تعريف المجسمات الهندسة
هناك الكثير من الأجسام ثلاثية الأبعاد من حولنا؛ كالقلم، والكتاب، ومخروط البوظة، وكرة القدم، والتي تعتبر جميعها أمثلة على المجسمات الهندسية (بالإنجليزية: Solids)، إذ تعرف المجسمات الهندسية بأنها أشكال لها ثلاثة أبعاد هي؛ الطول، والعرض، والارتفاع؛ ومن أبرز أمثلتها؛ الكرة، والمكعّب، والهرم، والأسطوانة.
أنواع المجسمات الهندسية
هناك نوعان من المجسّمات تبعاً لشكل السطح، وهي:
المجسمات متعددة السطوح
يعرف المجسم متعدد السطوح (بالإنجليزية:Polyhedrons) بأنه الشكل الذي تكون جميع أسطحه مسطحة، وتجدر الإشارة إلى أن هذه الكلمة مشتقة من الكلمة الإغريقية (poly) التي تعني الكثير، و(hedron) التي تعني سطح، ومن الأمثلة عليه:
- المكعب: هو الشكل الذي يحتوي على ستة أوجه مربعة الشكل.
- المنشور الثلاثي: هو الشكل الذي يحتوي على قاعدتين مثلثتي الشكل على طرفيه، ووجوه جانبية مستطيلة الشكل.
- الهرم الثلاثي: هو شكل يضم قاعدة مثلثة الشكل، ووجوهاً جانبية مثلثة الشكل.
المجسمات غير متعددة السطوح
يعرف المجسم غير متعدد السطوح (بالإنجليزية:Non-Polyhedra) بأنه الشكل الذي يحتوي على سطح واحد على الأقل غير مسطّح، ومن الأمثلة عليه؛ الكرة، والاسطوانة، والمخروط.
مصطلحات هامّة عند دراسة المجسمات الهندسية
تتميز المجسمات الهندسية بأن لها حجماً، ومساحة سطح، وزوايا، وعدة أوجه وحواف أيضاً، ويمكن توضيح هذه المفاهيم كما يلي:
- مساحة السطح: (بالإنجليزية: Surface Area) هي المساحة التي تغطّي الشكل ثلاثي الأبعاد من الخارج، وتقاس بالوحدة المربعة، وتقسم إلى ثلاثة أقسام، وهي:
- مساحة السطح المنحني: (بالإنجليزية: Curved Surface Area)، وتمثّل مساحة الأسطح المنحنية.
- المساحة الجانبية: (بالانجليزية: Lateral Surface Area)، وتمثل مساحة الشكل بالكامل، بحيث تشمل الأسطح المحنية، والمستوية، باستثناء مساحة القاعدة.
- المساحة الكلية: (بالإنجليزية: Total Surface Area)، وتمثّل مساحة الشكل كاملاً بما فيه مساحة القاعدة.
- الحجم: (بالإنجليزية: Volume) يعرف الحجم بأنه كمية المادة التي توجد داخل الشكل ثلاثي الأبعاد، ويقاس بالوحدة المكعبة.
يمكن تطبيق القاعدة المعروفة باسم (Euler's Formula) على العديد من الأشكال الهندسية، وهي:
- عدد الأوجه عدد الرؤوس - عدد الأضلاع، أو الحواف = 2.
- فمثلاً: المكعب له ستة وجوه، وثمانية رؤوس، واثنا عشر ضلعاً، وبتطبيق هذه القاعدة فإن: 6 8-12=2.
أشهر المجسمات الهندسية
وفيما يلي قائمة بأشهر المجسمات الهندسية:
المكعب
يمكن تعريف المكعب (بالإنجليزية: Cube) على أنه حالة خاصة من متوازي المستطيلات، وفيما يأتي أبرز خصائصه:
- يحتوي على ستة أوجه متطابقة ومربعة الشكل، ومن أشهر الأمثلة عليه هي الصناديق مكعبة الشكل من حولنا.
