مقارنة الأعداد العشرية
تعرف مقارنة الأعداد (بالإنجليزية: Comparing Numbers) بأنها طريقة تُوضّح علاقة شيء مرتبط بشيء آخر، وفي الرياضات توضح عملية المقارنة الاختلافات بين الأرقام أو القيم أو الكميات، بحيث تُحدد إذا كانت قيمة ما أكبر أو أصغر أو تساوي قيمة أخرى، ويُستخدم لمقارنة الأرقام العشرية إشارات ورموز وهي كالتالي:
- الإشارة (=): وتُستخدم للتعبير عن قيمتين متساويتين في المقدار؛ مثال: (4 = 4).
- الإشارتان (): وتُستخدمان للمقارنة بين قيمتين غير متساويتين، بحيث تكون:
- إشارة أكبر من (>): تُستخدم للدلالة على أنّ القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية؛ مثال: (6
- إشارة أصغر من ( 3).
مقارنة الأعداد العشرية الموجبة
الأعداد العشرية الموجبة هي الأعداد التي تحمل قيم موجبة وتكون أكبر من صفر، وتتكوّن من جزء صحيح وجزء عشري، ويُمكن المقارنة بين الأعداد العشرية الموجبة بالخطوات التالية:
- تبدأ المقارنة أولًا بالجزء الصحيح من العدد العشري: حيث إن الأعداد العشرية هي جزء من الأعداد الحقيقية ، لذلك يُقارن الجزء الصحيح بنفس الطريقة التي يُقارن بها العدد الصحيح، وهي كالتالي:
- العدد الصحيح الذي يحتوي على عدد أكبر من الأرقام أو المنازل، يكون أكبر من العدد الصحيح الذي يحتوي عددًا أقل من الأرقام، مثال: العدد 543 أكبر من 58.
- إذا امتلك العددين نفس عدد المنازل، تُقارن الأرقام في كل عدد صحيح من أقصى اليسار، فإذا كان الرقم في أقصى اليسار متساوٍ ننتقل إلى الرقم المجاور لحين الوصول لأرقام غير متساوية، والعدد الصحيح الذي يحتوي على الرقم الأكبر يكون هو العدد الأكبر.
- مثال: عند المقارنة بين العددين 856 و854، نبدأ بمقارنة أول منزلة على اليسار لكل رقم وهي منزلة المئات؛ الرقم 8 متساوٍ في كلا العددين، ننتقل إلى منزلة العشرات؛ وأيضًا الرقم 5 متساوٍ في كلا العددين، ثم ننتقل إلى مقارنة خانة الآحاد ونجد أنّ الرقم 6 في العدد الأول أكبر من الرقم 4 الموجود في العدد الثاني، وبالتالي فإنّ 856 أكبر من 854.
- مقارنة الأرقام في الجزء العشري: وذلك إذا كانت الأجزاء الصحيحة في العددين متساوية ويُقارن الجزء العشري بالبدء بمقارنة الأرقام من أقصى اليسار على النحو الآتي:
- مثال: المقارنة بين العددين 5.473 و5.472.
- نبدأ بالجزء الصحيح، نجد أنّ الجزء الصحيح في كلا العددين يحتوي على رقم واحد متساوٍ وهو 5، ثم ننتقل إلى الجزء العشري؛ وهو الجزء بعد الفاصلة من جهة اليمين، فنبدأ بمقارنة خانة الآحاد من أقصى اليسار في كلا العددين، فنجد أن كلا العددين يحتويان على رقم متساوٍ وهو 4، فننتقل إلى خانة العشرات فنجد أيضًا أنّ كلا العددين يحتويان على رقم متساوٍ وهو 7، ننتقل إلى خانة الألوف فنجد أنّ العدد الأول يحتوي على رقم أكبر في خانة المئات من العدد الثاني حيث أنّ 3 أكبر من 2، فبالتالي العدد 5.473 أكبر من 5.472.
