طرق حل المعادلات بالمصفوفات

حل المعادلات باستخدام معكوس المصفوفة

يمكن حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام هذه الطريقة عن طريق اتباع ما يلي:

• وضع المتغيرات في مصفوفة لوحدها ولنفترض أنها (س)
• وضع الثوابت في مصفوفة لوحدها ولنفترض أنها (ب)
• وضع معاملات المتغيرات في مصفوفة لوحدها ولنفترض أنها (أ)؛ بحيث تكون معاملات المتغير الأول في العمود الأول، ومعاملات المتغير الثاني في العمود الثاني، وهكذا.
• وبالتالي فإن: المصفوفة أ × المصفوفة س = المصفوفة ب.
• بضرب طرفي المعادلة بمعكوس المصفوفة أ فإن المصفوفة س = أ × ب، وبالتالي فإنه بمعرفة قيمة معكوس المصفوفة أ يمكن حل هذا النظام، ومعكوس أية مصفوفة (جـ مثلاً) = 1/ (أ×د - ب×جـ)×المصفوفة ل، بحيث:

المصفوفة جـ (المصفوفة الأصلية):

| أ ب |

| جـ د |

المصفوفة ل:

| د −ب |

|−جــ أ |

حل نظام مكون من معادلتين

يمكن توضيح كيفية حل هذا النظام باستخدام طريقة معكوس المصفوفة بالاستعانة بالمثال الآتي:

• مثال: ما هو حل المعادلتين الخطيتين الآتيتين: 3س ص = 5، و 2س-ص = 0.
• الحل:
• وضع معاملات المتغيرات في المصفوفة أ، ووضع المتغيرات في المصفوفة س، ووضع الثوابت في المصفوفة ب، ثم تطبيق العلاقة: المصفوفة أ × المصفوفة س = المصفوفة ب، وذلك كما يلي:

| 3 1 | |س| = | 5 |

| 2 −1 | |ص| = | 0 |

• إيجاد معكوس المصفوفة أ بتطبيق القاعدة، وذلك كما يلي: أ = (1/((3×-1) - (1×2)) × المصفوفة د، وهي:

| 1− 1− |

| 3 2− |

• ومنه ينتج أن معكوس المصفوفة أ هو: -1/5 × المصفوفة د.
• ضرب طرفي العلاقة السابقة بمعكوس المصفوفة أ، وتبسيط الحل لينتج أن:

| 3 1| |س| = | 5 | ← | 1 0 | |س| = | 1 |

| 2 −1| |ص| = | 0 | ← | 0 1 | |ص| = | 2 |

• وهذا يعني أن قيمة س وص تساوي 1، و2.
• ملاحظة: يتم ضرب مصفوفة في مصفوفة أخرى كما يلي:

| الصـف الأول×العـمود الأول — الصف الأول× العمود الثاني|

| الصف الثاني×العمود الأول — الصف الثاني×العمود الثاني|

حل نظام مكون من ثلاث معادلات

يمكن توضيح كيفية حل نظام مكون من ثلاث معادلات بالاستعانة بالمثال الآتي:

• مثال: ما هو حل المعادلات: س ص ع = 6، 2ص 5ع = -4، 2س 5ص-ع = 27؟
• الحل: يتم وضع جميع معاملات المتغيرات في المصفوفة أ، وجميع الثوابت في المصفوفة ب، والمتغيرات في المصفوفة س، مع ملاحظة أنه لا توجد قيمة لمعامل التغير س في المعادلة الثانية، وبالتالي يتم وضع صفر في مكان معامل المتغير، وذلك كما يلي:
• المصفوفة أ: يتم وضع معاملات المتغير في الثلاثة معادلات في العمود الأول، ومعاملات المتغير ص في العمود الثاني، ومعاملات المتغير ع في العمود الثالث، وذلك كما يلي:

| 1 1 1 |

|صـفر 2 5|

| 2 5 −1 |

• المصفوفة س: يتم وضع المتغيرات س، وص، وع في هذه المصفوفة، وذلك كما يلي:

|س|

|ص|

| ع |

• المصفوفة ب: يتم وضع قيم الثوابت في هذه المصفوفة، وذلك كما يلي:

| 6 |

| −4 |

| 27|

• تطبيق العلاقة: المصفوفة أ × المصفوفة س = المصفوفة ب، وذلك كما يلي:

| 1 1 1 | |س| =| 6 |

|صـفر 2 5 | |ص| =| −4 |

| 2 5 −1 | | ع | =| 27|

• إيجاد معكوس المصفوفة أ، ويساوي 1/21- × المصفوفة الآتية:

|−27 6 3 |

| 10 −3 −5 |

| −4 − 3 2 |

• ضرب طرفي المعادلة بمعكوس المصفوفة أ، وتبسيط الحل لينتج ما يأتي:

|س| = | 5|

|ص| = | 3|

| ع | = |−2|

• وبالتالي فإن قيمة كل من س، وص، وع على التوالي تساوي 5، 3، -2

حل المعادلات باستخدام طريقة الحذف لغاوس

يمكن حل المعادلات باستخدام طريقة الحذف لغاوس باتباع الخطوات التالية:

حل نظام مكون من معادلتين

يمكن الاستعانة بالمثال الآتي لتوضيح كيفية حل نظام مكون من معادلتين باستخدام طريقة الحذف:

• مثال: ما هو حل المعادلتين الآتيتين: 5س-2ص = 13، 2س ص = 7؟
• الحل: يتم وضع معاملات المتغير س في العمود الأول، ومعاملات المتغير ص في العمود الثاني، ووضع الثوابت في العمود الثالث، وبالتالي تنتج المصفوفة أ كما يلي:

| 5 −2  : 13 |

| 2 1  : 7 |

• استخدام عمليات الضرب، وإضافة الصفوف إلى بعضها لتحويل المصفوفة إلى الشكل الآتي في النهاية:

| أ ب  : جـ |

| 0 د  : ي |

• يمكن تحقيق هذه النتيجة عند ضرب الصف الأول بالعدد 2، وضرب الصف الثاني بالعدد (-5)، وجمع الصفين مع بعضهما وكتابة النتيجة في الصف الثاني، وذلك كما يلي:

| 5 −2  : 13 | × 2 ← | 10 −4  : 26 |

| 2 1  : 7 | × − 5 ← | −10 −5  : −35 |

• إعادة كتابة المصفوفة بكتابة الصف الأول كما هو في المصفوفة (أ)، والصف الثاني هو ناتج عملية الجمع، وذلك كما يلي:

| 5 − 2  : 13|

| صـفر −9  : −9 |

• تمثل المصفوفة السابقة معادلتان هما: 5س - 2ص = 13، -9ص = -9، و وبالتالي فإن ص = 1، وبتعويض قيمة ص في المعادلة الثانية فإن قيمة س = 3.

حل نظام مكون من ثلاث معادلات

يمكن الاستعانة بالمثال الآتي لتوضيح كيفية حل نظام مكون من ثلاثة معادلات باستخدام طريقة الحذف.

• مثال: ما هو حل النظام الذي يتكون من المعادلات: 2س ص-3ع = -4، 4س-2ص ع = 9، 3س 5ص-2ع = 5؟
• الحل: وضع معاملات المتغير الأول (س) في العمود الأول، ومعاملات المتغير الثاني (ص) في العمود الثاني، ومعاملات المتغير الثالث (ع) في العمود الثالث، وقيمة الثوابت في العمود الرابع، وفي حال عدم وجود قيمة لمعامل المتغير فيتم وضع قيمة صفر مكانه، وذلك كما يلي:

| 2 1 −3 : −4 | صف (1)

| 4 −2 1 : 9 | صف (2)

| 3 5 −2 : 5 | صف (3)

• استخدام عمليات الضرب، وإضافة الصفوف إلى بعضها لتحويل المصفوفة إلى الشكل الآتي في النهاية:

| أ ب جــــ : د | صف (1)

| 0 ي ف: ق | صف (2)

| 0 0 هـــ : و | صف (3)

• لتحقيق ذلك يجب جعل قيمة س في الصفين الثاني، والثالث تساوي صفر، وذلك بضرب الصف الأول بالعدد (2-) وجمعه للصف الثاني، لتصبح المصفوفة كما يلي:

| 2 1 − 3 : − 4 | صف (1)

| صفر −4 7 : 17 | صف (2)

| 3 5 − 2 : 5 | صف (3)

