مقارنة الأعداد الصحيحة
يُمكن تعريف مقارنة الأعداد الصحيحة بأنّها عملية توضح علاقة عدد صحيح بعدد صحيح آخر، بحيث تُحدد إذا كانت قيمة العدد الصحيح الأول أكبر من، أو أصغر من، أو يساوي العدد الصحيح الثاني، والأعداد الصحيحة هي الأعداد التي تُكتب بصورة صحيحة دون استخدام الكسور أو الجزء العشري، وقد تكون أعداد سالبة أو موجبة فردية أو زوجية، إذ تنتمي الأعداد الصحيحة إلى الحقيقية ، ويُستخدم لمقارنة الأعداد الصحيحة إشارات ورموز وهي كالتالي:
- الإشارة (=): وتُستخدم للدلالة عن عددين متساويين في القيمة؛ مثال: (8 = 8).
- الإشارتان (): وتُستخدمان للمقارنة بين عددين غير متساويين في القيمة، بحيث تكون:
- إشارة أكبر من (>): تُستخدم للدلالة على أنّ قيمة العدد الأول أكبر من قيمة العدد الثاني؛ مثال: (5 > 1).
- إشارة أصغر من ( تُستخدم للدلالة على أنّ قيمة العدد الأول أصغر من قيمة العدد الثاني؛ مثال: (2
و سيتم شرح مقارنة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة فيما يلي، ولكن من المهم معرفة أنّه إذا تمت المقارنة بين عدد صحيح موجب وعدد صحيح سالب فإنّ العدد الصحيح الموجب دائمًا يكون هو الأكبر.
مقارنة الأعداد الصحيحة الموجبة
الأعداد الصحيحة الموجبة هي الأعداد التي تكون قيمتها أكبر من صفر وتُمثل على خط الأعداد بأنّها الأعداد التي تأتي على يمين الصفر، ويمكن مقارنة الأعداد الصحيحة الموجبة بالطرق التالية:
باستخدام خط الأعداد
يُمكن استخدام خط الأعداد لمقارنة الأعداد الصحيحة الموجبة بحيث يكون العدد الموجود على اليمين أكبر من العدد الموجود على اليسار، فالأرقام الموجبة تزداد كلما اتجهنا نحو اليمين، على سبيل المثال: أيهما أكبر العدد 6 أم العدد 3؟
- نُحدد العددين على خط الأعداد:
-
- 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
- نُلاحظ أنّ العدد 6 يقع على يمين العدد 3، إذًا العدد 6 أكبر من العدد 3، أي أن؛ 6 > 3.
باستخدام عدد المنازل
تُستخدم طريقة خط الأعداد للأرقام الصغيرة، فإذا كانت الأعداد أكبر وتتكون من عدد منازل أكثر يصعب استخدام خط الأعداد، لذا نُقارن بينها بالخطوات التالية:
- العدد الصحيح الذي يحتوي على عدد أكبر من المنازل يكون أكبر من العدد الصحيح الذي يحتوي عددًا أقل من المنازل، مثال: العدد 142 أكبر من 32، لأنّ العدد 142 يحتوي على 3 منازل بينما العدد الثاني يحتوي على منزلتين فقط.
- إذا امتلك العددان نفس عدد المنازل، نبدأ بمقارنة كل منزلة لكل عدد صحيح ونبدأ من أقصى اليسار، أي من منزلة الألوف، ثم المئات، ثم الآحاد، فإذا كانت أول منزلة من اليسار متساوية في كلا العددين، ننتقل إلى المنزلة التي تليها إلى أن نصل إلى منزلة تحتوي على رقمين مختلفين، والعدد الصحيح الذي يحتوي رقم أكبر في منزلته يكون هو العدد الأكبر.
مثال: أيهما أكبر العدد 753 أم العدد 758؟
- نبدأ بمقارنة أول منزلة على اليسار لكل رقم وهي منزلة المئات؛ الرقم 7 متساوٍ في كلا العددين، ننتقل إلى منزلة العشرات؛ وأيضًا الرقم 5 متساوٍ في كلا العددين، ثم ننتقل إلى مقارنة منزلة الآحاد ونجد أنّ الرقم 3 في العدد الأول أصغر من الرقم 8 الموجود في العدد الثاني، وبالتالي فإنّ 753 أصغر من 758.