- يحتوي على 12 ضلع مستقيم ومتساوٍ في الطول تُعرف بحواف المكعب.
- يضم ثمانية رؤوس تشكّل زواياه، وتنتج من التقاء أطراف حوافه معاً، لتشكّل الحواف الهيكل الخارجي له.
- تلتقي الوجوه معاً عند الحواف، ليشترك كل وجهين بحافة مشتركة بينهما.
قوانين هامّة عند دراسة المكعب
هناك مجموعة من القوانين الخاصة بالمكعب، ومنها:
- حجم المكعب: قانون حجم المكعب هو: الطول×العرض×الارتفاع، وبما أن أطوال أضلاع المكعب جميعها متساوية في الطول فإن: حجم المكعب = الضلع×الضلع×الضلع = (طول الضلع)³.
- مساحة سطح المكعب: بما أن المكعب يحتوي على ستة وجوه، وكل وجه من وجوه المكعب هو مربع الشكل، ومساحة المربع = (طول الضلع)²؛ فإن: مساحة سطح المكعب = 6×طول الضلع².
متوازي المستطيلات
وفيما يأتي أبرز خصائص متوازي المستطيلات (بالإنجليزية: Cuboid):
- يحتوي متوازي المستطيلات على ستة وجوه مستطيلة الشكل .
- يكون كل وجهين متقابلين في متوازي المستطيلات متطابقان.
- يحتوي متوازي المستطيلات على 8 رؤوس، و12 ضلع يشكلون حوافه.
وتجدر الإشارة إلى أن المكعب يمثّل حالة خاصة من متوازي المستطيلات؛ فالمكعب يحتوي على ستة أوجه مربعة الشكل جميعها متطابقة، أما متوازي المستطيلات فيحتوي على 6 أوجه مستطيلة الشكل، و يكون فيه فقط كل وجهين متقابلين متطابقان كما ذُكر سابقاً.
قوانين هامّة عند دراسة متوازي المستطيلات
هناك مجموعة من القوانين الخاصة بمتوازي المستطيلات، وهي:
- حجم متوازي المستطيلات= الطول×العرض×الارتفاع.
- المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات= 2×الطول×الارتفاع 2×العرض×الارتفاع.
- المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات= المساحة الجانبية (2×الطول×العرض).
الكرة
يمكن تعريف الكرة (بالإنجليزية: Sphere) بأنها شكل ثلاثي الأبعاد دائري الشكل، وفيما يأتي أبرز خصائصها:
- كل نقطة على سطح الكرة تبتعد عن مركزها مسافة متساوية تمثل نصف قطر الكرة.
- تتميز الكرة بأنها ليس لها رؤوس، أو حواف، ولها سطح واحد منحنٍ.
قوانين هامّة عند دراسة الكرة
هناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالكرة، ومنها:
- المساحة الكلية للكرة = 4×π×نق²
- حجم الكرة= 4/3×π×نق³؛،حيث:
- π : ثابت عددي له قيمة تقريبية تساوي 3.14، أو 22/7.
- نق: نصف قطر الكرة.
المخروط
يمكن تعريف المخروط (بالإنجليزية: Cone) على أنه هرم له قاعدة مسطحة دائرية الشكل ، وجوانب مائلة تلتقي عند نقطة معينة تُعرف برأس المخروط، وهو رأس مدبب الشكل، ويتميز المخروط باحتوائه على وجه مسطّح واحد، وعدم احتوائه على زوايا أو حواف مستقيمة. وهناك نوعان من المخاريط هي:
- المخروط القائم: (بالإنجليزية: Right Cone)، والذي ينتج إذا كان رأس المخروط يقع على استقامة واحدة مع مركز قاعدته.
- المخروط المائل: (بالإنجليزية: Oblique Cone)، والذي ينتج إذا كان رأس المخروط لا يقع على استقامة واحدة مع مركز قاعدته.
