يمكن تعريف الأعداد الكسرية على أنّها الأعداد التي يُمكن كتابتها على صورة كسر (أ / ب)، بحيث تكون أعداد كل من البسط والمقام أعدادًا صحيحة، شريطة ألا تكون قيمة المقام تُساوي صفر، و الكسر ينتمي إلى الأعداد الحقيقية ، ويُمكن المقارنة بين الكسور كالآتي:
يُمكن المقارنة بين الكسور العادية عند اختلاف البسط والمقام عبر توحيد المقامات في المقارنة باتّباع الخطوات الآتية:
قارن بين العدد .
العدد 30/10 أكبر من العدد ، لأنّ البسط 30 أكبر من البسط 9.
المقارنة بين كسر عادي وكسر عشري
يُمكن المقارنة بين كسر عادي وكسر عشري لكن بعد تحويل الكسر إلى عدد عشري أو العكس، ثم المقارنة بينها وذلك باتباع الخطوات الآتية:
- تحويل العدد العشري إلى عدد كسري عادي بوضع العدد على يمين الفاصلة في البسط، وقيمة الخانات في المقام، إذا كانت آحاد يوضع الرقم 10، وإذا كانت مئات يوضع العدد 100 وهكذا، على سبيل المثال:
- 0.1 = 1/10
- 0.01 = 1/100
- 0.001 = 1/1000
- 2.52 = (52/100) 2
بعد تحويل الأعداد العشرية إلى أعداد كسرية يُقارن فيما بينها بنفس الخطوات التي ذُكرت سابقًا، ويجدر بالذكر عندما يكون العدد الكسري مُركّب يجب تحويله إلى عدد كسري عادي، ثم المقارنة بينها، ويُمكن إتمام عملية التحويل من خلال ضرب العدد الصحيح في المقام، ثمّ جمع الناتج للبسط، مع وضع قيمة المقام كما هي، على النحو الآتي:
المثال:
حوّل العدد 3 إلى كسر عادي. الحل:
- ضرب العدد الصحيح وهو العدد 3 في مقام الكسر وهو العدد 4 كالآتي:
3×4 = 12
- جمع ناتج الضرب وهو العدد 12 مع بسط الكسر وهو العدد 1 كالآتي:
12 1 = 13
- يبقى المقام كما هو، ويوجد الناتج كالآتي:
13/4
ملاحظة: يُمكن تحويل العدد الكسري إلى عدد عشري عن طريق قسمة البسط على المقام، ثم المقارنة بين الأعداد العشرية الناتجة.
المقارنة بين كسر عشري وكسر عشري
يُمكن المقارنة بين الأعداد العشرية باتباع الخطوات الآتية:
- مقارنة الأعداد الصحيحة لكل كسر وهو الجزء الذي يقع على يسار الفاصلة العشرية، على النحو الآتي:
- العدد الصحيح الذي يمتلك أكبر عدد خانات أو منازل هو العدد الأكبر.
- عند تساوي أعداد المنازل لكلا العددين، تُقارن الأرقام بين كل عدد بدءًا من أقصى اليسار، أي من أكبر منزلة إلى أصغر منزلة من اليسار إلى اليمين، والعدد الذي يمتلك في منزلته أكبر رقم هو العدد الأكبر.
- مقارنة الأعداد العشرية لكل كسر عندما يمتلكان نفس العدد الصحيح، بحيث يُقارن بينها من أقصى اليسار، أي من أكبر منزلة إلى أصغر منزلة.
المثال (1):
قارن بين العدد العشري 42.3 والعدد العشري 46.5.
الحل:
- مقارنة عدد المنازل بين العددين:
كلاهما يحتوي على منزلتين.
- مقارنة منزلة المئات للعددين:
كلاهما يتكونان من نفس العدد وهو العدد 4.
- مقارنة منزلة الآحاد للعددين:
العدد العشري 46.5 يمتلك الرقم 6 في منزلة الآحاد وهو أكبر من الرقم 2 في العدد العشري 42.3.
46.5 > 42.3
المثال (2):
قارن بين العدد العشري 6.63 والعدد العشري 6.21.
الحل:
- مقارنة الأعداد الصحيحة بين العددين:
كلاهما يتكونان من نفس العدد الصحيح وهو العدد 6.
- مقارنة الجزء العشري بين العددين:
العدد 6.63 يمتلك الرقم 6 في منزلة الجزء من عشرات، بينما يمتلك العدد 6.21، الرقم 2 أصغر من الرقم 6.
6.63 > 6.21
ملاحظة: إذا كان البسط أكبر من المقام في العدد الكسري، فإنّ العدد الكسري يكون أكبر من واحد، وإذا كان البسط أصغر من المقام، فإنّ العدد الكسري أصغر من واحد.
أمثلة متنوعة على المقارنة بين الكسور
وفيما يلي أمثلة متنوعة على المقارنة بين الكسور:
المقارنة بين الكسور العادية عند تساوي المقامات
المثال (1):
قارن بين العدد الكسري . الحل:
- مقارنة المقام بين الكسرين:
كلاهما يتكونان من نفس المقام وهو العدد 8.
- مقارنة البسط بين الكسرين:
البسط 7 أكبر من البسط 5.
المثال (2):
أيهما أكبر العدد الكسري -؟ الحل:
- مقارنة المقام بين الكسرين:
كلاهما يتكونان من نفس المقام وهو العدد 8.
- مقارنة البسط بين الكسرين:
البسط 5 أكبر من البسط 1، ولأنّ الأعداد سالبة فإنّ العدد ذو البسط الأكبر هو العدد الأصغر.
- المثال (3):
أيهما أكبر العدد الكسري 7/33- أم العدد الكسري 1/33؟
الحل:
- مقارنة الإشارة بين الكسرين:
العدد الكسري الموجب أكبر من العدد الكسري السالب.
7/33-
المقارنة بين الكسور العادية عند تساوي البسط
المثال (1):
قارن بين العدد الكسري 8/6 والعدد الكسري 8/14.
الحل:
- مقارنة البسط بين العددين:
كلاهما يتكونان من نفس البسط وهو العدد 8.
- مقارنة المقام بين العددين:
المقام 6 أصغر من المقام 14، ولأنّ المقارنة بين المقامات، فإنّ العدد ذو المقام الأكبر هو العدد الأصغر.
8/14
المثال (2):
أيهما أكبر العدد الكسري -11/23، أم العدد الكسري -11/30؟
الحل:
- مقارنة البسط بين العددين:
كلاهما يتكونان من نفس البسط وهو العدد 11.
- مقارنة المقام بين العددين:
المقام 23 أصغر من المقام 30، ولأنّ المقامات سالبة، فإنّ العدد ذو المقام الأكبر، هو العدد الأكبر.
-11/23
المثال (3):
أيهما أكبر العدد الكسري 9/8-، أم العدد الكسري 9/61؟
الحل:
- مقارنة الإشارة بين الكسرين:
العدد الكسري الموجب أكبر من العدد الكسري السالب.
9/8-
المقارنة بين الكسور العادية عند اختلاف البسط والمقام
المثال (1):
قارن بين العدد الكسري 1/12 والعدد الكسري 7/6.
الحل:
المقام 12 من مضاعفات المقام 6، وبالتالي يُضرب بسط ومقام الكسر 7/6 بالرقم 2 ليُصبح الكسر 14/12.
- مقارنة البسط بين الكسرين بعد التوحيد:
العدد 14 أكبر من العدد 6.
1/12 ، لأنّ البسط 14 أكبر من البسط 1.
المثال (2):
أيهما أكبر العدد الكسري 1/24 أم العدد الكسري 1/6؟
الحل:
- توحيد المقامات بين العددين ب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بينهما:
مضاعفات العدد 24 هي: 24، 48. مضاعفات العدد 6 هي: 6، 12، 18، 24. أصغر مضاعف مشترك بين العددين هو العدد 24، لذا يجب أن يُصبح المقام لكل كسر هو العدد 24.
- إبقاء العدد الكسري 1/24 كما هو.
- ضرب بسط ومقام العدد 1/6 بالرقم 4 ليصبح مقامه 24، فيُصبح 4/24.
- مقارنة البسط لكلا الكسرين:
الكسر 1/24 والعدد 4/24، ويُلاحظ بأنّ البسط 4 أكبر من 1.
1/24
المثال (3):
قارن بين العدد الكسري 9/74 والعدد الكسري 8/65-.
الحل:
- مقارنة الإشارة بين الكسرين:
العدد الكسري الموجب أكبر من العدد الكسري السالب.
8/65-
المقارنة بين كسر عادي وكسر عشري
المثال (1):
قارن بين العدد 0.48 والعدد 22/50.
الحل:
- تحويل العدد العشري 0.48 إلى عدد كسري، فيُصبح 48/100.
- مقارنة الأعداد الكسرية بتوحيد المقامات وإيجاد المضاعف الأصغر بينها:
مضاعفات العدد 50 هي: 50، 100، 150. مضاعفات العدد 100 هي: 100، 200. أصغر مضاعف مشترك بين العددين هو العدد 100.
- الإبقاء على العدد الكسري 48/100 كما هو.
- ضرب بسط ومقام العدد 22/50 بالرقم 2 ليصبح مقامه 100، فيُصبح 44/100.
- مقارنة البسط بين الكسرين:
العدد 44/100 والعدد 48/100، ويُلاحظ بأنّ العدد 48 أكبر من العدد 44.
44/100
المثال (2):
أيهما أكبر العدد أم العدد 3.6؟ الحل:
- تحويل العدد الكسري إلى عدد عشري، فيُصبح 0.75.
- مقارنة الأعداد العشرية بدءًا من العدد الصحيح.
العدد الصحيح في العدد 3.6 وهو 3 أكبر من العدد الصحيح في العدد 0.75 وهو العدد 0.
3.6 > 0.75 ما يعني أنّ 3.6 > 6/8
المثال (3):
أيهما أكبر العدد 11/5 أم العدد 2.3؟
الحل:
- تحويل العدد 2.3 إلى عدد كسري، فيُصبح: (3/10) 2.
- تحويل العدد الكسري (3/10) 2 إلى كسر عادي: 10×2 3 = 23، وبوضع المقام نفسه يُصبح: 23/10.
- مقارنة الأعداد الكسرية بتوحيد المقامات:
المقام 10 من مضاعفات المقام 5، وبالتالي يُضرب العدد 11/5 بالرقم 2 ليُصبح المقام 10.
- ضرب بسط ومقام العدد 11/5 بالرقم 2 فيُصبح 22/10.
- إيجاد الناتج:
23/10 > 22/10 ما يعني أنّ 2.3 > 11/5
المثال (4):
أيهما أكبر العدد 42/4 أم العدد 10.5؟
الحل:
- تحويل العدد الكسري 42/4 إلى عدد عشري، فيُصبح 10.5
- مقارنة الأعداد العشرية بدءًا من العدد الصحيح.
العدد الصحيح والجزء العشري في العددين متساوي.
10.5 = 10.5 ما يعني أنّ 42/4 = 10.5
المقارنة بين كسر عشري وكسر عشري
المثال (1):
أيهما أكبر العدد العشري 453.2 أم العدد العشري 52.1؟
الحل:
- مقارنة عدد منازل العدد الصحيح بين العددين:
العدد 453.2 يمتلك عدد منازل في عدد الصحيح أكبر من العدد 52.1.
453.2 > 52.1
المثال (2):
أيهما أكبر العدد العشري 21.35 أم العدد العشري 21.381؟
الحل:
- مقارنة عدد منازل العدد الصحيح بين العددين:
العددان يمتلكان نفس العدد الصحيح ويمتلكان أيضًا نفس العدد في خانة جزء من العشرة في الجزء العشري.
- مقارنة الجزء الكسري بين العددين:
العدد 21.35 يمتلك في الجزء العشري في خانة الجزء من المئة الرقم 5 وهو أصغر من الرقم 8 في خانة الجزء من المئة للعدد الثاني.
21.35
المثال (3):
أيهما أكبر العدد العشري 45.3 أم العدد العشري 86.3؟
الحل:
- مقارنة عدد منازل العدد الصحيح بين العددين:
العددان يمتلكان نفس عدد منازل العدد الصحيح.
- مقارنة منزلة المئات في العدد الصحيح:
العدد 45.3 يمتلك في خانة المئات في عدد الصحيح الرقم 4 وهو أصغر من الرقم 8 في العدد الثاني.
45.3
من المهم الاطلاع على قوانين الرياضيات وأساسياته لإجراء عمليات المقارنة، ويُمكن المقارنة بين الأعداد الكسرية وهي الأعداد التي تُكتب على صورة كسر مُكون من بسط ومقام بشكل عام من خلال توحيد المقامات، ثم المقارنة بين قيم الأعداد في البسط، والعدد ذو البسط الأكبر هو العدد الأكبر.
