارتفاع أ هـ، وبالتالي فإنّ الارتفاع يساوي:
- جا∠ب = الارتفاع/ الوتر
- جا∠ب = الضلع أ هـ / الضلع أ ب
- الضلع أ هـ = جا∠ب × الضلع أ ب
- الضلع أ ب = جا30 × 15
- الضلع أ ب = 0.5 × 15
- الضلع أ ب = الارتفاع = 7.5 سم.
- مثلث أ ب جـ فيه طول الضلع أ ب = 5 سم، والضلع أ جـ = 10سم، والضلع ب جـ= 11سم، وقياس الزاوية ب = 45، فما هو ارتفاعه.
الحل:
- باستخدام الاقترانات المثلثية نسقط عمود من الزاوية أ إلى النقطة هـ التي تُنصّف قاعدة المثلث ليتكون الارتفاع أ هـ، وبالتالي فإنّ الارتفاع يساوي:
- جا∠ب = الارتفاع/الوتر
- جا∠ب = الضلع أ هـ / الضلع أ ب
- الضلع أ هـ = جا∠ب × الضلع أ ب
- الضلع أ ب = جا45 × 5
- الضلع أ ب = 0.7 × 5
- الضلع أ ب = الارتفاع = 3.5 سم.
- مثلث أ ب جـ قائم الزاوية في ب، طول الوتر (أ جـ =16سم) وطول القاعدة (ب جـ =10 سم) والزاوية أ = 60، فما هو ارتفاعه (أ ب).
الحل:
- باستخدام الاقترانات المثلثية فإنّ:
- جا∠جـ = الارتفاع/ الوتر
- جا∠جـ = الضلع (أ ب) / الضلع (أ جـ)
- تُحسب الزاوية جـ من قانون مجموع الزواية والذي يساوي 180:
- 180 = ∠جـ ∠ب ∠أ
- 180 = ∠جـ 90 60
- ∠جـ = 30
- التعويض في القانون:
- الضلع أ ب = جا∠جـ × الضلع (أ جـ)
- الضلع أ ب = جا30 × 16
- الضلع أ ب= 0.5 × 16
- الضلع أ ب = 8 سم، وبالتالي فإنّ:
- الارتفاع = 8 سم.
مثال على إيجاد ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع من طول ضلعه
- مثلث متساوي الأضلاع طول كل ضلع فيه يساوي 14 سم، وقياس زواياه تساوي 60، فما هو ارتفاعه.
الحل:
- ارتفاع المثلث = (طول ضلع المثلث × 3√)/2
- ارتفاع المثلث = (14 × 3√)/2.
- ارتفاع المثلث = 12.12 سم.
- مثلث متساوي الأضلاع مجموع أطوال أضلاعه يساوي 30 سم، فما هو ارتفاعه.
الحل:
- طول ضلع مثلث متساوي الأضلاع = مجموع أطوال أضلاعه / 3
- طول الضلع = 30/3
- طول الضلع = 10 سم.
- يُعوض في القانون:
- ارتفاع المثلث = (طول ضلع المثلث × 3√)/2.
- ارتفاع المثلث = (10 × 3√)/2.
- ارتفاع المثلث = 8.66 سم.
