نظرة عامة حول الأعداد الزوجية والأعداد الفردية
تنقسم الأعداد الصحيحة (بالإنجليزية: Integer numbers) إلى مجموعتين هما: الأعداد الزوجية (بالإنجليزية: Even Numbers) وهي الأعداد التي تقبل القسمة على العدد (2) دون باقٍ، والأعداد الفردية (بالإنجليزية: Odd Numbers) التي لا يمكن لها في المقابل القسمة على العدد (2) دون باقٍ، ويكون باقي قسمتها عليه مساويًا للعدد (1).
ومن الأمثلة على الأعداد الزوجية: (2،8،16)، والأعداد الفردية (1،9،15)، ويجب لكل عدد صحيح أن يكون إمّا فرديًا، أو زوجيًا، ولا يمكن له أن يكون زوجيًا وفرديًا معًا في الوقت نفسه، وفي المقابل لا يمكن أيضًا تصنيف الكسور إلى أعداد زوجية أو فردية؛ لأنها تعتبر أجزاءً من الأعداد، وليست أعدادًا كاملة، ويمكن كتابتها بأشكال مختلفة.
خصائص الأعداد الزوجية والفردية
للأعداد الزوجية والفردية مجموعة من الخصائص، ومن ضمن هذه الخصائص ما يأتي:
- يعتبر العدد صفر عدداً زوجياً لأن العدد الذي يلي أو يسبق العدد الفردي هو عدد زوجي بالتأكيد، والعدد صفر يسبق العدد واحد (1 عدد فردي) وبهذا فهو عدد زوجي.
- تُعتبر كل من مجموعةُ الأعداد الزوجية، والفردية غير منتهية حيث لا يمكن حصر العدد الأخير لها، (2, 4, 6, 8, 10,.......إلخ)، (3, 5, 7, 9, 11, 13,.......إلخ).
- تتناوب الأعداد الزوجية والفردية بشكل مستمرفي ترتيبها؛ فمثلاً الأعداد 1, 2, 3, 4 تترتب على الشكل الآتي: 1: فردي، 2: زوجي، 3: فردي، 4: زوجي، وهكذا إلى المالانهاية.
- تعتبر جميع الأعداد التي تنتهي بأحد الأعداد الآتية -منزلة الآحاد فيها- (1،3،5،7،9) أعدادًا فردية، أما الأعداد التي تنتهي بأحد الأعداد الآتية: (8،6،4،2،0) أعدادًا زوجية.
- يمكن توزيع العدد الزوجي على مجموعتين بالتساوي، أما العدد الفردي فعند توزيعه على مجموعتين فإن الباقي دائمًا هو العدد (1).
- يمكن التعبير عن العدد الزوجي على شكل 2 × ك، أما العدد الفردي فيمكن التعبير عنه على شكل: 2 × ك 1؛ حيث ك هو عدد صحيح .
العمليات على الأعداد الزوجية والفردية
عملية الجمع وعملية الطرح
من الخصائص التي تتميز بها عمليات الجمع والطرح للأعداد الزوجية والفردية ما يأتي:
- عند جمع أو طرح عددين زوجيين فإن الناتج بالتأكيد عدد زوجي، فمثلاً 4 2=6؛ حيث إن: عدد زوجي عدد زوجي= عدد زوجي.
- عند جمع أو طرح عددين أحدهما زوجي والآخر فردي، فإن الناتج هو عدد فردي، 6 3=9؛ حيث إن: عدد زوجي عدد فردي= عدد فردي.
- عند جمع أو طرح عددين فرديين فإن الناتج بالتأكيد عدد زوجي، فمثلاً 3 5=8؛ حيث إن: عدد فردي عدد فردي= عدد زوجي.
عملية الضرب
من الخصائص التي تتميز بها عملية الضرب للأعداد الزوجية والفردية ما يأتي:
- حاصل ضرب عددين زوجيين ببعضهما، ينتج عنه عدد زوجي، فمثلاً 4×8=32؛ أي أن: عدد زوجي×عدد زوجي= عدد زوجي.
- حاصل ضرب عدد زوجي في عدد فردي، ينتج عنه عدد زوجي، فمثلاً 4×7=28، أي أن: عدد زوجي × عدد فردي= عدد زوجي.
- حاصل ضرب عددين فرديين ببعضهما، ينتج عنه عدد فردي، فمثلاً 5×7=35، أي أن: عدد فردي×عدد فردي=عدد فردي.
عملية القسمة
تتميز عملية القسمة للأعداد الزوجية والفردية بعدة خصائص وهي كما يأتي:
- حاصل قسمة عددين فرديين على بعضهما، ينتج عنه عددًا فرديًا أو عددًا كسريًا، فمثلًا: 3/1=3، أو 9/7=1.28؛ أي أنّ: عدد فردي ÷ عدد فردي= عدد فردي أو عدد كسري.