- الحل: 753
مقارنة الأعداد الصحيحة السالبة
الأعداد الصحيحة السالبة هي الأعداد التي تكون قيمتها أصغر من صفر وتُمثل على خط الأعداد بأنّها الأعداد التي تأتي على يسار الصفر، ويمكن مقارنة الأعداد الصحيحة السالبة باستخدام الطرق التالية:
باستخدام خط الأعداد
يُمكن استخدام خط الأعداد لمقارنة الأعداد الصحيحة السالبة بحيث يكون العدد الموجود على اليمين أكبر من العدد الموجود على اليسار؛ أي أن العدد الأقرب إلى الصفر هو الأكبر، فالأرقام السالبة تقل كلما اتجهنا نحو اليسار، على سبيل المثال: أيهما أكبر العدد 7- أم العدد 2-؟
- نُحدد العددين على خط الأعداد:
- |ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ـــــ>
- 0 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9- 10-
- نُلاحظ أنّ العدد 2- يقع على يمين العدد 7-، إذًا العدد 2- أكبر من العدد 7-، أي أن؛ 2- > 7-.
باستخدام عدد المنازل
لأنّ طريقة خط الأعداد أسهل للأعداد الصغيرة، نُقارن الأعداد السالبة الكبيرة باستخدام عدد المنازل من خلال اتباع الخطوات التالية:
- كلما كانت قيمة العدد السالب كبيرة يكون العدد أصغر، أي أنّه عكس الأعداد الموجبة، لذا نقارن العددين السالبين بنفس خطوات الأعداد الصحيحة الموجبة، والعدد الصحيح الموجب الذي يكون أكبر يكون هو العدد السالب الأصغر.
- مثال: قارن بين العدد 345- والعدد 321-.
- نقارن بين العددين على أنهما عددان موجبان بنفس الخطوات السابقة.
- نبدأ بمقارنة أول منزلة من اليسار لكل عدد، الرقم 3 متساوٍ في كلا العددين، ننتقل إلى منزلة العشرات؛ ونجد أنّ الرقم 4 في العدد الأول أكبر من الرقم 2 الموجود في العدد الثاني، وبالتالي فإنّ 345 أكبر من 321.
- ولأنّ الأعداد السالبة عكس الأعداد الموجبة، فإنّ 345- أصغر من 321-، أي أن؛ 345-
أمثلة متنوعة على مقارنة الأعداد الصحيحة
وفيما يأتي أمثلة متنوعة على مقارنة الأعداد الصحيحة:
| المثال | الحل | التبرير |
| أيهما أكبر العدد 5 أم العدد 12؟ | 5 | يقع العدد 12 على يسار العدد 5 على خط الأعداد الموجب. |
| أيهما أكبر العدد 1- أم العدد 6-؟ | 1- > 6- | يقع العدد 1- على يمين العدد 6- على خط الأعداد السالب. |
| أيهما أكبر العدد 45 أم العدد 863؟ | 45 | يتكون العدد 45 من منزلتين بينما يتكون العدد 863 من 3 منازل، إذًا العدد 863 هو الأكبر. |
| أيهما أكبر العدد 56 أم العدد 321-؟ | 56 > 321- | العدد الموجب أكبر من العدد السالب. |
| أيهما أكبر العدد 37 أم العدد 31؟ | 37 > 31 | كلا العددين يحتويان على نفس الرقم في منزلة العشرات، نُقارن منزلة الآحاد نجد أنّ الرقم 7 في العدد الأول أكبر من الرقم 1 في العدد الثاني. |
| أيهما أكبر العدد 92- أم العدد 90-؟ | 92- | كلا العددان يحتويان على نفس الرقم في منزلة العشرات، نُقارن منزلة الآحاد نجد أنّ الرقم 2 في العدد الأول أكبر من الرقم 0 في العدد الثاني، ولأنّ الأعداد السالبة عكس الأعداد الموجبة، فإنّ العدد 92- هو الأصغر. |
| أيهما أكبر العدد 320- أم العدد 54-؟ | 320- | يحتوي العدد الأول على عدد منازل أكبر من العدد الثاني، ولأنّ الأعداد السالبة عكس الأعداد الموجبة فإنّ العدد 320- هو الأصغر. |
| أيهما أكبر العدد 3 أم العدد 77-؟ | 3 > 77- | العدد الموجب أكبر من العدد السالب. |
| أيهما أكبر العدد 7 أم العدد 10؟ | 7 | العدد 7 يقع على يمين العدد 10 على خط الأعداد الموجب. |
| أيهما أكبر العدد 9 أم العدد 31؟ | 31 > 9 | العدد 31 يمتلك منزلتين بينما يمتلك العدد 9 منزلة واحدة. |
الأعداد الصحيحة هي الأعداد التي تُكتب دون استخدام الكسور العشرية، و قد تكون أعدادًا سالبة أو موجبة فردية أو زوجية ، ويُقارن بينها لتحديد فيما إذا كانت قيمة أي عدد أكبر من (>)، أو أصغر من (
ترتيب الأعداد الصحيحة
يُمكن تعريف ترتيب الأعداد الصحيحة بأنّه ترتيب الأعداد في تسلسل مُعيّن حسب قيمها، فإمّا أن يكون ترتيبًا تصاعديًا؛ أي ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر، أو ترتيبها تنازليًا أي من الأكبر إلى الأصغر، وفيما يلي تفصيل لكل منها:
ترتيب الأعداد الصحيحة تنازليًا
ترتيب الأعداد الصحيحة هي نفس عملية المقارنة بين العددين الصحيحين، إلّا أنّ الترتيب يكون بين مجموعة من الأعداد، ولترتيب عدّة أعداد يجب مقارنتها جميعًا بين بعضها البعض وترتيبها ترتيبًا تنازليًا أي من الأكبر إلى الأصغر، ويُمكن ترتيب الأعداد الصحيحة تنازليًا بالخطوات التالية:
- تُرتّب الأعداد الصحيحة الموجبة بشكل منفصل عن الأعداد الصحيحة السالبة.