مقارنة الأعداد العشرية السالبة
تعرف الأعداد العشرية السالبة بأنها الأعداد التي تحمل قيم سالبة وتكون أصغر من الصفر، وتتكوّن من جزء صحيح وجزء عشري، ويُستخدم خط الأعداد للمقارنة بين الأعداد العشرية السالبة؛ بحيث يكون دائمًا العدد الأقرب للصفر هو الأكبر، وكلما ابتعد الرقم العشري السالب عن الصفر في خط الأعداد كلما صغرت قيمته، ويُجدر بالذكر إلى أنه ينطبق على الأعداد العشرية ما ينطبق على غيرها من عمليات حسابية ، لذا دائمًا الأعداد الموجبة أكبر من الأعداد السالبة، ويمكن مقارنة الأعداد العشرية السالبة من خلال اتباع الخطوات التالية:
- تبدأ المقارنة بين الأعداد العشرية السالبة من الجزء الصحيح، ومعرفة الرقم الأكبر حسب خط الأعداد.
- إذا تساوى الجزء الصحيح بين العددين، ننتقل إلى مقارنة الجزء العشري بينهما كما في الأعداد الموجبة.
- إذا كان لدينا العددين 5.473- و5.472-، فيمكن اتباع الخطوات السابقة في المقارنة لكن نجد أن العدد 5.472- أكبر من 5.473- لأنه أقرب إلى الصفر على خط الأعداد.
أمثلة متنوعة على مقارنة الأعداد العشرية
| المثال | الحل | التبرير |
| أيهما أكبر العدد 58.2 أم العدد 5.3 ؟ | 58.2 > 5.3 | الجزء الصحيح في العدد الأول يتكون من رقمين، أما العدد الثاني يتكون من رقم واحد. |
| أيهما أكبر العدد 58.90 أم العدد 52.48؟ | 58.90 > 52.48 | عدد المنازل في الجزء الصحيح متساوٍ، الرقم الثاني من جهة اليسار في العدد الأول أكبر من الرقم الثاني من اليسار في العدد الثاني. |
| أيهما أكبر العدد 4.352 أم 4.462؟ | 4.462 > 4.352 | الجزء الصحيح متساوٍ، لذا في الجزء العشري أول منزلة بعد الفاصلة للعدد 4.462 وهو الرقم (4) أكبر من أول منزلة بعد الفاصلة للعدد الآخر وهو (3). |
| أيهما أكبرالعدد 6.8 أم العدد 9.1- ؟ | 6.8 > 9.1- | العدد الموجب أكبر من السالب. |
| أيهما أصغر العدد 3.1- أم العدد 3.4- ؟ | 3.4- | العدد 3.4- أبعد عن الصفر من العدد 3.1- على خط الأعداد. |
| أيهما أصغر العدد 6.78 أم العدد 6.78؟ | 6.78 = 6.78 | الجزء الصحيح والعشري متساويان في كلا العددين. |
| أيهما أكبر العدد 6.3- أم العدد 5.26- ؟ | 5.26- > 6.3- | العدد 5.26- اقرب إلى الصفر على خط الأعداد. |
| أيهما أكبر العدد 45.632 أم العدد 45.637 ؟ | 45.637 > 45.632 | الجزء الصحيح متساوٍ، وفي الجزء العشري خانة الرقم الأخير في العدد 45.637 وهو الرقم (7) أكبر من الرقم الموجود في العدد الآخر (2). |
| أيهما أكبر العدد 3- أم العدد 0 ؟ | 0 > 3- | الصفر أكبر من الأعداد السالبة. |
| أيهما أصغر العدد 3 أم العدد 0 ؟ | 3 > 0 | الصفر أصغر من الأعداد الموجبة. |