- حاصل قسمة عددين زوجيين على بعضهما، ينتج عنه عددًا زوجيًا أو عددًا فرديًا أو عددًا كسريًا، فمثلًا: 8/2=4، أو 12/4=3، أو 2/4=0.5؛ أي أنّ: عدد زوجي ÷ عدد زوجي= عدد زوجي أو عدد فردي أو عدد كسري.
- حاصل قسمة عدد فردي على عدد زوجي، ينتج عنه عددًا كسريًا، فمثلًا: 9/4=2.25؛ أي أنّ: عدد فردي ÷ عدد زوجي= عدد كسري.
- حاصل قسمة عدد زوجي على عدد فردي، ينتج عنه عددًا زوجيًا أو عددًا كسريًا، فمثلًا: 12/3=4، أو 12/7=1.71؛ أي أنّ: عدد زوجي ÷ عدد فردي= عدد زوجي أو عدد كسري.
أمثلة حول الأعداد الزوجية والفردية
المثال الأول: صنّف الأعداد الآتية إلى زوجية، وفردية: 20، 112، 67، 111، 999، 446.
- الحل: بالنظر إلى منزلة الآحاد لهذه الأعداد ينتج أن:
- 20، 112، 446: أعداد زوجية؛ لأنها تنتهي بـ (4،2،0) على التوالي.
- 67، 111، 999: أعداد فردية؛ لأنها تنتهي بـ (9،1،7) على التوالي.
المثال الثاني: هل ناتج: (47630750675 453407032)×549068453 زوجي أم فردي.
- الحل: العدد (47630750675) فردي، والعدد (453407032) زوجي، وناتج جمع عدد فردي عدد زوجي = عدد فردي.
- ناتج جمع (47630750675 453407032) فردي، والعدد (549068453) فردي، وحاصل فردي×فردي = عدد فردي.
المثال الثالث: هل ناتج: أ أ. زوجي أم فردي، علمًا بأن أ عدد زوجي.
- الحل: ناتج أ زوجي؛ لأن العدد الزوجي×العدد الزوجي= عدد زوجي.
- ناتج أ أ زوجي؛ لأن العدد الزوجي العدد الزوجي= عدد زوجي.
المثال الرابع: هل ناتج 160×7 زوجي أم فردي.
- الحل:
- العدد 160 زوجي؛ لأنه ينتهي بالعدد صفر.
- العدد 7 فردي؛ لأنه ينتهي بالعدد سبعة.
- ناتج 160×7 زوجي؛ لأن فردي×زوجي = زوجي.
المثال الخامس: حدد في الجملة الآتية إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم عددًا فرديًا:
81 ÷ س = 9
الحل:
- بناءًا على خاصية القسمة: عدد فردي ÷ عدد فردي = عدد فردي أو عدد كسري.
- وبالتالي فإنّ قيمة س هي عدد فردي وهو العدد 9.
المثال السادس: حدد في الجملة الآتية إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم عددًا فرديًا:
س × 3 = 21
الحل:
- بناءً على خاصية الضرب: عدد فردي × عدد فردي = عدد فردي.
- وبالتالي فإنّ س عدد فردي وهو العدد 7.
المثال السابع: حدد في الجملة الآتية إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم عددًا فرديًا:
8 1 = س
الحل:
- بناءً على خاصية الجمع: عدد زوجي عدد فردي = عدد فردي.
- وبالتالي فإنّ قيمة س هي عدد فردي وهو العدد 9.
المثال الثامن: حدد في الجملة الآتية إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم عددًا فرديًا:
99 - س = 20
الحل:
- بناءً على خاصية الطرح : عدد فردي - عدد فردي= عدد فردي.
- وبالتالي فإنّ قيمة س هي عدد فردي وهو العدد 79.
المثال التاسع: حدد في الجملة الآتية إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم عددًا فرديًا:
46 س= 52
الحل:
- بناءً على خاصية الجمع: عدد زوجي عدد زوجي = عدد زوجي.
- وبالتالي فإنّ قيمة س هي عددًا زوجيًا وهو العدد 6.
هل الصفر عدد زوجي أم فردي؟
يُعد العدد صفر عددًا زوجيًا، وذلك لأنّ الأعداد الزوجية تقبل القسمة على 2؛ أي عند قسمة أي عدد على العدد 2 ويكون ناتج القسمة عددًا صحيحًا يُصنف هذا العدد على أنّه عدد زوجي؛ وبالتالي عند قسمة العدد 0 على 2 يكون الناتج 0، والعدد 0 هو عدد صحيح؛ وبالتالي فإنّ العدد 0 عدد زوجي.
فيديو تعريفي عن مجموعات الأعداد
للتعرف على المزيد تابع الفيديو الآتي:
