التكامل المحدود في الرياضيات

مفهوم التكامل المحدود

ينقسم التكامل لنوعين، هما التكامل المحدود والتكامل الغير محدود، ويعرّف التكامل المحدود بأنّه عبارة عن المساحة تحت المنحنى في الرسم البياني ، حيث تنحصر المساحة بين نقطة بداية ونقطة نهاية بالنسبة لمحور السينات x، وتكون النتيجة النهائية له رقم ثابت،ويختلف التكامل المحدود عن التكامل الغير محدود في نتيجة التكامل النهائية، إذ تكون نتيجة تكامل الاقتران الغير محدود اقتران.

ويتم استخدام التكامل المحدود في تطبيقات متعددة؛ كحساب مساحة الدائرة والقطع المكافئ والقطع الناقص وإيجاد الحجوم، بالإضافة لذلك، تستخدم في العديد من التطبيقات الفيزيائية مثل إيجاد كتلة جسم معلوم الكثافة .

الصيغة العامة للتكامل المحدود

تتبع الصيغة العامة للتكامل المحدود المبرهنة الخاصة بإيجاد المساحة، و يمكن التعبير عن التكامل المحدود بالصيغة التالية:

حيث إن:

التكامل على الفترة من a إلى b، حيث أن a تمثل الحد الأدنى للتكامل و b يمثل الحد الأعلى للتكامل .

 الاقتران المراد إيجاد تكامله.

تكامل الاقتران بالنسبة للمتغير x.

خصائص التكامل المحدود

يتميز التكامل المحدود بالعديد من الخصائص والنظريات التي تستخدم في حل الأسئلة المتعلقة به، وفيما يلي ذكر للخصائص الشائعة للتكامل المحدود:

يكون ناتج التكامل في الفترة المحصورة بين (أ،ب)، مساويً لسالب نفس التكامل في الفترة المحصورة بين (ب،أ).
يمكن تجزئة التكامل، حيث أن ناتج التكامل في الفترة بين (أ، ب)، يساوي لمجموع التكامل المحصور في الفترة بين (أ،ج)، والفترة (ج، ب).
إذا كانت حدود التكامل متساوية، فإن ناتج التكامل يكون يساوي صفر.
إذا كان الإقتران ق(س) متصل في الفترة (أ، ب)، فإن الإقتران قابل للتكامل والاشتقاق على نفس الفترة.
يكون ناتج التكامل للاقتران ق(س) في الفترة (أ، ب) يساوي ناتج تكامل الاقتران ق(ص) على نفس الفترة، وتسمى هذه الخاصية بالخاصية التبديلية.
يمكن إيجاد قيمة تكامل محدود باستخدام خاصية جمع تكاملَيْن محددَيْن على الفترة نفسها.

طرق حل التكامل المحدود

تعد طريقة عكس المشتقة من أسهل الطرق لحل التكامل مباشرة، ولكن أحيانا يصعب حل التكامل بهذه الطريقة، لوجود الاقتران في صورة معقدة غير مباشرة؛ مثل الاقترانات المثلثية والإقترانات اللوغارتمية التي يتطلب تكاملها وقتا أطول، عندها نلجأ لطرق أخرى للحل، ومنها:

التكامل بالأجزاء

التكامل بالأجزاء (بالإنجليزية: Integration by parts) تساعد هذه الطريقة بإيجاد التكامل لحاصل ضرب اقترانين، لأنه يصعب إيجادها بطريقة مباشرة، وتتم هذه الطريقة بضرب الاقتران الأول بتكامل الاقتران الثاني ناقص حاصل التكامل لناتج ضرب تكامل الاقتران الثاني في مشتقة الاقتران الأول.

التكامل بالتعويض

التكامل بالتعويض (بالإنجليزية: Integration by substitution) يستخدم التكامل بالتعويض لتغيير صورة الاقتران لصورة مألوفة يسهل إيجاد تكاملها، وذلك عن طريق تعويض المتغير بمتغير آخر وإيجاد التكامل ثم إرجاع الاقتران لصورته الأصلية بتعويض المتغير الأصلي.