تنقسم الأعداد العشرية إلى أعداد عشرية موجبة التي تحمل القيم الموجبة وتكون أكبر من الصفر، وأعداد عشرية سالبة والتي تحمل الإشارة السالبة وتكون أقل من الصفر، ويتكوّن العدد العشري من جزء صحيح وجزء عشري، و ربما تكون المقارنة فكرة واحدة في أساسها إلا أن للعدد العشري معاملة خاصة ، ولذلك عند مقارنة الأعداد العشرية يُقارن في البداية الجزء الصحيح بين الأعداد، فإن تساوت القيم يُقارن الجزء العشري، ويُعبّر عن المقارنة بين الأعداد بالرموز أكبر من (>)، أصغر من (
ترتيب الأعداد العشرية
يعرف ترتيب الأعداد (بالإنجليزية: Ordering numbers) بأنه وضع الأرقام في تسلسل معين حسب قيمها، فإمّا أن يكون ترتيبًا تصاعديًا؛ أي ترتيب الأرقام من الأصغر قيمة إلى الأكبر قيمة، أو ترتيبها تنازليًا أي من الأكبر قيمة إلى الأصغر قيمة. وفيما يلي تفصيل لكل منها:
ترتيب الأعداد العشرية تنازليًا
تُشبه عملية الترتيب بشكل كبير عملية المقارنة بين رقمين، فعند المقارنة بين رقمين وتحديد الرقم الأكبر فإنّ الأرقام تترتب تلقائيًا، ولكن لترتيب عدّة أعداد يجب مقارنتها جميعًا بين بعضها البعض وترتيبها ترتيبًا تنازليًا أي من الأكبر إلى الأصغر، ويُمكن ترتيب الأعداد العشريّة تنازليًا بالخطوات التالية:
- تُرتّب الأعداد العشرية الموجبة بشكل منفصل عن الأعداد العشريّة السالبة.
- توضع الأعداد الموجبة فوق بعضها البعض بحيث تكون جميع المنازل أو الخانات لكل عدد فوق بعضها، وإن كانت هناك خانة فارغة يُملأ مكانها بالعدد صفر.
- يُقارن الجزء الصحيح لكل عدد وتُرتب الأعداد حسب ذلك، وفي حال كانت هناك أعداد متساوية في الجزء الصحيح، ننتقل للمقارنة فيما بينها إلى الجزء العشري.
- يُقارن الجزء العشري لكل عدد، نبدأ بخانات الألوف، ثم المئات ثم العشرات ثم الآحاد.
- يُعاد ترتيب الأعداد من الأكبر إلى الأصغر حسب نتيجة المقارنة.
- تُكرر الخطوات السابقة للأعداد السالبة حسب موقعها على خط الأعداد وقربها من الصفر، ثم تُرتب جميع الأعداد تنازليًا، ويجب الانتباه إلى أنّ الأعداد الموجبة دائمًا أكبر من الأعداد السالبة؛ لذا تُرتب في البداية، ثم توضع تحتها الأعداد العشرية السالبة.
ترتيب الأعداد العشرية تصاعديًا
تُرتب الأعداد العشرية تصاعديًا بنفس الطريقة التي تُرتب بها تنازليًا إلّا أنّه هنا يُعاد ترتيب الأرقام في النهاية من الأصغر إلى الأكبر.
أمثلة متنوعة على ترتيب الأعداد العشرية
فيما يلي تمارين على الترتيب التصاعدي والتنازلي للأعداد العشرية:
المثال الأول
كيف يُمكن ترتيب الأرقام التالية ترتيبًا تصاعديًا وتنازليًا: 5.3/ 45.1/ 9.7/ 5.39؟
- الحل:
- توضع الأرقام فوق بعضها البعض، ويُعوّض المكان الفارغ بعد الفاصلة بالعدد صفر:
- يُقارن الجزء الصحيح لكل عدد، نجد أنّ العدد 45.10 يحتوي على رقمين في الجزء الصحيح منه، لذا العدد 45.10 هو الأكبر، ثم العدد 9.70 يحتوي على الرقم 9 في جزئه الصحيح وهو أكبر من الرقم 5 الموجود في العددين 5.30 و 5.39، لذا فإنّ العدد 9.70 هو العدد الثاني الأكبر في المجموعة.