قوانين هامّة عند دراسة المخروط
هناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالمخروط، ومنها:
- مساحة المخروط: وتتكون من قسمين:
- مساحة قاعدة المخروط= π×نق²؛ حيث تمثل مساحة قاعدة المخروط مساحة الدائرة.
- المساحة الجانبية للمخروط= π×نق×ل.
- وبالتالي فإن المساحة الكلية للمخروط = π×نق² π×نق×ل = π×نق×(نق ل)؛ حيث:
- نق: هو نصف قطر قاعدة المخروط
- ل: هو طول المائل، أو الارتفاع الجانبي للمخروط، ويساوي: طول المائل: (ارتفاع المخروط² نصف قطر قاعدة الخروط²)√.
- π : ثابت عددي له قيمة تقريبية تساوي 3.14، أو 22/7.
- حجم المخروط= 1/3×π×نق²×ع، حيث:
- ع: ارتفاع المخروط وهو العمود المقام بين مركز القاعدة الدائرية، ورأس المخروط.
الأسطوانة
الأسطوانة (بالإنجليزية: Cylinder) هو شكل ثلاثي الأبعاد، ويتكون من قاعدتين دائريتين، ترتبطان معاً بواسطة سطح منحنٍ، وتتميز الأسطوانة بعدة خصائص منها:
- عدم احتوائها على رؤوس أو زوايا.
- احتواؤها على ثلاثة وجوه تتمثّل بالقاعدتين الدائريتين مسطحتي الشكل، والوجه المنحني، وحافتين منحنيتين.
قوانين هامّة عند دراسة الأسطوانة
هناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالأسطوانة ، وهي:
- مساحة سطح الأسطوانة الكلية= 2×π×نق×(ع نق)، وتُقاس بالوحدات المربعة.
- المساحة الجانبية للأسطوانة: 2×π×نق×ع، وتُقاس بالوحدات المربعة.
- حجم الأسطوانة= π×نق²×ع، ويُقاس بالوحدات المكعبة؛ حيث:نق: هو نصف قطر قاعدة الأسطوانة الدائرية.
- ع: هو ارتفاع الأسطوانة.
- π : ثابت عددي له قيمة تقريبية تساوي 3.14، أو 22/7.
الهرم
الهرم (بالإنجليزية: Pyramid) هو شكل متعدد السطوح ، وله قاعدة، وثلاثة وجوه جانبية، أو أكثر مثلثة الشكل، وتلتقي هذه الأوجه مشكّلةً رأس الهرم، ويمكن لأي نوع من المضلعات أن يشكّل قاعدة للهرم، التي تكون في أغلب الأحيان مربعة الشّكل، ومن الجدير بالذكر أنه إذا كانت قاعدة الهرم مُضلعاً منتظماً فإن المثلثات التي تمثّل أوجهه الجانبية تكون متطابقة؛ أي متساوية في الشكل، والحجم، ومتساوية الساقين، وهناك نوعان رئيسيان من الهرم، وهما:
- الهرم القائم: (بالإنجليزية: Right Pyramid) هو الهرم الذي يقع رأسه على استقامة واحدة مع مركز قاعدته.
- الهرم المائل: (بالإنجليزية: Oblique Pyramid) هو الهرم الذي لا يقع رأسه على استقامة واحدة مع مركز قاعدته، ولا تكون الأوجه مثلثة الشكل متطابقة.
وهناك أنواع عديدة للأهرامات، والتي تتم تسميتها بناءً على شكل قاعدتها، ومنها:
- الهرم الرباعي: هو الهرم الذي يتكون من قاعدة مربعة الشكل، وله 4 وجوه جانبية مثلثة الشكل، وقاعدة مربعة الشكل، و5 رؤوس، و8 أضلاع مستقيمة تشكل حواف الهرم.
- الهرم الثلاثي: هو الهرم الذي تكون قاعدته مثلثة الشكل، وله 4 رؤوس، و6 أضلاع تشكل حواف الهرم، و3 وجوه جانبية مثلثة الشكل.
قوانين هامّة عند دراسة الهرم
هناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالهرم، ومنها:
- مساحة سطح الهرم=مساحة القاعدة (1/2)×محيط القاعدة ×الارتفاع الجانبي، وتُقاس بالوحدة المربعة.
- حجم الهرم=(1/3)×مساحة القاعدة×الارتفاع، ويُقاس بالوحدات المكعبة.
المنشور
يمكن تعريف المنشور (بالإنجليزية: Prism) بأنه شكل ثلاثي الأبعاد يتكوّن من قاعدتين متطابقين، ومتوازيتين، وأوجه مستطيلة الشكل، ومن الأمثلة عليه المنشور الثلاثي الذي يتكون من 6 رؤوس، و9 أضلاع تشكل حواف المنشور، ومثلثين متطابقين في نهايته، و3 مستطيلات مسطّحة تمثّل أوجهه الجانبية، وبالتالي فهو يحتوي على خمسة وجوه.
يختلف شكل قاعدتي المنشور المتطابقتين، والمتوازيتين من منشور إلى آخر فقد تكون مربعاً، أو مستطيلاً، أو شكلاً خماسياً، أو سداسياً، أو غيرها من الأشكال الهندسية، وتتم تسمية المنشور عادة تبعاً لشكل قاعدتيه؛ فالمنشور الثلاثي يحتوي على قاعدتين مثلثيتين، والمنشور الخماسي يحتوي على قاعدتين خماسيتي الشكل، ومن الجدير بالذكر أن متوازي المستطيلات هو منشور يضم قاعدتين مستطيلتي الشكل، والمكعب هو منشور أيضاً يضم قاعدتين مربعتي الشكل.
قوانين هامّة عند دراسة المنشور
هناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالمنشور، ومنها:
- مساحة سطح المنشور= (2×مساحة القاعدة) (محيط القاعدة×ارتفاع المنشور).، وتجدر الإشارة إلى أنه تم ضرب مساحة القاعدة في 2 لوجود قاعدتين فيه
- حجم المنشور= مساحة القاعدة×الارتفاع.
ملخص لأهم المعلومات المتعلقة بالمجسمات الهندسية
الجدول الآتي يوضح خصائص كل شكل هندسي:
| الشكل الهندسي | عدد الوجوه | عدد الرؤوس | عدد الأضلاع |
|---|
| الكرة | وجه واحد منحنٍ | ليس لها رؤوس | ليس لها أضلاع |
| المخروط | وجهان أحدهما يمثل القاعدة الدائرية للمخروط، والآخر منحنٍ | رأس واحد | ضلع واحد منحنٍ |
| الأسطوانة | ثلاثة وجوه اثنان منهما يتمثلان بالقاعدتين الدائريتين للأسطوانة، والآخر هو الوجه المنحني الذي يلتف بين القاعدتين | ليس لها رؤوس أو زوايا | حافتان مائلتان |
| المكعب | ستة أوجه مربعة الشكل | ثمانية رؤوس تشكّل زوايا المكعب | 12 ضلع مستقيم يشكلون حواف المكعب |
| متوازي المستطيلات | ستة وجوه مستطيلة الشكل | 8 رؤوس | 12 ضلع أو حافة مستقيمة |
| الهرم الرباعي | خمسة وجوه أحدهما قاعدة الهرم مربعة الشكل، والأوجه الأربعة الأخرى مثلثة الشكل | 5 رؤوس | 8 أضلاع أو حواف مستقيمة |
| الهرم الثلاثي | أربعة وجوه جميعها مثلثة الشكل | 4 رؤوس | 6 أضلاع أو حواف مستقيمة |