التكامل باستخدام الكسور الجزئية

التكامل باستخدام الكسور الجزئية (بالإنجليزية: Integration by partial fractions) إذا كان الاقتران المراد إيجاد تكامله بصورة كسرية؛ أي كثير حدود على كثير حدود، بشرط أن تكون درجة البسط أقل من درجة المقام، فعندها يمكن استخدام التكامل باستخدام الكسور الجزئية، نظرا لتبسيطها الاقتران بحيث يسهل إيجاد تكامله. تتم هذه الطريقة كما يلي:

أولا تحليل المقام.
فرض متغيرات بعدد العوامل وقسمة كل متغير على عوامل المقام.
مساواتها بالاقتران الأصلي وإيجاد المتغيرات ثم حل التكامل.

2023-12-1433تعليم

مزيد من المشاركات

فوائد لعب الحديد

لعب الحديد لعب الحديد وهو الاسم الشعبي لرياضة كمال الأجسام، والتي ظهرت في نهايات القرن التاسع عشر للميلاد، وحتى ينضم الشخص إليها يجب أن يتمتع بتناسق في عضلات جسمه؛ حتى يبدأ فيما بعد تضخيم عضلات جسمه وزيادة حجمها بحيث تكون بارزة مقارنةً بالأشخاص العاديين، ومقارنة بالأشخاص الآخرين الذين يلعبون الحديد فتتم بناءً على مجموعة من الأمور المتعلقة بكثافة العضلات ووضوحها وتحديدها، إضافةً إلى لون الجلد، وسوف نتحدث عن أبرز فوائد هذه الرياضة على المستوى الصحي أو الجسدي وكذلك النفسي. فوائد لعب الحديد

طرق انتقال جرثومة المعدة

طرق انتقال جرثومة المعدة تتعدّد طرق انتقال جرثومة المعدة أو بكتيريا المعدة أو البكتيريا الملوية البوابية (بالإنجليزية: Helicobacter Pylori) واختصارًا H.Pylori من شخص لآخر؛ إذ يمكن أن تنتقل من شخص إلى آخر عن طريق اللعاب أو عن طريق الماء والطعام الملوث بالبراز، ويعتقد العديد من العلماء أن جرثومة المعدة قد تكون معدية، وقد جاء هذا بسبب ملاحظة أنّ معظم الأشخاص يصابون بالعدوى وهم في مرحلة الطفولة، بالإضافة إلى انتشار العدوى ضمن العائلة الواحدة والمناطق المزدحمة بالسكان، وعلى الرغم من أنّها شائعة في

ما هي أعراض ألم ضرس العقل

الأعراض المرافقة لألم ضرس العقل من الأعراض التي تُرافق ألم ضرس العقل ما يأتي: احمرار وانتفاخ اللثة حول ضرس العقل إنّ انتفاخ اللثة واحمرارها من أولى العلامات التي تصاحب ظهور ضرس العقل، وعادةً يصاحب ذلك الشعور بعدم الراحة والانزعاج في جانبٍ أو جانبين من الجزء الخلفي من الفم. وفي حال عدم توافر المساحة الكافية، قد ينمو ضرس العقل بصورة خاطئة، الأمر الذي يسبب تراكم الطعام في اللثة المحيطة به، ممّا يُسبب تجمع البكتيريا وتكون البلاك مما قد يعرضها للعدوى وقد يسبب ظهور أعراض التهاب ما حول التاج

طريقة حذف المتابعين في تويتر

حذف متابعي تويتر تختلف طريقة حذف متابعي تويتر (Twitter) من خلال استخدم التطبيق عنها من خلال المتصفح، وفيما يأتي خطوات كل منها: حذف متابعي تويتر باستخدام الهاتف لا توجد طريقة رسميّة لحذف المُتابعين من حساب تويتر ، لكن يُمكن لمُستخدمي تويتر حذف المُتابعين من حساباتهم عن طريق حظرهم على تويتر، ثمّ إلغاء حظرهم، وبذلك تتمّ إزالتهم من قائمة المُتابعين دون يتمّ إعلامهم بهذا الأمر، والخطوات الآتية توضّح طريقة إتمام ذلك بالتفصيل: فتح تطبيق تويتر على الهاتف المحمول. النقر على صورة الملف الشخصيّ (Profile

