مفهوم المتطابقات المثلثية
تعرف المتطابقات المثلثية بأنها المعادلات التي تتعامل مع زوايا المثلث قائم الزاوية مع أطوال أضلاعه والعلاقة التي تربط بينهما، حيث تستخدم النسب المثلثية في حل المعادلات؛ مثل: الجيب (جا)، جيب التمام (جتا)، الظل (ظا)، القاطع (قا)، قاطع التمام (قتا)، ظل التمام (ظتا)، ويعتمد استخدامها حسب الأضلاع المعلومة في المثلث سواء كان الوتر أو الضلع المقابل أوالضلع المجاور.
النسب المثلثية الأساسية
إن النسب الأساسية الثلاث هي الجيب (بالإنجليزية: sine) وجيب التمام (بالإنجليزية: cosine) والظل (بالإنجليزية: tangent) حيث يتم حساب كل منها بناء على طول أحد أضلاع المثلث مقسومة على طول ضلع آخر فيه بالنسبة لزواية محددة على النحو الآتي:
- جا (θ) = الضلع المقابل / الوتر.
- جتا (θ) = الضلع المجاور / الوتر.
- ظا (θ) = الضلع المقابل / الضلع المجاور كما أنه يساوي أيضاً ظا (θ) = جا( θ ) / جتا (θ).
أما النسب المثلثية الأخرى والتي هي القاطع (بالإنجليزية: secant) وقاطع التمام (بالإنجليزية: cosecant) وظل التمام (بالإنجليزية: cotangent) هي عبارة عن مقلوب المتطابقات الأساسية الثلاث ويُمكن التعبير عنها على النحو الآتي:
- قا (θ) = الوتر / الضلع المجاور؛ كما أنه يساوي أيضاً قا (θ) = 1/ جتا( θ ) .
- قتا (θ) = الوتر / الضلع المقابل؛ كما أنه يساوي أيضاً قتا (θ) = 1/ جا( θ ) .
- ظتا (θ) = الضلع المجاور / الضلع المقابل؛ كما أنه يساوي أيضاً ظتا (θ) = 1/ ظا (θ).
أمثلة على المتطابقات المثلثية
يتواجد العديد من المتطابقات المثلثية والتي تستخدم بناءً على طبيعة الزاوية الموجودة والضلع لذلك هذه بعض الأمثلة على المتطابقات المثلثية والتي تستخدم بكثرة:
متطابقات فيثاغورس المثلثية
تعتبر متطابقات فيثاغوريس المثلثلية من المتطابقات المشهورة التي يتم استخدامها في المثلثات قائمة الزاوية والتي هي:
- جا^2 ( θ ) جتا ^2 ( θ ) = 1
- 1 ظا^2 (θ) = قا^2 (θ)
- 1 ظتا^2 (θ) = قتا^2 (θ)
المتطابقات المثلثية للزوايا المضاعفة
يتم استخدام هذه المتطابقات في حال وجود زوايا مضاعفة للجيب أو لجيب التمام أو للظل والتي هي:
- جا( 2θ ) = 2 * جا( θ ) * جتا ( θ ) .
- جتا( 2θ ) = جتا^2( θ ) - جا^2 ( θ ) .
- ظا (2θ) = 2* ظا (θ) / (1- ظا^2 (θ)).
