تحليل المعادلة التربيعية

طرق تحليل المعادلة التربيعية

يُمكن تعريف المعادلة التربيعية (Quadratic Equation) بأنّها المعادلة التي تظهر بالصيغة العامّة الآتية:

أس² ب س ج = 0

حيث أنّ:

• أ، ب، ج عبارة عن أعداد، قد تكون موجبة أو سالبة ويمكن للأعداد (ب، ج) أن تساوي صفراً، ويُطلق على العدد أ مُعامل س²، ب مُعامل س، ج الحدّ الثابت، وأعلى قيمة ممكنة لأُس المتغيّر س في المعادلة التربيعية هو 2، وتُعدّ العبارات الآتية أمثلة على العبارات التربيعيّة:
• س²-7س 11.
• 4س² 3س-1.
• س² 8س.
• 3س² 2.

أما بالنسبة لعمليّة تحليل المعادلة التربيعية إلى العوامل فهي تتمثل في جعل المعادلة التربيعيّة تبدو على شكل حاصل ضرب حدّين أو أكثر وبأبسط صورة، والأمثلة الآتية توضح عمليّة تحليل العوامل:

• يُمكن تمثيل المعادلة التربيعيّة: 2س² 10س على الشكل الآتي: 2س(س 5)؛ حيثُ تمّ أخذ 2س كعامل مُشترك، فأصبحت العبارة التربيعة تساوي حاصل ضرب الحدّ 2س بالحدّ (س 5).
• يُمكن تمثيل المعادلة التربيعيّة: س²-16 على الشكل الآتي: (س-4)(س 4).

طريقة التخمين

يتم من خلال هذه الطريقة تحليل المعادلات التربيعية عندما تكون على الصورة القياسيّة: أس² ب س ج=0 عن طريق إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي أ×ج، وفي بعض الحالات قد تكون المُعادلة التربيعيّة أكثر تعقيداً مما يتطلب استخدام طرق أخرى تتمثل باستخدام الصيغة العامّة، أو إكمال المُربّع، وفيما يأتي توضيح لاستخدام طريقة التخمين لتحليل المعادلة التربيعية:

عندما يكون (أ) يساوي 1

يُمكن تحليل المعادلة التربيعيّة عندما يكون أ=1 على النحو الآتي:

1. إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي ج.
2. كتابة المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س ك)(س ل)؛ حيثُ يُمثل ك، ل العددين اللذين تمّ إيجادهما في الخطوة السابقة؛ فمثلاً إذا كان العددان هما: 1، -2 فإن المعادلة التربيعيّة تُكتب على النحو الآتي: (س 1)(س-2).

• فمثلاً لتحليل المُعادلة: س² س-6=0، أولاً يتمّ تخمين العددين اللذين يساوي حاصل جمعهما 1، وناتج ضربهما يساوي -6، وهما: -2، 3، ثمّ كتابة المُعادلة التربيعيّة على النحو الآتي (س ك)(س ل)، وذلك كما يأتي: س² س-6=(س-2)(س 3)=0.

عندما يكون (أ) لا يساوي1

يُمكن تحليل المعادلة التربيعيّة عندما يكون أ≠1 على النحو الآتي:

1. إيجاد حاصل ضرب أ×ج.
2. إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي أ×ج، ولنفترض أنهما العددان ك،ل.
3. كتابة العددين مكان ب على شكل مجموع عددين مضروبين في س؛ أي استبدال الحد (ب س)، بـ (ك ل)س، لتصبح المعادلة على شكل: أس² (ك ل)س ج=0، ثم على شكل: أس² ك س ل س ج=0، بعد فك الأقواس.
4. تحليل أول حدّين، وهما: (أس² ك س)، وذلك بأخذ العامل المشترك بينهما، ثمّ تحليل آخر حدّين، وهما: (ل س ج)، وذلك أيضاً بأخذ العامل المشترك بينهما.
5. أخذ عامل مُشترك لكتابة المُعادلة التربيعيّة على صورة حاصل ضرب حدّين.