- تُرتّب الأعداد الموجبة فوق بعضها البعض بحيث تكون جميع المنازل لكل عدد فوق بعضها، الآحاد فوق الآحاد والعشرات فوق العشرات وما إلى ذلك.
- إن كانت هناك خانة فارغة يُملأ مكانها بالعدد صفر.
- تبدأ المقارنة من أقصى اليسار؛ من أكبر منزلة إلى أصغر منزلة، بنفس خطوات المقارنة بين العددين الصحيحين التي ذُكرت سابقًا.
- يُعاد ترتيب الأعداد من الأكبر إلى الأصغر حسب نتيجة المقارنة.
- تُكرر الخطوات السابقة للأعداد السالبة حسب موقعها على خط الأعداد وقربها من الصفر، أو بنفس خطوات المقارنة التي ذُكرت سابقًا للأعداد السالبة الكبيرة، ثم تُرتب جميع الأعداد تنازليًا من الأكبر إلى الأصغر حسب نتيجة المقارنة.
- إنّ الأعداد الموجبة دائمًا أكبر من الأعداد السالبة؛ لذا تُرتب في البداية، ثم توضع تحتها الأعداد الصحيحة السالبة.
ترتيب الأعداد الصحيحة تصاعديًا
تُرتب الأعداد العشرية تصاعديًا بنفس الطريقة التي تُرتب بها تنازليًا إلّا أنّه هنا يُعاد ترتيب الأعداد في النهاية من الأصغر إلى الأكبر، وتُرتب الأعداد السالبة فوق الأعداد الموجبة لأنّها الأصغر.
أمثلة متنوعة على ترتيب الأعداد الصحيحة
وفيما يأتي أمثلة متنوعة على ترتيب الأعداد الصحيحة:
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تنازليًا: 73 / 8 / 321 / 41.
الحل:
- توضع الأعداد فوق بعضها البعض، ويُعوّض المكان الفارغ من جهة اليسار بالعدد صفر، يجب الانتباه إلى أنّ وضع الصفر في يسار الرقم لا يُغير من قيمته:
- 041
- 321
- 008
- 073
- نبدأ المقارنة بأكبر منزلة وهي أول منزلة من جهة اليسار، نجد أنّ جميع الأرقام في أول منزلة لكل عدد تبدأ بالصفر باستثناء العدد 321 فهو يبدأ برقم 3، كما أنّه مكون من 3 أرقام أي أنّه أكبر عدد بين الأعداد.
- ننتقل إلى مقارنة المنزلة التالية وهي منزلة العشرات بين الأعداد المتبقية، نجد أنّ الرقم 7 في العدد 73 هو الأكبر، ثم الرقم 4 في العدد 41، ثم يليه الرقم 0 في العدد 008.
- وتُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر إلى الأصغر: 321 > 73 > 41 > 8.
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تنازليًا: 4- / 11- / -14 / 7- .
الحل:
- نُمثل الأعداد السالبة على خط الأعداد.
- نُحدد الأعداد المراد ترتيبها على خط الأعداد.
- |ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ـــــــ|ــــــــ|ـــــــــ|ـــــــ|ـــــــ|>
- 0 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9- 10- 11- 12- 13- 14-
- تقل الأعداد السالبة كلما اتجهنا من اليمين نحو اليسار، فنجد أنّ أول عدد على اليمين هو العدد 4- إذًا هو أكبر عدد، ثم يليه العدد 7-، ثم يليه العدد 11-، ثم يليه العدد 14-.
- وتُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر إلى الأصغر: 4- > 7- > 11- > 14-.