| المنشور الثلاثي | خمسة وجوه اثنان منهما يشكلان القاعدتين مثلثتي الشكل، والوجوه الثلاثة الأخرى مستطيلة الشكل | 6 رؤوس أو زوايا | 9 أضلاع تشكل حواف المنشور. |
ملخص لأهم قوانين المجسمات الهندسية
وفيما يأتي جدول يوضح القوانين المتعلقة بالمجسمات الهندسية:
| الشكل الهندسي | قانون الحجم | قانون مساحة السطح | معاني الرموز |
|---|
| الكرة | 4/3×π×نصف قطر الكرة³ | 4×π×نصف قطر الكرة² . |
| المخروط | (1/3)×π×نصف قطر قاعدة المخروط²×ارتفاع المخروط | π×نصف القطر² π×نصف القطر×ارتفاع المخروط |
| الأسطوانة | π×نق²×ع | π×نصف قطر قاعدة الأسطوانة² 2×π×نصف قطر قاعدة الأسطوانة×ارتفاع الأسطوانة | - |
| المكعب | طول الضلع³ | 6×طول الضلع² | - |
| متوازي المستطيلات | الطول (أ)×العرض (ب)×الارتفاع (ع) | 2×(أ×ب ع×أ ع×ب)؛ حيث: أ،ب،ع: طول، عرض، ارتفاع متوازي المستطيلات | أ،ب،ع: طول، عرض، ارتفاع متوازي المستطيلات. |
| الهرم | (1/3)×مساحة القاعدة×الارتفاع | مساحة القاعدة (1/2)×محيط القاعدة×الارتفاع الجانبي | - |
| المنشور | مساحة القاعدة×الارتفاع | 2×مساحة القاعدة محيط القاعدة×الارتفاع | - |
أمثلة حسابية متنوعة حول المجسمات الهندسية
وفيما يأتي أمثلة حسابية متنوعة حول المجسمات الهندسية:
- المثال الأول: مخروط دائري قائم ارتفاعه 8 وحدات، ونصف قطره 6 وحدات، فما هو حجمه؟
- الحل:
- حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع = (1/3)×πײ6×8، ومنه: حجم المخروط= 96π وحدة مكعبة.
- المثال الثاني: كرة نصف قطرها 5سم فما هي مساحة سطحها؟
- الحل:
- مساحة سطح الكرة = 4×π×نق²= 4ײ5×3.14 = 314 سم² تقريباً.
- المثال الثالث: ما هو حجم الهرم الرباعي الذي طول القاعدة فيه 10سم، وارتفاعه 18سم؟
- الحل:
- حجم الهرم = (1/3)×مساحة القاعدة×الارتفاع
- بما أن القاعدة مربعة الشكل فإنه يمكن إيجاد مساحتها كما يلي: مساحة القاعدة = طول الضلع²= 10²= 100 سم².
- بعد إيجاد مساحة القاعدة يمكن تطبيق قانون حجم الهرم كما يلي: حجم الهرم = (1/3)×100×18= 600 سم³.
- المثال الرابع: إذا كان طول ضلع المكعب 10سم، فما هو حجم المكعب، ومساحة سطحه؟
- الحل:
- حجم المكعب = طول الضلع³ = 10³= 1000 سم³.
- مساحة سطح المكعب = 6 × طول الضلع² = 6 × (10)²= 600 سم²
- المثال الخامس: ما هو حجم المنشور الثلاثي الذي مساحة قاعدته 25م²، وارتفاعه 12م؟
- الحل:
- حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع= 25×12 = 300م³.
تعرف المجسمات الهندسية بأنها أشكال لها ثلاثة أبعاد هي؛ الطول، والعرض، والارتفاع؛ ومن أبرز أمثلتها؛ الكرة، والمكعّب، والهرم، والأسطوانة، والمخروط، والمنشور، ومتوازي المستطيلات وغيرها العديد، ولكل من تلك الأشكال قوانين معينة لحساب حجمها ومساحتها ومحيطها، إذ يتميز كل منها بخصائص معينة.