• فمثلاً لتحليل المُعادلة: 4س² 15س 9=0، أولاً يتمّ إيجاد حاصل ضرب 4×9=36، ثمّ تخمين العددين اللذين يساوي حاصل جمعهما 15، وناتج ضربهما يساوي 36، وهما 3، 12، ثمّ كتابة المُعادلة التربيعيّة على النحو الآتي: 4س² 3س 12س 9=0، بعدها يتمّ تحليل أول حدّين؛ حيثُ يُؤخذ س كعامل مشترك، وآخر حدّين؛ حيثُ يؤخذ العدد 3 كعامل مُشترك، ثمّ تُكتب على الصورة الآتية: س(4س 3) 3(4س 3)=0، ثمّ يتمّ أخذ الحد (4س 3) كعامل مُشترك وتُكتب المُعادلة على النحو الآتي: (4س 3)(س 3)=0.

الفرق بين مربعين

يُمثّل الفرق بين مربعين حاصل طرح مربع عدد أو متغير من مربع عدد أو متغير آخر، وهي حالة خاصة من المعادلات التربيعية، وصورتها العامة هي: أ²-ب²؛ مثل: س²-36، ولتحليلها يمكن كتابتها على النحو الآتي:

أ²-ب²=(أ ب) ( أ - ب)

• حيث أنّ:
  • أ: الجذر التربيعي للحد الأول.
  • ب: الجذر التربيعي للحد الثاني.
• فمثلاً لتحليل المعادلة: س²-16، يمكن كتابتها بسهولة بعد أخذ الجذر التربيعي للحد الأول، وللحد الثاني على شكل: س²-16=(س-4)(س 4)، ولتحليل 4س²-36، يمكن كتابتها بسهولة بعد أخذ الجذر التربيعي للحد الأول، وللحد الثاني على شكل: (2س-6)(2س 6)=0

استخدام الصيغة العامة

تُستخدم الصيغة العامّة عندما تفشل الطرق السابقة في تحليل المُعادلة التربيعيّة وتكون الصيغة العامّة على الشكل الآتي:

س= (- ب ± (ب²- 4 أ ج) √) / 2 أ

• وتُستخدم هذه الصيغة للحصول على إجابتين؛ الأولى (س ) والثانية (س-)، وهذا ما تُشير إليه إشارة ±، وتُستخدم لكتابة المُعادلة على صورة: أ(س-س-)(س-س ).
• فمثلاً لتحليل المُعادلة: 6س² 5س-6 يتمّ تعويض أ=6، ب=5، ج=6-، في قانون الصيغة العامّة لينتج أنّ: س= (-5 ±(5²-4×6×6-)√)/(2×6)، ومنه: س=-5±12/13، فبالتالي: س-=18/12-=3/2-، س = 8/12 =2/3، ثمّ يتمّ تعويض هاتين القيمتين وكتابة المعادلة التربيعية على الصورة: أ(س-س-)(س-س )، لينتج أن: 6 س² 5 س-6=6(س 3/2)(س-2/3)، ثمّ يمكن كتابة المعادلة بصورة أخرى لينتج أن: 6س² 5س-6=6(س 3/2)(س-2/3)=2×(س 3/2)×3×(س-2/3)=(3س-2)(2س 3).

استخدام إكمال المربع

يُمكن اللجوء إلى طريقة إكمال مربع عندما لا تكون المعادلة مربّعاً كاملاً، ولا يُمكن حلها بالطرق السابقة، ونقوم بإكمال المربع من خلال الخطوات الآتية:

1. نقوم بإضافة وطرح (ب/2)² على المعادلة أس² ب س ج=0، على سبيل المثال: في المعادلة س² 6 س 7=0، يكون (ب/2)² =(2/6 )² =9.
2. يُصبح شكل المعادلة: أس² ب س (ب/2)² - (ب/2)² ج=0، أي تُصبح المعادلة السابقة س² 6 س 9 -9 7=0.
3. إعادة ترتيب شكل المعادلة لتصبح: (س (ب /2))²-((ب/2)²-ج) =0، أي تُصبح المعادلة السابقة (س 3)²-2=0، وتساوي (س 3)² =2.
4. نأخذ الجذر التربيعي للطرفين، فتُصبح المعادلة س 3 =2 √ ، أو س 3= 2√-.
5. ونجد قيمة س، وهو حل المعادلة، س= 2 √ -3 أو س= -(2 √) -3.

مثال: يُمكن حل المعادلة الآتية باستخدام إكمال المربع: س² 2 س -3=0، كما يأتي:

• حيث أنّ (ب/2)²= (2/2)² = 1، سنقوم بإضافة وطرح 1 للمعادلة.
• تصبح المعادلة كالآتي: س² 2 س 1 -1-3=0
• يُمكن إعادة كتابة المعادلة كالآتي: س² 2 س 1=4
• وعليه يُصبح الشكل النهائي للمعادلة: (س 1)² =4.
• نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لتصبح المعادلة س 1 = 2، أو س 1=-2.
• حل المعادلة هو: س=1، أو س=-3.

أشكال خاصة للمعادلة التربيعية

تتعدد أشكال المعادلة التربيعية في حال وجود أحد المعاملات يساوي صفراً، فإذا كانت قيمة أ تساوي صفراً ستُصبح المعادلة خطية، وإذا كانت قيمة ب تساوي صفراً يكون للمعادلة حلان متساويان في القيمة ومختلفان في الإشارة، وإذا كانت قيمة ج تساوي صفراً، يتم حلها بإخراج عامل مشترك، وإكمال الحل كمعادلة خطية، وفيما يأتي بيان لطرق حل هذه الأشكال الخاصة للمعادلات التربيعية:

أ يساوي صفر

إذا كانت قيمة أ تساوي صفر، فإنّ قيمة أس² تساوي صفر، وستصبح المعادلة على شكل ب س ج، وهي معادلة خطية وليست تربيعية، ويمكن حلها من خلال الخطوات الآتية:

1. نقل الثابت ج إلى الطرف الثاني، ليبقى المتغير على طرف واحد.
2. القسمة على معامل س وهو (ب) للطرفين، لإيجاد قيمة المتغير س.

مثال: يُمكن حل المعادلة الخطية الآتية: 5 س 20= صفر، كما يأتي:

• ننقل ج للطرف الثاني، وذلك بطرح 20 من الطرفين، لتصبح 5 س= -20 .
• القسمة على معامل س وهو (5)، لتصبح س =-20/5.
• إذاً س=-4.

ب يساوي صفر

إذا كانت قيمة ب تساوي صفر فإن (ب س) يساوي صفر، فيصبح شكل المعادلة أس² ج=0، ويكون للمعادلة حلان متساويان في القيمة، ومختلفان في الإشارة، ويمكن حل المعادلة من خلال الخطوات الآتية:

1. نقل ج للطرف الآخر عن طريق إضافته أو طرحه.
2. قسمة الطرفين على معامل س²، وهو أ.
3. أخذ الجذر التربيعي للطرفين لنحصل على قيمة س.

مثال: يُمكن حل المعادلة الآتية: 2 س² -30= 0، من خلال اتباع الخطوات التالية:

• ننقل 30 للطرف الثاني من خلال طرح 30 من الطرفين، لتصبح المعادلة 2س²= 30
• نقسم الطرفين على 2 ، تصبح المعادلة س²= 30/2 .
• نأخذ الجذر للطرفين.
• إذًا س= 15√ ، أو س= 15√-.

ج يساوي صفر

إذا كانت قيمة ج تساوي صفر، فإن شكل المعادلة يصبح كالآتي: أس² ب س=0، وللمعادلة حلّان، ويمكن حلها عن طريق الخطوات الآتية:

1. نأخذ س عامل مشترك لتصبح س(أس ب) =0
2. بالتالي س=0 أو أس ب=0، أي س = - ب/أ.

مثال: يمكن حل المعادلة س² - 81 س=0، كما يأتي:

• نأخذ س عامل مشترك لتصبح س(س-81) =0.
• بالتالي س=0 أو س-81 =0.
• س-81= 0، أي قيمة س= 81.

أمثلة على تحليل المعادلة التربيعية

وفيما يأتي بعض الأمثلة على طرق حل المعادلة التربيعية:

حل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة التخمين

مثال (1): يمكن حل المُعادلة التربيعيّة الآتية: س² 4 س 3=0 باستخدام طريقة التخمين، كما يأتي:

• إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 4، وناتج ضربهما يساوي 3، وهما 1، و3.
• تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س 1)(س 3)=0.
• إذاً س= -1، أو س= -3.

