مفهوم التفاضل والتكامل
يُطلق على علم التفاضل والتكامل اسم الكالكولس (بالإنجليزيّة: Calculus)، و يمكن تعريفه على أنه أحد فروع الرياضيات الذي يتعامل مع إيجاد المشتقات (بالإنجليزيّة: Derivatives) والتكاملات (بالإنجليزيّة: integrals) للاقترانات وخصائصها، بطرق ترتكز على جمع نواتج طرح لا نهائية.
تعريف التفاضل
يُرادف مصطلح التفاضل في الرياضيات الاشتقاق، كما يُمكن تعريفه على أنّه معدّل تغيّر الاقتران عند تغيّر المجاهيل أو المغيرات فيه، ويُرمز لمشتقة الاقتران بالرمز f'(x)، إذ إنّ f'(x) = dy/ dx، وx≠0، وبيانيًا تعبّر المشتقة f'(x) عن ميل الاقتران.
كما يُمكن عمومًا حساب مشتقة اقتران ما حسب المعادلة الآتية:
d(x)/ dx= nx
ومثالها: إذا كان f(x)= 3x، فإنّ اشتقاق الاقتران هو: f'َ(x)= 6x.
تعريف التكامل
يعد التكامل عملية عكسية للتفاضل، فمن خلاله يمكن إيجاد الاقتران الأصلي عند معرفة مشتقته، ويُرمَز له بالرمز ∫ ، وهو رمز التكامل غير المحدود عادةً، أما إذا كان التكامل محدودًا فيُرمز له بالرمز ∫ ب، إذ إنّ أ، ب هي حدود التكامل، والهدف الأساسي من التكامل هو إيجاد الكل من خلال توحيد الأجزاء متناهية الصغر، ويُشار إليه من خلال القانون الآتي:
f(x) dx = F(x) C ∫
إذ إنّ:
- F(x): الاقتران الأصلي.
- f(x): مشتقة الاقتران.
- C: ثابت.
مكتشف علم التفاضل والتكامل
يعود اكتشاف علم التفاضل والتكامل إلى عالمين من علماء الرياضيات ؛ هما: إسحاق نيوتن (Isaac Newton)، وغوتفريد لايبنتز (Gottfried Leibniz)، اللذين طوّرا أسسها بشكل مستقل، وعلى الرغم من أن كلاهما كانا يبحثان في نفس الموضوع، فإن كل شخص فكّر في المفاهيم الأساسية بطرق مختلفة للغاية؛ فالكثير من الرموز المستخدمة في حساب التفاضل والتكامل اليوم ترجع إلى لايبنتز.
الفرق بين التفاضل والتكامل
يمكن تلخيص الفروق بين التكامل والتفاضل من خلال الجدول الآتي:
| وجه المقارنة | التفاضل | التكامل |
| الهدف من استخدامه | حساب ميل المنحنيات، ومعدّل التغيّر بين نقطتين. | حساب المساحة المحصورة بين منحنيين، والمساحة أسفل منحنى ما. |
| تطبيق عمليّ | حساب سرعات الأجسام، وتحديد ما إذا كان الاقتران متزايدًا أم متناقصًا، وحساب السرعة اللحظية. | حساب مساحة سطح المنحني، وحجم جسم ما. |
| العمليات المستخدمة في الحساب | القسمة | الجمع |
| العمليّة المقابلة له رياضيًّا | التكامل | التفاضل أو الاشتقاق |
تطبيقات عملية للتفاضل والتكامل
يدخل علم التفاضل والتكامل في العديد من المجالات منها:
التطبيقات العملية في الحياة
حساب التفاضل والتكامل له العديد من التطبيقات العملية في الحياة، وتشمل ما يأتي:
- الجغرافيا.
- الرؤية الحاسوبية، مثل: المركبة ذاتية القيادة، والتصوير الفوتوغرافي، والذكاء الاصطناعي، والروبوتات، وألعاب الفيديو، وحتى الأفلام.
- حساب معدلات التحلل الإشعاعي في الكيمياء.
- التنبؤ بمعدلات المواليد والوفيات.
- دراسة الجاذبية، وحركة الكواكب، وتدفق الموائع، وتصميم السفن، والمنحنيات الهندسية، وهندسة الجسور.
- التحقق من إجابات التخصصات الرياضية المختلفة، مثل: الإحصاء، والهندسة التحليلية، والجبر.
التطبيقات في علم الفيزياء
في الفيزياء، يستخدم علم التفاضل والتكامل للمساعدة على تحديد وشرح وحساب الحركة، والكهرباء، والحرارة، والضوء، والتوافقيات، والصوتيات، وعلم الفلك، وعلم القوى -الديناميكا-، وتعتمد نظرية النسبية لآينشتاين على حساب التفاضل والتكامل، وهو مجال الرياضيات الذي يساعد الاقتصاديين أيضًا على التنبؤ بحجم الربح الذي يمكن أن تحققه الشركة أو الصناعة، كما يستخدم في بناء السفن، وذلك لتحديد كل من منحنى جسم السفينة وكذلك منطقة تحت الهيكل.
