بحث عن شبه المنحرف

تعريف شبه المنحرف

يُعرّف شبه المنحرف بأنّه شكل مُسطّح ذو أربعة أضلاع مُستقيمة، يضم زوجاً من الأضلاع المتقابلة المتوازية ويمثّلان قاعدتيه، أمّا الضلعان الآخران غير المتوازيين فيُمثَّلان ساقيه، وتُسمّى المسافة العمودية المستقيمة الواصلة بين القاعدتين الارتفاع، وعليه يُمكن القول إنه شكل رباعي الأضلاع ذو ضلعين متوازيين، وغالباً يُمثّل الضلع الأطول قاعدة شبه المنحرف السُفلى، أمّا ضلعاه الجانبيان فهما مائلان، ويكون طول القاعدة العُليا عادةً أقصر من طول القاعدة السُفلى، ويُشبه شبه المنحرف في شكله المثلث المقطوع الرأس،

خصائص شبه المنحرف

أما عن خصائص شبه المنحرف فهو يمتاز بالخصائص الآتية:

• يمتلك أربعة زوايا يساوي مجموعها 360°، أمّا زوايا الساق الواحدة فمكمّلة لبعضها البعض.
• يكون المستقيم المتوسط أو خط الوسط في شبه المُنحرف عند رسمه موازياً لقاعدتيه، أما طوله فيساوي مجموع طول القاعدتين مقسوماً على 2.
• تقع نقطة تقاطع قطريه على استقامة واحدة مع نقاط المنتصف لكل ضلعين متقابلين.

أنواع شبه المنحرف

تتمثل أنواع شبه المنحرف بما يأتي:

• شبه المنحرف متساوي الساقين: يطلق على شبه المُنحرف هذا الاسم إذا كان ضلعاه غير المتوازيين (ساقيه) متساويين في الطول، ومن خصائصه أنّ زوايا القاعدة السُفلية متساوية وكذلك زوايا القاعدة العلوية، كما يتساوى طول الأقطار أيضاً، بإلاضافة إلى ذلك يكون قياس زاوية القاعدة السفلى مُكمّلاً لقياس زاوية القاعدة العليا على نفس الساق في كل اتجاه.
• قائم الزاوية: يحتوي هذا النوع على زوايتين قائمتين؛ بحيث يكون أحد ساقيه قائماً على القاعدتين.
• مُختلف الأضلاع: يكون هذا النوع من شبه المنحرف بِلا أضلاع أو زوايا متساوية.

حساب ارتفاع شبه المنحرف

يُمكن استخدام القانون الآتي لحساب ارتفاع شبه المنحرف وهو:

ارتفاع شبه المنحرف= طول الضلع (الساق) المقابل للارتفاع وهو الخط المستقيم النازل من القاعدة العلوية إلى السفلية × جا الزاوية السفلية المحصورة بين هذا الضلع والقاعدة السفلية

ويُمكن توضيح ذلك بالرموز من خلال أنّ:

ارتفاع شبه المنحرف (أ ب ج د) الذي تمثل (أب) فيه القاعدة السفلية، و(د ج) القاعدة العلوية يساوي:

الارتفاع= طول الساق (أ د) × جا الزاوية (أ)

أو

الارتفاع= طول الساق (ب ج) × جا الزاوية (ب)

حساب أطوال أقطار شبه المنحرف

• لحساب أطوال أقطار شبه المنحرف (أ ب ج د) الذي تمثل (أب) فيه القاعدة السفلية، و(د ج) القاعدة العلوية، يتمّ تطبيق القانون الذي ينص على أنّ:

طول قطره الأول (أج)= الجذر التربيعي للقيمة ((أب)² (ب ج)² − 2×(أب)(ب ج)×جتا(الزاوية المحصورة بينهما))

طول قطره الثاني (دب)= الجذر التربيعي للقيمة ((أد)² (أب)² − 2×(أد)(أب)×جتا (الزاوية المحصورة بينهما))

• يُعبّر عن مجموع مربّعي طولي قُطريه أيضاً بالمعادلة الآتية:

مجموع مربعي طولي قُطريه= مربع طول الساق الأول مربع طول الساق الثاني 2 × طول القاعدتين

• لحساب أطوال أقطار شبه المنحرف قائم الزاوية يتمّ تطبيق نظرية فيثاغورس، ليَنتُج أنّ:

طول قُطره الأول= الجذر التربيعي لمجموع مربعي طول ساقه القائم على القاعدتين وطول القاعدة السفُلى

طول قطره الثاني= الجذر التربيعي لمجموع مربعي طول ساقه القائم على القاعدتين وطول القاعدة العليا

ولتوضيح ذلك:

يُمكن افتراض أنّ هناك شبه منحرف (أ ب ج د) قائم الزاوية عند (أ) وعند (ب)، وعليه يكون:

طول قطره الأول= الجذر التربيعي للقيمة ((أب)² (ب ج)²)

طول قطره الثاني= الجذر التربيعي للقيمة ((أب)² (أد)²)

حساب مساحة شبه المنحرف

يُمكن إيجاد مساحة شبه المنحرف باستخدام القانون الآتي:

مساحة شبه المنحرف= ½ × ( مجموع طول القاعدتين) × الارتفاع

أمّا عن كيفية اشتقاق هذا القانون فهي كالآتي:

تقسيم شكل شبه المنحرف إلى مثلثين ومستطيل، وعليه:

• مساحة شبه المنحرف= مساحة المثلث الأول مساحة المثلث الثاني مساحة المستطيل، ويمكن التعبير عن ذلك في المعادلة الآتية:
• مساحة شبه المنحرف= (½) × قاعدة المثلث الأول × ارتفاعه (½) × قاعدة المثلث الثاني × ارتفاعه طول المستطيل × عرضه
• ولتوضيح ذلك يُمكن استخدام الرموز؛ وذلك من خلال افتراض أن هناك شبه منحرف قُسّم إلى مثلث أول قائم طول قاعدته (أ)، وارتفاعه (ع) ، ومستطيل قاعدته (ب) وارتفاعه (ع)، ومثلث قائم آخر قاعدته (ج) وارتفاعه (ع)، ينتج أن: مساحة المثلث الأول= (½)×أ×ع، ومساحة المثلث الثاني= (½)×ج×ع، ومساحة المستطيل= ب×ع.
• مما سبق ينتج أن: مساحة شبه المنحرف = (½)×أ×ع (½)×ج×ع ب×ع، وبضرب الطرفين بالرقم (2) ينتج أنّ: 2×مساحة شبه المنحرف = أ×ع ج×ع 2ب×ع.
• بإخراج ع كعامل مشترك ينتج أن: 2×مساحة شبه المنحرف = ع× (أ ج 2ب)، وبالقسمة على (2)، ومن خلال معرفة أن (أ ج ب) يساوي طول القاعدة السفلية وهو ب₂، وأن (ب) هو طول القاعدة العلوية ينتج أنّ: مساحة شبه المُنحرف= (½) × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع= (½) × (ب ب₂) ×ع.

أمثلة على حساب مساحة شبه المنحرف

المثال الأول: شبه منحرف أطوال قاعدتيه 35.6 سم، و25.4 سم على التوالي، وارتفاعه 12.7 سم، جد مساحته.

الحل:

• المساحة= (½) × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع = (½) × (35.6 25.4) × 12.7 = (½) × 61 × 12.7 = 387.35 سم²

المثال الثاني: جد مساحة شبه منحرف أطول قاعدتيه 9 سم، و7 سم وارتفاعه 3 سم.

الحل:

• المساحة = (½) × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع = (½) × (7 9) × (3) = 24 سم²

حساب محيط شبه المنحرف

يُساوي محيط شبه المنحرف مجموع أطوال أضلاعه الأربعة، ويمكن استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول أحد الأضلاع في حال كان مجهولاً، ويُمكن كتابة صيغة القانون كما يأتي:

محيط شبه المنحرف= أ ب ج د

حيث أنّ:

(أ)، (ب)، (ج)، (د): هي أطوال اضلاع شبه المنحرف على التوالي.

أمثلة على حساب محيط شبه المنحرف

المثال الأول: جد مُحيط شبه مُنحرف أطوال أضلاعه 3 سم، و4 سم، و5 سم، و7 سم.

الحل:

• بتطبيق قانون محيط شبه المنحرف= مجموع أطوال الأضلاع = (3 5 7 4) = 19 سم

المثال الثاني: جد محيط شبه مُنحرف أطوال أضلاعه 12 سم، و5 سم، و15سم، و4 سم.

الحل:

• بتطبيق قانون محيط شبه المنحرف= مجموع أطوال الأضلاع = (12 5 15 4) = 36 سم

المثال الثالث: جد مُحيط شبه منحرف متساوي الساقين، إذا عُلم أنّ طول القاعدة السُفلى يساوي 4 أضعاف طول القاعدة العليا، ويبلغ طول القاعدة العليا 6.35 سم، وطول أحد جانبيه غير المتوازيين يساوي 11.43 سم.

الحل:

• أولاً يُحسب طول القاعدة السُفلى والتي تساوي 4 أضعاف القاعدة العليا، وتساوي 4× 6.35 = 25.4 سم، وبما أنّ شبه المنحرف متساوي الساقين فإنّ جانبيه غير المتوازيين لهما نفس الطول وعليه فإنّ: المحيط= 6.35 25.4 11.43 11.43 = 54.61 سم

أمثلة حسابية مختلفة على شبه المنحرف

المثال الأول: إذا كان مُحيط شبه منحرف متساوي الساقين 110 م، بينما طولي قاعدتيه 40 م، و30 م، فجد مساحة شبه المنحرف وأطوال أضلاعه غير المتوازية.