منى الشاذلي (مقدمة برامج مصرية)

نشأة منى الشاذلي تُعدّ منى الشاذلي إحدى أشهر مقدّمات البرامج المصري في الوقت الحاضر واسمها الكامل هو منى محمد أحمد محمود الشاذلي [3]، وُلدت في مدينة ميت غمر في محافظة الدقهلية في مصر، في 3 كانون الأوّل لعام 1970م، واشتُهرت بتقديم برنامج معكم منى الشاذلي على قناة سي بي سي، درست العلوم السياسية في الجامعة الأمريكية في مصر . المسيرة المهنية لمنى الشاذلي مرّت منى الشاذلي بالعديد من المحطات في حياتها المهنية، حتّى استطاعت تحقيق كل هذا النجاح، ومن أهمّ أعمال منى الشاذلي خلال مسيرتها المهنيّة ما

كيفية تنظيف غلاية الماء

تنظيف غلّاية الماء من الداخل استخدام الخل يُساعد الخل على تنظيف الغلّايات الكهربائيّة من الداخل، وذلك من خلال صنع محلول من الخل والماء بكمّيات متساوية، ثمّ ملء نصف إلى ثلاثة أرباع الغلّاية بهذا المحلول، وغليه داخل الغلّاية لإزالة الترسّبات الكلسيّة، ويُمكن زيادة كميّة الخل في المحلول في حال كانت الترسبات كثيرةً وصعبة الإزالة. يتمّ ترك المحلول داخل الغلّاية مدّة 20 دقيقة بعد غليانه، ويُمكن زيادة المدّة إذا كانت الرّواسب كبيرة، ثمّ يتمّ سكب المحلول من الغلّاية ، وفركها من الدّاخل باستخدام

الحياة العلمية في العصر الأندلسي

العصر الأندلسي امتد العصر الأندلسي على مدار ثمانية قرون، فمنذ فتوحات طارق بن زياد للمغرب العربي سنة 92 هـ وحتى سقوط الأندلس على يد الإسبان سنة 897 هـ والأندلس في المغرب العربي تعيش حالة من الرخاء والازدهار والاستقرار، وقد مجّد الأندلسيون العلم والعلماء والفقهاء ورجال الأدب، وكان لهم الريادة في المجتمع الأندلسي وتوليّ المناصب القيادية، وكان العلماء متقنين لفنون علمهم ينفقون أموالهم في سبيل العلم ليحظوا بالتكريم والإجلال. أسباب ازدهار الحياة العلمية في الأندلس يمكن تحديد الأسباب التي أدت إلى

قصيدة عن الحياة

قصيدة رُويدَكِ شمسَ الحَياة يقول نسيب عريضة: رُويدَكِ شمسَ الحَياة ولا تُسرعي في الغُروب :فما نالَ قلبي مُناه وما ذاقَ غيرَ الخُطوب حَنانَيكَ داعي الرَحيل أنَمضي كذا مُرغَمِين ولم نَروِ بعدُ الغلِيل فَمَهلا ودَعنا لِحِين أَتمضي الحياةُ سُدى وما طالَ فيها المَقام ولم نَجتَز المُبتَدا فَسُرعانَ يأتي الخِتام أنَمضِي ولمّا نَنَل رَغائبَ نفسٍ طَموح أنَقضِي ويقضِي الأمل وتَندَكُ تلك الصُروح ألا فُسحةٌ في الأجَل ألا رَحمةٌ أو رَجاء ألا مُهلةٌ أو بَدَل ألا عَفوَ عندَ القَضاء حَنانَيكَ أينَ الذَهاب