مفهوم الهندسة اللاإقليدية

الهندسة غير الإقليدية (اللاإقليدية)

الهندسة التي تعرف باسمها باللغة الإنجليزية "Geometry"، تعتبر جزء هام من علم الرياضيات ، حيث يناقش هذا النوع من العلم كل من الأشكال الهندسية وهياكلها المختلفة. قام عالم الرياضيات اليوناني إقليدس باستخدام نوعا من الهندسة الذي ينطوي على دراسة كل من المستوى والشكل الهندسي الصلب وهذا بمساعدة كل من النظريات والبديهيات، وهذه الهندسة التي تعرف باسم الهندسة الإقليدية. فالهندسة الإقليدية مَعنيّة في دراسة الأشكال الهندسية ذات الأسطح المستوية.

إن الهندسة غير الإقليدية على العكس من الهندسة الإقليدية، حيث أن الهندسة غير الإقليدية هي الجزء غير الإقليدي من الرياضيات، وينقاش ضمنه أشكال القطع والأشكال الكروية، أي أنها تقوم على وصف كل من الهندسة القطعية أو الزائدية والهندسة الإهليلجية. إن الهندسة غير الإقليدية لا تتناسب أشكالها مع افتراض إقليدس الموازي لذلك تم إيجاد هذا النوع من الهندسة.

مفهوم الهندسة اللاإقليدية

هناك أنواع من الهندسة الرياضية التي لا تعتبر من الهندسة الإقليدية، حيث تختلف عن كل من الهندسة المستوية والهندسة الصلبة التي سيطرت على عالم الرياضيات لعدة قرون.

ومن الأنواع التي تشير إلى الهندسة غير الإقليدية هي كل من الهندسة القطعية أو الزائدية، والهندسة الإهليلجية، والهندسة الكروية، والهندسة الوصفية، والهندسة التفاضلية، والجبر الهندسي، والهندسة متعددة الأبعاد، وهذه الأنواع من الهندسات لا تفترض ضمنها جميع افتراضات إقليدس، كونها تتعامل مع الأشكال الهندسية بمكونات أكثر تعقيداً للمنحنيات في الفضاء بدلاً من المستوى البسيط أو الأشكال الصلبة التي تستخدم كأساس في هندسة إقليدس.

الفرق الأساسي بين كل من الهندسة الإقليدية والهندسة غير الإقليدية

إن طبيعة الخطوط المتوازية هي الأساس في الفرق بين كل من الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية، حيث لو كان لدينا في داخل مستوى ثنائي الأبعاد خطاً على هذا المستوى، ليكن اسمه الخط (س)، وكانت هناك نقطة ما لنسميها النقطة (أ)، حيث لا تقع هذه النقطة على الخط س الذي لدينا، سيكون حينها لدينا خط واحد فقط يمر خلال النقطة (أ) دون أن يتقاطع مع الخط المستقيم (س)، لكن في هندسة القطع لا يكون الأمر كذلك، حيث سيكون لدينا عدد لا نهائي من الخطوط التي لا تتقاطع مع الخط (س)، أما في الهندسة الإهليلجية فإنه سيتقاطع أي زوج من الخطوط مع ذلك الخط.

ومن الممكن استخدام طريقة أخرى لوصف اختلافات الأشكال الهندسية هذه، لو كان لدينا خطين مستقيمين يمتد كل منهما بشكل لا نهائي في مستوى ثنائي الأبعاد، ويتعامد مع هذين الخطين خط ثالث، تكون حينها هذه الخطوط على مسافة ثابتة من بعضها البعض ويتم تعريفها بالخطوط المتوازية. أما في الهندسة الزائدية فإن الخطين سينحرفان عن بعضهما البعض أي تتغير المسافة الفاصلة بينهما على طول امتداديهما، حيث أن المسافة تزداد كلما تم التحرك أكثر عن نقاط التقاطع العمودي المشترك، أما في الهندسة الإهليلجية، ستنحني الخطوط باتجاه بعضها البعض إلى أن يتقطاعان سويّةً في نهاية الأمر.

أنواع الهندسة اللاإقليدية

من أنواع أنواع الهندسة اللاإقليدية:

الهندسة الزائدية

إن الهندسة الزائدية (بالإنجليزية: Hyperbolic Geometry) من فروع الهندسة غير الإقليدية، حيث أنها لا تنطبق على الافتراض الخامس الموازي لإقليدس، وكما سبق القول فإن هذه الفرضية تنص على أنه لو كان هناك خط ما ويوجد نقطة لدينا ليست على هذا الخط، فإنه سيكون هناك خط واحد فقط يمر بهذه النقطة يوازي ذلك الخط الأول، لكن في الهندسة الزائدية سيكون لدينا خطين متوازيين على الأقل مع خط آخر يمران في تلك نقطة، وليس مجرد خط واحد فقط.

كما تختلف خصائص المثلث في الهندسة الزائدية عن الهندسة الإقليدية، حيث أنه من المعروف أن مجموع زوايا المثلث في الهندسة الإقليدية هو 180 درجة، بينما في الهندسة الزائدية تكون مجموع زوايا المثلث أقل من 180 درجة، وكذلك تختلف كل من معادلات المساحة والسطح في الهندسة الزائدية عن تلك التي تكون في الهندسة الإقليدية.

الهندسة الإهليلجية

الهندسة الإهليلجية (بالإنجليزية: Elliptical Geometry) أو الهندسة البيضاوية هي نوع آخر من الهندسات غير الإقليدية، ومعنية بدراسة الأشكال التي يتم رسمها على سطح القطع الناقص، وكذلك إنها لا تتوافق ومع الفرضية الموازية لإقليدس، في هذه الهندسة يتم دراسة الأشكال ثلاثية الأبعاد على العكس من الهندسة الإقليدية.

يتم تطبيق الهندسة الإهليلجية في كل من علم الكونيات ، وفي الفلك والملاحة، ويتم استخدامه في كل من الجبر الخطي والهندسة الحسابية وفي التحليل المعقد. ومن أجل التمكن من الحساب الدقيق للمساحات وحساب الزوايا والمسافات على الكرة الأرضية يتم استخدام هذا النوع من الهندسة كذلك، وفي هذه الهندسة كذلك إن مجموع زوايا المثلث لا تكون كما تلك المثلثات التي في الهندسة الإقليدية، أي لا يكون مجموعها 180 درجة.

تطبيقات الهندسة غير الإقليدية

من تطبيقيات الهندسة غير الإقليدية التي لها تطبيقات كثيرة في المجال العلمي ما يلي:

• في علم الكونيات يتم استخدام مفهوم الهندسة غير الإقليدية من أجل التمكن من دراسة الكون وأصله وتكوينه وتطوره.
• تستخدم الهندسة غير الإقليدية في توضيح النظرية النسبية ، حيث يكون الفضاء فيها منحني الشكل.
• يتم استخدامها في حسابات مختلفة للأرض، حيث يتم قياس المسافات والمساحات والزوايا لأجزاء مختلفة من الأرض.
• تُطبّق الهندسة غير الإقليدية في الميكانيكا السماوية.