الحل:

• بداية يتمّ حساب طول أحد جانبيه اعتماداً على محيط شبه المنحرف، وبما أنّ شبه المنحرف متساوي الساقين فإنّ جوانبه غير المتوازية تكون متساوية في الطول، وعليه فإنّ:
• محيط شبه المنحرف= مجموع أطوال أضلاعه 110= 40 30 (2 × س)
• (2 × س)= 110 - 70
• (2 × س)= 40، ومنه س= 20
• ولإيجاد مساحة شبه المنحرف يجب أولاً إيجاد الارتفاع له عن طريق تطبيق نظرية فيثاغورس كما يأتي: (20)²= (5)² (الارتفاع)²

ملاحظة: 5 هي عبارة عن طول قاعدة المثلث الناتج عن تقسيم شبه المنحرف إلى مثلثين ومستطيل

• 400= 25 (الارتفاع )²، (الارتفاع )²= 375، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين الارتفاع= 19.36 م
• الآن يُمكن تطبيق قانون المساحة= (½) × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع = (½) × (30 40) × 19.36 = (½) × 70 × 19.36 = 677.6 م²

المثال الثاني: شبه منحرف (أ ب ج د) له مستقيم متوسط طوله 15 سم، ويبلغ طول القاعدة السُفلى (8 س 5 )، بينما يبلغ طول القاعدة العُليا (6 س - 3)، جد قيمة س.

الحل:

• طول المستقيم المتوسط= (½) × مجموع طول القاعدتين، وهذه إحدى خصائص شبه المنحرف.
• 15= (½) × ( 8 س 5 6 س − 3) = (½) × ( 14س 2)
• 7 س= 14، ومنه س= 2

المثال الثالث: (أ ب ج د) شبه منحرف متساوي الساقين إذا كان قياس الزاوية (أ د ج)= 115°، جد قياس الزاوية (أ ب ج).

الحل:

• حسب خصائص المثلث فإنّ الزوايتين الداخليتين المتجاورتين الواقعتين بين القاعدتين المتوازيتين (على نفس الساق) تكون مكملة للأخرى، إذن تكون الزاوية (د ج ب) حاصل طرح 115° من 180°؛ أي أنّ: قياس الزاوية (د ج ب)= 180° - 115°= 65°
• من المعلوم أنّ زوايا القاعدة لشبه المنحرف متساوي الساقين متطابقة، وعليه فإنّ قياس الزاوية (أ ب ج)= 65°.

المثال الرابع: (س ص ع ل) شبه منحرف قائم الزاوية فيه طول الضلع (س ص)= 15.24 سم، وطول الضلع (ص ع)= 25.4 سم، وطول الضلع (ع ل)= 20.32 سم، وطول الضلع (ل س)= 10.16 سم، رُسِم مستقيم متوسط له اسمه (و ي)، جد طول (ع ي).

الحل:

• بما أنّ المستقيم المتوسط يكون موازياً للقاعدتين وطوله يساوي متوسط طول القاعدتين، فهذا يعني أنّ المستقيم المتوسط يُنصّف جانبي شبه المنحرف إلى قطعتين متساويتين، وبذلك فإنّ طول (ع ي)= ½ × (ل ع)، فإذن (ع ي)= 10.16 سم.

المثال الخامس: (أ ب ج د) شبه منحرف قائم الزاوية، حيث (أ ب) يوازي (د ج)، وقياس الزاوية (أ) يُساوي 120°، جد قياس الزاوية (د).

الحل:

بما أنّ مجموع أي زوايتين على نفس ساق شبه المنحرف يساوي 180°، فإنّ: قياس الزاوية (د) قياس الزواية (أ)= 180° 

وعليه فإن قياس الزاوية (د)= 180° - 120° = °60 

المثال السادس: (أ ب ج د) شبه منحرف، إذا عُلم أنّ مجموع قياس الزوايا (أ) و(ب) و(ج)= 290°، جد قياس الزواية (د).

الحل:

• بما أنّ شبه المنحرف شكل رباعي الأضلاع، فإن مجموع زواياه 360°، ومنه نستنتج ما يأتي:
• قياس الزواية (د)= 360°- 290°، ومنه قياس الزواية (د)= 70°

يُعرف شبه المنحرف بأنّه شكل رباعي فيه ضلعين متوازيين يمثّلان قاعدتيه وضلعين جانبيين مائلين يمثلان ساقيه، وتكون القاعدة السفلية أطول من القاعدة العلوية، ومجموع زواياه تساوي 360°، ويُمكن ايجاد مساحة، ومحيط، وأطوال أقطار شبه المنحرف، باستخدام مجموعة من القوانين الرياضية.