مثال (2): يُمكن حل المُعادلة التربيعيّة الآتية: 6 س² 1 س -2= 0 باستخدام طريقة التخمين، كما يأتي:

• إيجاد حاصل ضرب -2×6=-12.
• إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 1، وناتج ضربهما -12، وهما 4، -3
• تعويض العددين مكان 1 المُعادلة لينتج 6 س² (4 -3) س -2 =0، ومنه: 6 س² 4 س-3 س-2=0.
• تحليل أول حدّين بأخذ 2 س كعامل مُشترك: 2س(3س 2)-(3س 2)=0.
• نخرج (3س 2) عامل مشترك، فتصبح (3س 2)(2 س-1)=0.
• ومنه إما س= 1/2، أو س= -2/3.

حل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة الفرق بين مربعين

يُمكن حل المُعادلة التربيعيّة الآتية: (س² -81)=0 باستخدام الفرق بين مربعين، كما يأتي:

• نحلل المعادلة، ونكتبها على شكل ( س-9)*(س 9) بحيث أن ضرب -9، 9 يساوي 81 وجمع 9،-9 يساوي صفر.
• ومنه إما س =9، أو س= -9.

حل المعادلة التربيعية باستخدام الصيغة العامة

يُمكن حل المعادلة الآتية باستخدام الصيغة العامة، 2س² 9 س -18= 0، كما يأتي:

• قيمة أ =2، ب=9، ج=-18.
• نطبق حسب القانون العام : س= (-ب ±(ب²-4أج)√)/2أ .
• س = (-9±(²9 -4*2*-18)√) /2*2.
• س= (-9 ±(225√))/4.
• س= (-9±15)/4.
• ومنه إما س=-6، أو س= 3/2.

حل المعادلة التربيعية باستخدام إكمال المربع

يُمكن حل المعادلة الآتية باستخدام إكمال المربع، س² 6 س -2=0، كما يأتي:

• نجد ب/2، وتساوي 2/6= 3.
• ننقل ج إلى الطرف الآخر عن طريق إضافة 2 للطرفين، تصبح المعادلة س² 6 س= 2.
• نجد قيمة (ب/2)² وهي (6/2)² = ²3 =9.
• بعد إضافة وطرح 9 إلى الطرفين تصبح المعادلة كما يأتي: س² 6 س 9 = 11.
• نحلل المعادلة إلى (س 3) (س 3) =11 وتكتب (س 3)² = 11.
• نأخذ الجذر للطرفين، فتصبح س= 11 √-3، أو س =-(11 √)-3.

حل المعادلة التربيعية عندما ب يساوي صفر

يُمكن حل المعادلة التربيعية 6 س² ب س-42=0، إذا كان قيمة ب =0، من خلال الخطوات الأتية:

• تعويض قيمة ب في المعادلة تصبح كالآتي: 6 س² -42=0.
• ننقل 42 للطرف الثاني عن طريق جمع 42 للطرفين، لتصبح المعادلة 6 س²= 42.
• نقسم الطرفين على 6 ، تصبح المعادلة س²= 42/6 .
• نأخذ الجذر للطرفين.
• إذًا قيمة س، هي: س= 7√ ، أو س= 7√-.

حل المعادلة التربيعية عندما ج يساوي صفر

يُمكن حل المعادلة 2ص² 6 ص=0 ، كالآتي:

• نخرج ص عامل مشترك لتصبح ص(2ص 6) =0.
• و منها، ص=0 أو (2ص 6)=0.
• ننقل 6 للطرف الثاني عن طريق طرح 6 من الطرفين لتصبح 2ص= -6.
• نقسم 2 على الطرفين لتصبح القيمة الأخرى ل ص= -3.
• إذًا ص= -3، أو ص=0 .

تُعرف المعادلة التربيعية بالمعادلة التي تُكتب على شكل أس² ب س ج = 0، وتوجد عدة طرق لحلها، كالتخمين ويختلف ذلك إذا كان قيمة معامل س²، أ يساوي 1 أو لا يساوي 1، كما تُوجد طريقة إكمال المربع التي تمكننا من كتابة المعادلة كصيغة المربع الكامل وإيجاد الحلول لقيم س، وطريقة الصيغة العامة والتي تُعرف بالقانون العام حيث يتم تحديد قيم أ، ب، ج ومن ثم التطبيق على القانون وإيجاد قيم س في المعادلة.