مفهوم عملية الضرب

تعريف عمليّة الضّرب

يمكن تعريف عملية الضرب (بالإنجليزية: Multiplication) بأنّها إحدى العمليات الحسابية الأربعة الأساسية في الرياضيات، وهي تتمثل في كونها عملية الجمع المتكرر لأحد الأعداد لعدد من المرات يساوي العدد المضروب بهذا العدد؛ فمثلًا حاصل ضرب 5×3 يعني حساب نتيجة جمع العدد 5 إلى نفسه ثلاثة مرات؛ أي 5 5 5 = 15، أو نتيجة جمع العدد (3) إلى نفسه خمس مرات؛ أي: 3 3 3 3 3 = 15، ويجدر بالذكر أن عملية الضرب لا تقتصر على الأعداد الصحيحة، وإنما يمكن ضرب الكسور، أو الكسور العشرية، مثل: 5 × ½3، وتعني 5 5 5 (نصف العدد 5)، وهذا يساوي 17.5.

ويُشار إلى أن عملية الضرب هي عملية عكسية لعملية القسمة؛ فمثلًا: 2×3 = 6، و6/2 = 3، كما أن 6/3 =2 وهناك عدة رموز تُستخدم للدلالة عليها، وهي: (×)، أو (*)، أو (·)، ويُسمى أحد العددين المضروبين ببعضهما بالمضروب (بالإنجليزية: Multiplicand)، والعدد الآخر بالمضروب به (بالإنجليزية: Multiplier)، أما الإجابة فتُعرف بناتج عملية الضرب (بالإنجليزية: Product)، كما يُطلق أيضًا مصطلح العامل على كل عدد من الأعداد التي يتم ضربها ببعضها بعضًا، وذلك كما يأتي: عامل×عامل = ناتج عملية الضرب، ليُطلق على العددين معًا اسم عوامل عملية الضرب.

تعتبر عملية الضرب من العمليات الحسابية التي تستخدم بشكل أساسي في معاملات الحياة اليومية؛ فمثلًا إذا كانت لدينا مجموعتان من قطع الحلوى، وفي كل مجموعة ثلاث قطع، فإنه يمكن استخدام عملية الضرب لمعرفة عدد قطع الحلوى الكلي، وذلك عن طريق ضرب عدد المجموعات في عدد قطع الحلوى في كل مجموعة كما يأتي: 2×3 = 6، وهذا يعني أن عدد قطع الحلوى الكلي يساوي ست قطع، ولتقريب الصورة بشكل أكبر، إليك المثال الآتي: إذا كانت لدينا 4 زهرات، وكل زهرة لها 8 بتلات، فإنه يمكن استخدام عملية الضرب لمعرفة العدد الكلي للبتلات، وذلك كما يأتي: 4×8 = 32، وهذا يعني أن العدد الكلي للبتلات لدينا هو: 32.

خصائص عمليّة الضّرب

هناك مجموعة من الخصائص لعملية الضرب، ندرج منها ما يأتي:

• الخاصية التبديلية للضرب: وهذا يعني أن ترتيب الأعداد غير مهم عند ضرب الأعداد ببعضها؛ أي لا يؤثر على نتيجة عملية الضرب النهائية؛ أي أن: أ×ب = ب×أ؛ إذ إن أ، ب: هما أي عددين حقيقيين مهما كان نوعهما.
• الخاصية التجميعية للضرب: وهذا يعني أنه عند ضرب الأعداد: أ، ب، جـ فإنّ: أ×(ب×جـ) = (أ×ب)×جـ.
• الخاصية التوزيعية للضرب: وهذا يعني أنه يمكن توزيع الضرب على عملية الجمع كما يأتي: أ×(ب جـ) = (أ×ب) (أ×جـ).
• خاصية الصفر: إن ضرب أي عدد في الصفر يساوي صفر أي: أ×صفر = صفر×أ = صفر؛ إذ إن أ: هو أي عدد حقيقي مهما كان نوعه.
• خاصية الهوية: إن ضرب أي عدد في العدد واحد يساوي العدد نفسه؛ أي: أ×1 = 1×أ = أ؛ إذ إن أ: هو أي عدد حقيقي مهما كان نوعه.

خطوات ضرب الأعداد المختلفة في الإشارة

لضرب الأعداد المختلفة في الإشارة، فإنه يجب اتباع الخطوات الآتية:

1. ضرب القيمة المطلقة لكل عدد من الأعداد ببعضها.
2. إيجاد الناتج ثم وضع الإشارة للنتيجة النهائية، وذلك كما يأتي:

• إذا كانت إشارة العددين أي المضروب والمضروب فيه متشابهة، فإن إشارة النتيجة تكون موجبة، وذلك كما يأتي:
  • ( ) × ( ) =
  • (-) × (-) =
• إذا كانت إشارة العددين أي المضروب والمضروب فيه مختلفة، فإن إشارة النتيجة تكون سالبة، وذلك كما يأتي:
  • ( ) × (-) = -
  • (-) × ( ) = -

مثال: ما هو ناتج ضرب العددين = 2 × -5؟

الحل:

• إيجاد القيمة المطلقة لكل عدد كما يأتي: |2 | = 2 |-5| = 5
• إيجاد حاصل ضرب القيمة المطلقة لهذين العددين كما يأتي: 2×5 = 10
• تحديد إشارة النتيجة النهائية، وبما أن العددين مختلفان في الإشارة، فإن إشارة الناتج تكون سالبة؛ أي: 2×-5 = -10

خطوات ضرب الأعداد العشرية

تُضرب الأعداد العشرية معًا بنفس الطريقة التي تُضرب بها الأعداد الصحيحة، وهو ما توضحه الخطوات الآتية أدناه:

• ترتيب العددين فوق بعضهما بعضًا بشكل عمودي.
• ضرب كل رقم من الأرقام من جهة اليمين في العدد الذي يقع أعلاه بالترتيب.
• أخذ الرقم الأول إذا كان ناتج ضرب رقمين أكثر من 9، ويوضع الثاني أعلى الأرقام التالية لعملية الضرب، ويُضاف إلى ناتج ضرب الرقمين التاليين.
• وضع ناتج ضرب كل رقم في الأسفل بكل رقم في الأعلى تحت بعضها بالترتيب.
• جمع نواتج الضرب مع بعضها.
• عدّ خانات الأعداد الموجودة عن يمين الفاصلة العشرية من كلا العددين العشريين المضروبين، وتحريك الفاصلة في العدد الناتج إلى اليسار بعدد الخانات.

مثال لضرب عددين عشريين: ما هو حاصل ضرب العددين 3.77 × 2.8؟

الحل:

• ترتيب العددين فوق بعضهما بعضًا بشكل عمودي:

 3.77 

 × 

 2.8 

 ــــــــــــــــــ 

• ضرب الرقم 8 بكل الأرقام في العدد 3.77 بغض النظر عن الفاصلة، كما يأتي:
  • 8 × 7 = 56 ، يوضع الرقم 6 أسفل الخط بينما يوضع الرقم 5 فوق الرقم 7 الذي يلي الفاصلة العشرية في الرقم 3.77.
  • 8 × 7 = 56 5 = 61 ، يوضع الرقم 1 أسفل الخط بينما يوضع الرقم 6 فوق الرقم 3.
  • 8 × 3 = 24 6 = 30 ، يوضع الرقم 30 أسفل الخط.
  • الناتج النهائي لضرب 8 بالرقم 3.77 هو 3016.
• تكرر الخطوة السابقة ولكن بضرب الرقم 2 بكل الأرقام في العدد 3.77، سيكون الناتج النهائي هو 7540.
• ترتيب حاصل ضرب العددين 8 و2 فوق بعضهما أسفل الخط، ويجمعا معًا، كما يأتي:

 3016 

 7540 

 ــــــــــــــــ 

 10556 

• تحريك الفاصلة 3 خانات إلى اليساروفقًا لعدد الخانات في العددين الذين جرى ضربهما، فيكون الناتج 10.556.