- بما أنّ العددين 5.30 و5.39 يحتويان نفس العدد في الجزء الصحيح، ننتقل إلى مقارنة الجزء العشري، نجد أنّ العدد 5.39 يحتوي في خانة المئات العشرية على رقم 9 وهو أكبر من الرقم 0 الموجود في العدد الآخر.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر فنجد: 5.3
- وتُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر للأصغر: 45.10 > 9.70 > 5.39 > 5.30
المثال الثاني
كيف يُمكن ترتيب الأرقام التالية ترتيبًا تصاعديًا وتنازليًا: 1.5-/ 4.21-/ 35.787-/ 1.6- ؟
- الحل:
- توضع الأرقام فوق بعضها البعض، ويعوض المكان الفارغ بالعدد صفر:
- 1.500-
- 4.210-
- 35.787-
- 1.600-
- يُقارن الجزء الصحيح لكل عدد، نجد أنّ العدد 35.787- يحتوي على رقمين في الجزء الصحيح منه والعدد 35- على خط الأعداد هو الأبعد عن الصفر لذا العدد 35.787- هو أصغر عدد في المجموعة، ثم يأتي بعده 4.210- لأن الرقم 4- أقرب إلى الصفر، ثم يأتي العددان 1.500- و 1.600- لأنهما يحتويان في جزئهما الصحيح نفس الرقم وهو 1-.
- ننتقل إلى مقارنة الجزء العشري في العددين 1.500- و 1.600-، نجد أنّ العدد 1.5- يحتوي في خانة الآحاد العشرية على رقم 5 وهوأقرب إلى الصفر من الرقم 6 الموجود في العدد الآخر، لذا يُعد العدد 1.5- أكبر عدد في المجموعة.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر فنجد: 35.787-
- وتُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر للأصغر فنجد: 1.5- > 1.6- > 4.21- > 35.787-
المثال الثالث
كيف يُمكن ترتيب الأرقام التالية ترتيبًا تصاعديًا وتنازليًا: 47.02، 5.1، 6.4-، 9.3- ؟
- الحل:
- تُفصل الأرقام الموجبة عن الأرقام السالبة.
- توضع الأرقام الموجبة فوق بعضها البعض، ويُعوّض المكان الفارغ بعد الفاصلة بالعدد صفر:
- يُقارن الجزء الصحيح لكل عدد، نجد أنّ العدد 47.02 يحتوي في الجزء الصحيح منه على رقمين بينما يحتوي العدد 5.10 على رقم واحد وبذلك نصل إلى أنّ العدد 47.02 أكبر من العدد 5.10.
- تُوضع الأرقام السالبة فوق بعضها البعض، ويُعوّض المكان الفارغ بعد الفاصلة بالعدد صفر:
- يُقارن الجزء الصحيح لكل عدد، نجد أن العدد 9.3- يحتوي في جزئه الصحيح على العدد 9- وهو أبعد عن الصفر من الرقم 6- الموجود في الجزء الصحيح من العدد الآخر ولذلك العدد 9.3- أصغر من العدد 6.4-.
- تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر للأكبر، مع مراعاة أنّ الأرقام السالبة أصغر من الأرقام الموجبة لذا توضع في البداية: 9.3-
- تُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر للأصغر: 47.02 > 5.10 > 6.4- > 9.3-
تُرتب الأعداد العشرية ترتيبًا تنازليًا من العدد الأكبر قيمة إلى العدد أقل قيمة، وترتيبًا تصاعديًا من العدد الأصغر قيمة إلى العدد الأكبر قيمة، وتُشبه عملية الترتيب عملية المقارنة إلّا أنّها تتم لمجموعة من الأرقام العشرية بدلًا من رقمين.