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تنازليًا: 72- / 3- / 61 / 69.
الحل:
- نضع الأعداد الصحيحة الموجبة فوق بعضها البعض، ونقارن فيما بينها:
- 69
- 61
- نقارن بين منزلة العشرات لكل عدد، نجد أنّ كلا العددين يحتويان الرقم 6 في منزلة العشرات، نقارن بين منزلة الآحاد فنجد أنّ الرقم 9 في العدد 69 أكبر من الرقم 1 في العدد 61، إذًا العدد 69 أكبر من العدد 61.
- نضع الأعداد الصحيحة السالبة فوق بعضها البعض، ونقارن بينها:
- 72-
- 3-
- نُلاحظ أنّ العدد 72 يمتلك منزلتين بينما العدد 3 يمتلك منزلة واحدة، إذًا العدد 72 أكبر من العدد 3، ولكن الأعداد السالبة عكس الأعداد الموجبة إذًا العدد 72- أصغر من 3-.
- تُرتب الأرقام ترتيبًا تنازليًا من الأكبر إلى الأصغر، مع مراعاة أنّ الأرقام السالبة أصغر من الأرقام الموجبة لذا توضع في النهاية: 69 > 61 > 3- > 72-.
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تصاعديًا: 12 / 14 / 5 / 2.
الحل:
- نُمثل الأعداد الموجبة على خط الأعداد.
- نُحدد الأعداد المراد ترتيبها على خط الأعداد.
-
- 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
- تزداد الأعداد الموجبة كلما اتجهنا من اليسار نحو اليمين، فنجد أنّ أول عدد على اليمين هو العدد 14 إذًا هو أكبر عدد، ثم يليه العدد 12، ثم يليه العدد 5، ثم يليه العدد 2.
- وبالتالي تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر إلى الأكبر : 2
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تصاعديًا: 74- / 6- / 45- / 34-.
الحل:
- توضع الأعداد فوق بعضها البعض، ويُعوّض المكان الفارغ من جهة اليسار بالعدد صفر، يجب الانتباه إلى أنّ وضع الصفر على يسار الرقم لا يُغير من قيمته:
- 74-
- 06-
- 45-
- 34-
- نبدأ المقارنة بأكبر منزلة وهي أول منزلة من جهة اليسار، نجد أنّ الرقم 7 في العدد 74 هو الأكبر، ثم يليه الرقم 4 في العدد 45، ثم يليه الرقم 3 في العدد 34، ثم يليه الرقم 0 في العدد 6، إذًا العدد 74 أكبر من العدد 45 أكبر من العدد 34 أكبر من العدد 6.
- ولأنّ الأعداد السالبة عكس الأعداد الموجبة، نجد أنّ العدد 74- أصغر من العدد 45- أصغر من العدد 34- أصغر من العدد 6-.
- وتُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر إلى الأكبر: 74-
رتب الأعداد التالية ترتيبًا تصاعديًا: 11- / 3- / 9 / 79.
الحل:
- نضع الأعداد الصحيحة الموجبة فوق بعضها البعض، ونقارن فيما بينها:
- 79
- 9
- نجد أن العدد 79 يمتلك منزلتين بينما يمتلك العدد 9 منزلة واحدة، إذًا العدد 79 أكبر من العدد 9.
- نُحدد الأعداد الصحيحة السالبة على خط الأعداد، ونقارن بينها:
- |ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ــــــ|ـــــــ|ــــــــ|ـــــــــ|ـــــــ|ـــــــ|>
- 0 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9- 10- 11- 12- 13- 14-
- يقع العدد 3- على يمين العدد 11-، إذًا العدد 3- أكبر من العدد 11-.
- تُرتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا من الأصغر إلى الأكبر، مع مراعاة أنّ الأرقام السالبة أصغر من الأرقام الموجبة لذا توضع في البداية: 11- .
تُرتّب الأعداد الصحيحة في تسلسل إمّا ترتيبًا تنازليًا من العدد الأكبر قيمة إلى العدد الأقل قيمة، وإمّا ترتيبًا تصاعديًا من العدد الأصغر قيمة إلى العدد الأكبر قيمة، وتُشبه عملية الترتيب عملية المقارنة إلّا أنّها تكون بين أكثر من رقمين صحيحين، ويُفصل بين الأعداد الموجبة والسالبة عند الترتيب، بحيث يُرتب كل نوع بشكل منفصل، ثم توضع الأعداد السالبة فوق الأعداد الموجبة إذا كان الترتيب تصاعديًا، وتوضع تحت الأعداد الموجبة إذا كان الترتيب تنازليًا.