أمثلة على عمليّة الضّرب

المثال الأول: أوجد ناتج كل مما يأتي: أ) ( 5)×( 3)×( 2). ب) ( 8)×( 2)×(-5). جـ) (-6)×( 3)×( 4). د) (-9)×(-3)×( 2)؟

الحل:

• يتم ضرب أول عددين ببعضهما بعضًا.
• ضرب الناتج بالعدد الثالث مع مراعاة الإشارات؛ فإذا كانت إشارة العددين متشابهة، فإن إشارة الناتج تكون موجبة، وإذا كانت إشارة العددين مختلفة، فإن إشارة الناتج تكون سالبة، وذلك كما يأتي:
  • أ) ( 5)×( 3)×( 2) = ( 15)×( 2) = 30.
  • ب) ( 8)×( 2)×(-5) = ( 8)×(-10) = -80.
  • جـ) (-6)×( 3)×( 4) = (-18)×( 4) = -72.
  • د) (-9)×(-3)×( 2) = (-9)×(-6) = 54.

المثال الثاني: إذا كان عدد أرجل العنكبوت ثمانية أرجل، فكم عدد الأرجل لسبعة من العناكب؟

الحل: عدد الأرجل لسبعة من العناكب = عدد أرجل العنكبوت الواحد×عدد العناكب = 8×7 = 56.

المثال الثالث: ما هو ناتج 20,000×1، و 20,000×0؟

الحل:

• إن ناتج ضرب أي عدد في 1 يساوي العدد نفسه، وبالتالي: 20,000×1 = 20,000.
• إن ناتج ضرب أي عدد في صفر يساوي صفر، وبالتالي: 20,000×0 = 0.

المثال الرابع: يحتوي مجلد على 56 ورقة، فكم عدد الأوراق الموجودة في 24 مجلدًا؟

الحل:

• عدد الأوراق الموجودة في جميع المجلدات = عدد المجلدات×عدد الأوراق الموجودة في كل مجلد = 24×56.
• إيجاد ناتج عملية الضرب من خلال الضرب العمودي، ويساوي 1,344 ورقة كالآتي:

4 2

 × 

6 5

ــــــــــــــــ

4 4 1

0 0 2 1

ــــــــــــــــ

4 4 3 1

المثال الخامس: اشترى خالد مئة واثنان كتاب، فكم يبلغ ثمنها إذا كان ثمن الكتاب الواحد 67 دولارًا؟

الحل: ثمن الكتب التي اشتراها خالد = عدد الكتب × ثمن الكتاب الواحد

 = 67×102= 6,834 دولارًا. 

المثال السادس: اشترى أحمد 15 كرسيًا، و30 طاولة، فما هو المبلغ الذي دفعه أحمد إذا كان ثمن الكرسي الواحد 452 دولارًا، وثمن الطاولة الواحدة 1750 دولارًا؟

الحل:

• إيجاد المبلغ الذي دفعه أحمد ويساوي (عدد الطاولات × ثمن الطاولة الواحدة) (عدد الكراسي × ثمن الكرسي الواحد).
• تعويض الأرقام بحيث يكون المبلغ المدفوع = (30×1750) (15×452)= 52,500 6,780= 59,280 دولارًا.

المثال السابع: إذا كان هناك استثمار قيمته 1 مليون دولار ينتج أرباحًا بمقدار 30,000 كل عام، فكم ينتج عن هذا الاستثمار بعد 18 سنة؟

الحل:

• الاستثمار سيُنتج بعد 18 سنة: عدد السنوات× الأرباح السنوية
• الناتج = 18×30,000 = 540,000 دولار.

تُعرف عملية الضرب بأنّها عملية رياضية تُقابل القسمة، وهي بشكلٍ مُبسط عدّة عمليات جمع متكررة للعدد نفسه، وتمتاز بالعديد من الخصائص، أبرزها الخاصية التبادلية، وخاصية التجميع، وخاصية التوزيع، وغيرها من الخواص الأخرى، ففي الخاصية التبادلية على سبيل المثال، فإن حاصل ضرب أي رقمين لا يتغير مع تغيير ترتيبهما، إذ إنّ حاصل ضرب العددين 2 × 6 هو نفسه حاصل ضرب 6 × 2.