• جعل قيمة س في الصف الثالث تساوي صفر، بضرب الصف الأول بالعدد (-3)، وضرب الصف الثالث بالعدد (2) وجمع الصفين مع بعضهما، لتصبح المصفوفة كما يلي:

| 2 1 −3 : − 4 | صف (1)

| صفر −4 7 : 17 | صف (2)

| صفر 7 5 : 22 | صف (3)

• جعل قيمة ص في الصف الثالث تساوي صفر، وذلك بضرب الصف الثاني بالعدد (7) والصف الثالث بالعدد (4)، وجمع الصفين مع بعضهما لتصبح المصفوفة كما يأتي:

| 2 1 −3 : − 4 | صف (1)

| 0 −4 7 : 17 | صف (2)

| 0 0 69 : 207 | صف (3)

• تمثل المصفوفة السابقة ثلاث معادلات، وهي:
  • 2س ص - 3ع = -4 معادلة (1)
  • -4ص 7ع = 17 معادلة (2)
  • 69 ع = 207 معادلة (3)
• إيجاد قيمة ع من المعادلة الثالثة، وتساوي 3.
• تعويض قيمة ع في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة ص، وبالتالي ص = 1.
• تعويض قيمة ص، وع في المعادلة الأولى لإيجاد قيمة س، وبالتالي س= 2.

حل المعادلات باستخدام طريقة التقسيم L-U

يمكن حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة التقسيم L-U عن طريق اتباع ما يلي:

• إذا كان هناك مجموعة من المعادلات الخطية، يجب أولًا تحويلها إلى صيغة مصفوفة أ س = ب؛ إذ أن أ تمثل مصفوفة المعامل، س تمثل المصفوفة المتغيرة، ب مصفوفة من الأرقام على الجانب الأيمن من المعادلات.
• تقليل مصفوفة المعامل أ، وهي المصفوفة التي تمثل معاملات المتغيرات في جميع المعادلات، فعلى سبيل المثال إذا كان هناك ن من المتغيرات، فهذا يعني أنه يوجد مصفوفة ن × ن وباستخدام طريقة حذف غاوس سينتج مصفوفة U أو ص.
• لإيجاد L أو ج، يوجد طريقتين، سنشرح الطريقة الأسهل وهي افتراض أن العناصر المتبقية هي بعض المتغيرات الافتراضية، ثم تُشكل المعادلة ص × ج = أ، وحلها لإيجاد المتغيرات الافتراضية.
• المصفوفة (أ) والتي تمثل المصفوفة ن × ن، المصفوفة (ج) والتي تمثل المصفوفة المثلثية السفلية ن × ن، المصفوفة (ص) والتي تمثل المصفوفة المثلثية العلوية ن × ن، (س) تمثل مصفوفة المتغيرات ن × 1، (ب) تمثل مصفوفة الأرقام على يمين المعادلات.
• نظام المعادلات يمثل أ س = ب، وبالتعويض أ = ص × ج، تصبح المعادلة ص × ج × س = ب.
• بافتراض أن د = ص × س، إذ تمثل د المصفوفة التي تحتوي على المتغيرات الافتراضية، يتم إيجاد القيمة ج × د = ب اولاً، ثم إيجاد القيمة ص * س = د، وذلك لإيجاد القيمة س أو أي قيمة متغيرات أخرى مطلوبة.

ولتوضيح طريقة الحل أكثر، سيكون هناك المصفوفة أ وتمثل مصفوفةٌ مربعةٌ، ستُقسّم إلى مصفوفتين مربعتين وهما ص، ج، بحيث تكون المعادلة أ = ص × ج، إذ تمثل ص مصفوفة مثلثية عليا والتي يمكن الحصول عليها عند تطبيق طريقة غاوس على المصفوفة أ، وتمثل المصفوفة ج مصفوفة مثلثية سفلى جميع عناصر قطرها يساوي 1.

أ = ص × ج

| أ11 أ12 أ13| = | 1 0 0 | × | ص11 ص12 ص13|

| أ21 أ22 أ23| = |ج21 1 0| × | 0 ص22 ص23|

| أ31 أ32 أ33| = |ج31 ج32 1| × | 0 0 ص33|

أمثلة متنوعة على حل المعادلات بالمصفوفات

وفيما يأتي أمثلة متنوعة حول حل المعادلات بالمصفوفات :

• المثال الأول: ما هو حل المعادلتين الآتيتين: 7س 5ص = 3، و 3س - 2ص = 22 باستخدام طريقة معكوس المصفوفة؟

الحل: يتم وضع معاملات المتغيرات في المصفوفة أ، والثوابت في المصفوفة ب، والمتغيرات في المصفوفة س، ثم تطبيق العلاقة الآتية المصفوفة أ × المصفوفة س = المصفوفة ب، وذلك كما يلي:

| 7 5 | |س| = | 3 |

| 3 −2 | |ص| = | 22 |

• إيجاد معكوس المصفوفة أ، ويساوي 1/ ((7×-2) - (3×5)) × المصفوفة الآتية:

| −2 −5 |

| −3 7 |

• بتوزيع العدد -1/29 وهو ناتج 1/ ((7×-2) - (3×5)) على المصفوفة السابقة ينتج ما يأتي:

| 2/29 5/29 |

| 3/29 −7/29 |

• بضرب طرفي العلاقة السابقة بمعكوس المصفوفة، ينتج ما يلي:

| 1 0 | × |س| = | 4|

| 0 1 | × |ص| = |−5|

• وبالتالي فإن قيمة س، وص على التوالي 4، و-5.

• المثال الثاني: ما هو حل المعادلتين الآتيتين: 2س-2ص-3 =0، 8ص = 7س 2 باستخدام طريقة معكوس المصفوفة؟

الحل: ترتيب المعادلتين بحيث تصبح المتغيرات على طرف، والثوابت على طرف آخر، وذلك كما يلي:

• • 2س -2ص = 3.
  • 7س-8ص = -2.
• وضع معاملات المتغيرات في المصفوفة أ، والثوابت في المصفوفة ب، والمتغيرات في المصفوفة س ثم تطبيق العلاقة: المصفوفة أ×المصفوفة س = المصفوفة ب، وذلك كما يلي:

| 2 −2 | × |س| = | 3|

| 7 −8 | × |ص| = |−2|

• إيجاد معكوس المصفوفة (أ)، ويساوي -1/2× المصفوفة الآتية:

| −8 2 |

| −7 2 |

• بتوزيع العدد -1/2 على المصفوفة السابقة ينتج ما يلي:

| 4 −1 |

| 3.5 −1 |

• ضرب طرفي العلاقة السابقة بمعكوس المصفوفة أ، لينتج ما يلي:

| 1 0 | × |س| = | 41 |

| 0 1 | × |ص| = | 12.5|

• • وبالتالي فإن س =14، وقيمة ص = 12.5.

• المثال الثالث: ما هو حل المعادلتين الآتيتين: 3س 4ص = 5، 2س-ص = 7 باستخدام طريقة الحذف؟

الحل: ترتيب المعادلتين في المصفوفة بحيث تكون معاملات المتغير س في العمود الأول، ومعاملات المتغير ص في العمود الثاني، والثوابت في العمود الثالث، وذلك كما يلي:

| 3 4: 5 |

| 2 −1: 7 |

• استخدام عمليات الضرب، وإضافة الصفوف إلى بعضها لتحويل المصفوفة إلى الشكل الآتي في النهاية:

| أ ب  : جـ |

| 0 د  : ي |

• بضرب كل عنصر في الصف الثاني بالعدد (-3)، وكل عدد بالصف الأول بالعدد (2) وجمع الصفين معاً تنتج المصفوفة الآتية:

| 3 4 : 5 |

|صـفر 11 :−11 |

• تمثّل المصفوفة السابقة معادلتان هما: 3س 4ص = 5، 11ص = -11، و وبالتالي فإن ص = -1، وبتعويض قيمة ص في المعادلة الأولى فإن قيمة س = 3.

• المثال الخامس: اكتب المصفوفة الآتية على صيغة طريقة التقسيم L-U.

أ = |1 2 2|

|4 4 2|

|4 6 4|

الحل: تكتب المصفوفة على صيغة أ = ص × ج، ليكون الناتج:

أ = ص × ج =

|1 0 0| × | 1 2 2|

|4 1 0| × | 0 -4 -6|

|4 0.5 1| × | 0 0 -1|

• المثال السادس: أوجد قيمة المصفوفة

س = |س1|

|س2 |

|س3|

في النظام:

| 1 2 4 | × |س1|= | 3 |

| 3 8 14| × |س2 | = |13|

| 2 6 13| × |س3| = | 4 |

الحل:

• أولًا يجب إيجاد مصفوفة التقسيم ص، ج لمعامل المصفوفة في الجزء الأيسر، ليكون:

ج = |1 0 0|

|3 1 0|

|2 1 1|

ص = |1 2 4|

|0 2 2|

|0 0 3|

• ثانيًا، إيجاد المعادلة ج × د = ب، بِفرض أن

المتجه:

د = |د1|

|د2|

|د3|

لنحصل على المعادلة:

ج × د =

| 1 0 0 | × |د1| = | 3 |

| 3 1 0 | × |د2| =|13| = ب،

| 2 1 1 | × |د3| = | 4 |

• والتي يمكن حلها بالاستبدال الأمامي للمعادلة بحيث تصبح المعادلة الأولى د1=3، والمعادلة الثانية 3 × د1 د2 =13، ومنها د2= 4، والمعادلة الثالثة 2× د1 د2 د3 = 4، ومنها د3= -6.
• بعد إيجاد قيمة د، يمكن تعويض المعادلة ص × س = د، وعليه فإن:

ص= |1 2 4| × |س1| = |3|

|0 2 2| × |س2| = |4| = د

|0 0 3| × |س3| = |-6|

• والتي يمكن حلها بالاستبدال الخلفي للمعادلة بحيث تصبح المعادلة الثالثة 3 × س3= -6، ومنها س3= -2، والمعادلة الثانية 2 ×س2 2 × س3=4، ومنها س2= 4، والمعادلة الأولى س1 2 × س2 4 × س3 = 3، ومنها س1=3.

أمور يجب مراعاتها عند حل المعادلات بالمصفوفات

يمكن تعريف المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix) بأنها مجموعة من الأعداد التي تترتب بشكل معين ضمن أعمدة، وصفوف، ومن الأمثلة على المصفوفات ما يأتي:

| 4 5− 1 |

| 5 1 4 |

| 5 2 5 |

و يمكن استخدام المصفوفات لحل نظام من المعادلات الخطية التي يمكن حلها كذلك باستخدام مجموعة من الطرق الأخرى؛ كالحذف، والتعويض، وقبل البدء في حل المعادلات عن طريق المصفوفات، فإنه يجب مراعاة الأمور الآتية:

• أن تكون جميع المعادلات مكتوبة بنفس الطريقة؛ أي يجب أن يكون ترتيب المتغيرات متماثلاً في المعادلتين.
• كتابة المعادلة عن طريق وضع جميع المتغيرات على طرف، والثوابت على طرف آخر.
• يمكن تمثيل نظام المعادلات عند حلها بطريقة المصفوفات في عدة أشكال، وهي:
  • الشكل الأول: يتم فيه وضع معاملات المتغيرات، والثوابت، والمتغيرات في ثلاثة مصفوفات مختلفة ومنفصلة.

تُكتب وفق الشكل الأول على النحو الآتي:

| 2 4 7 | |س| | 4 |

| 3 3 2 | |ص| | 8 |

| 5 6 3 | | ع | | 0 |

• • الشكل الثاني: يتم فيه وضع معاملات المتغيرات، والمتغيرات، والثوابت في نفس المصفوفة فيما يعرف بالمصفوفة المُدمجة؛ أي:
    • 2س 4ص 7ع =4.
    • 3س 3ص 2ع =8.
    • 5س 6ص 3ع =0.

وتُكتب وفق الشكل الثاني على النحو الآتي:

| 2 4 7 : 4 |

| 3 3 2 : 8 |

| 5 6 3 : 0 |